2019-2020学年高中数学 阶段评估（五） 北师大版必修3

1 阶段评估阶段评估 五五 时间 45 分钟 满分 100 分 一 选择题 6 5 30 分 1 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中 任取 2 个点 则这 2 个点的距离不小于该 正方形边长的概率为 a b 1 5 2 5 c d 3 5 4 5 解析 选 c 从这 5 个点中任取 2 个 有 10 种取法 满足两点间的距离不小于正方形 边长的取法有 6 种 所求概率为p 6 10 3 5 2 2017 全国卷 如图 正方形abcd内的图形来自中国古代的太极图 正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点 则 此点取自黑色部分的概率是 a b 1 4 8 c d 1 2 4 解析 选 b 设正方形的边长为 2 则正方形的面积为 4 正方形内切圆的面积为 根据对称性可知 黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半 所以黑色部分的面积为 根据几何概型的概率公式 得所求概率p 2 2 4 8 3 下列五种对某生活现象发生的表示 一定发生的 很可能发生的 可能发生的 不可能发生的 不太可能发生的 其发生的概率由小到大的 排列为 a b c d 解析 选 b 一定发生的 是必然事件 其概率为 1 不可能发生的 是不可能事 件 其概率为 0 故选 b 4 2019 全国卷 生物实验室有 5 只兔子 其中只有 3 只测量过某项指标 若从这 2 5 只兔子中随机取出 3 只 则恰有 2 只测量过该指标的概率为 a b 2 3 3 5 c d 2 5 1 5 解析 选 b 设 5 只兔子中测量过某项指标的 3 只为a1 a2 a3 未测量过这项指标的 2 只为b1 b2 则从 5 只兔子中随机取出 3 只的所有可能情况为 a1 a2 a3 a1 a2 b1 a1 a2 b2 a1 a3 b1 a1 a3 b2 a1 b1 b2 a2 a3 b1 a2 a3 b2 a2 b1 b2 a3 b1 b2 共 10 种可能 其中恰有 2 只测量过该指标的情况为 a1 a2 b1 a1 a2 b2 a1 a3 b1 a1 a3 b2 a2 a3 b1 a2 a3 b2 共 6 种可能 故恰有 2 只测量过该指标的概率为 故选 b 6 10 3 5 5 2017 天津卷 有 5 支彩笔 除颜色外无差别 颜色分别为红 黄 蓝 绿 紫 从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔 则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率 为 a b 4 5 3 5 c d 2 5 1 5 解析 选 c 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔 有 10 种不同取法 红 黄 红 蓝 红 绿 红 紫 黄 蓝 黄 绿 黄 紫 蓝 绿 蓝 紫 绿 紫 而取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有 红 黄 红 蓝 红 绿 红 紫 共 4 种 故所求概率p 4 10 2 5 6 已知某运动员每次投篮命中的概率为 40 现采用随机模拟的方法估计该运动员三 次投篮恰有两次命中的概率 先由计算器产生 0 到 9 之间取整数随机数 指定 1 2 3 4 表 示命中 5 6 7 8 9 0 表示不命中 再以每三个随机数为一组 代表三次投篮的结果 经 随机模拟产生了如下 20 组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 a 0 35 b 0 25 c 0 20 d 0 15 解析 选 b 在 20 组随机数中 恰好两次命中的包括 191 271 932 812 393 共 5 组 3 故所求的概率为p 0 25 5 20 二 填空题 3 5 15 分 7 在区间 2 4 上随机地取一个数x 若x满足 x m的概率为 则m 5 6 解析 由题意得当x在 2 4 上任取一个值 其概率为p m 3 5 6 答案 3 8 以边长为 2 的正方形的四个顶点为圆心各作一个半径为 1 的四分之一圆周 如图所 示 现向正方形内任投一质点 则质点落入图中阴影部分的概率为 解析 阴影部分的面积为 4 4 4 故质点落入题图中阴影部分的概率为 1 4 1 4 答案 1 4 9 若以连续两次掷均匀的正方体骰子分别得到的点数m n 作为p点的坐标 则点 p在圆x2 y2 25 外的概率为 解析 连续掷两次均匀的正方体骰子 共有 36 种不同的情形 其中满足p点在圆 x2 y2 25 外的情形有 1 5 1 6 2 5 2 6 3 5 3 6 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 共 21 种不同的情形 其概率p 21 36 7 12 答案 7 12 三 解答题 55 分 10 13 分 袋中有大小相同的红 黄两种颜色的球各 1 个 从中任取 1 只 有放回地 抽取 3 次 求 1 3 只全是红球的概率 2 3 只颜色全相同的概率 3 3 只颜色不全相同的概率 解 利用树状图我们可以列出有放回地抽取 3 次的所有可能结果 4 由此可以看出 抽取的所有可能结果为 8 种 所以 1 3 只全是红球的概率为p1 1 8 2 3 只颜色全相同的概率为p2 2 8 1 4 3 3 只颜色不全相同的概率为p3 1 p2 1 1 4 3 4 11 13 分 1 若x y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子 六个面的点数分别为 1 2 3 4 5 6 先后抛掷两次时第一次 第二次出现的点数 求满足 2x y 1 的概率 2 若x y连续在区间 1 6 上取值 求满足 2x y 0 的概率 解 1 将一枚骰子抛掷两次共有 36 种不同的情形 其中满足 2x y 1 的情形有 1 1 2 3 3 5 共 3 种不同的情形 满足 2x y 1 的概率p 3 36 1 12 2 满足error 的 x y 是如图所示的正方形 其面积s矩 52 25 其中满足 2x y 0 是图中所示的阴影部分 由error 得a 1 2 由error 得b 3 6 s阴影 s矩 s三角形 25 3 1 6 2 21 1 2 满足 2x y 0 的概率p s阴影 s矩 21 25 12 14 分 2019 天津卷 2019 年 我国施行个人所得税专项附加扣除办法 涉及子 女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息或者住房租金 赡养老人等六项专项附加扣 除 某单位老 中 青员工分别有 72 108 120 人 现采用分层抽样的方法 从该单位上述 员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况 1 应从老 中 青员工中分别抽取多少人 2 抽取的 25 人中 享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人 分别记为 5 a b c d e f 享受情况如下表 其中 表示享受 表示不享受 现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访 员工 项目 abcdef 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果 设m为事件 抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同 求事件m发生的概 率 解 1 由已知得老 中 青员工人数之比为 6 9 10 由于采用分层抽样的方法从 中抽取 25 位员工 因此应从老 中 青员工中分别抽取 6 人 9 人 10 人 2 从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共 15 种 由表格知 符合题意的所有可能结果为 a b a d a e a f b d b e b f c e c f d f e f 共 11 种 所以 事件m发生的概率p m 11 15 13 15 分 某中学的高二 1 班有男同学 45 名 女同学 15 名 老师按照分层抽样的 方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组 1 求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男 女同学的人数 2 经过一个月的学习 讨论 这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验 方法是先 从小组里选出 1 名同学做实验 该同学作完后 再从小组内剩下的同学中选 1 名同学做实 验 求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 3 实验结束后 第一次做实验的同学得到的实验数据为 68 70 71 72 74 第二次做 实验的同学得到的实验数据为 69 70 70 72 74 请问哪位同学的实验更稳定 并说明理 由 解 1 p 该同学被抽到的概率为 4 45 15 1 15 1 15 设该课外兴趣小组中有x名男同学 则 x 3 男 女同学的人数分别为 45 60 x 4 6 3 1 2 把 3 名男同学和 1 名女同学分别记为a1 a2 a3 b 则选取两名同学的基本事件 有 a1 a2 a1 a3 a1 b a2 a3 a2 b a3 b 共 6 种情况 其中恰有一 名女同学的有 3 种情况 选出的两名同学中