高中数学必修四-知识点梳理

1 数学必修四数学必修四 知识点梳理知识点梳理 三角函数 三角恒等变换三角函数 三角恒等变换 一 角的概念的推广 任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形 正角 负角 零角 按逆时针方向旋转成的角叫做正角 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角 可见 正确理解正角 负角和零角的概 关键是看射线旋转的方向是逆时针 顺时针还 是没有转动 象限角 轴线角 当角的顶点与坐标原点重合 角的始边与 x 轴的非负半轴重合时 那么角的终边在第几 象限 终边的端点除外 就说这个角是第几象限角 当角的顶点与坐标原点重合 角的始边与 x 轴的非负半轴重合时 终边落在坐标轴上的 角叫做轴线角 终边相同角 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成集合 S k360 k Z 即任 一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的和 二 弧度制 角度定义制 规定周角的为一度的角 记做 1 360 1 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制 角度制为 60 进制 弧度制定义 1 长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做 1 弧度的角 用弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制 1 弧度记做 1rad 2 根据圆心角定理 对于任意一个圆心角 它所对的弧长与半径的比与半径的大小无 关 而是一个仅与角 有关的常数 故可以取为度量标准 弧度数 一般地 正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数是 0 如果 半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧的长为 l 那么 角 的弧度数的绝对值是 r l 的正负由角的终边的旋转方向决定 逆时针方向为正 顺时针方向为负 三 任意角的三角函数 任意角的三角函数的定义 设是一个任意大小的角 的终边上任意点 P 的坐标是 x y 它与原点的距离 r 那么 22 0rxy 1 比值叫做的正弦 记做 即 y r sin sin y r 2 2 比值叫做的余弦 记做 即 x r cos cos x r 3 比值叫做的正切 记做 即 y x tan tan y x 另外 我们把比值叫做的余切 记做 即 把比值叫做的正割 x y cot cot x y r x 记做 即 把比值叫做的余割 记做 即 sec sec r x r y csc csc r y 对于一个确定的角 上述的比值是唯一确定的 它们都可以看成从一个角的集合到一 个比值的集合的映射 是以角为自变量 以比值为函数值的函数 我们把它们统称为三 角函数 诱导公式一 终边相同角的同一个三角函数的值相等 sin 2 sink cos 2 cosk 以上 k Z tan 2 tank 利用此公式 可以把球求任意角的三角函数值化为求 0 到 2 角的三角函数值 正弦线 余弦线 正切线 1 如图所示 设任意角的终边与单位圆交于点 P x y 那么 sin 1 yy y r cos 1 xx x r 过点 P x y 作 PM x 轴于 M 我们把线段 MP OM 都看做规定 了方向的有向线段 当 MP 的方向与 y 轴的正方向一致时 MP 是正的 当 MP 的方 向与 y 轴的负方向一致时 MP 是负的 因此 有向线段 MP 的符号与点 P 纵坐标的 符号总是一致的 且 MP y 即总有 MP y 同理也有 OM x 成立 从而 我们把单位圆中规定了方向的线段 MP OMsinyMP cosxOM 分别叫做角的正弦线 余弦线 2 如图所示 过 A 1 0 作 x 轴的垂线 交的终边 OP 的 延长线 当为第一 四象限角时 或这条终边的反向延 长线 当为第二 三象限角时 于点 T 借助于有向线 段 OA AT 我们有 于是 我们tan yAT AT xOA 把规定了方向的线段 AT 叫做的正切线 特别地 当的终边在 x 轴上时 点 A 与点 T 重合 当的终边落在 y 轴上时 OP 与垂线平行 正切线不存在 tan0AT 四 同角三角函数的基本关系 x y o P M x y P M T A O 3 同角三角函数的基本关系 根据三角函数的定义 可以推导出同角三角函数间的基本关系 由三角函数定义有 sin y r cos x r tan y x 即 222 2222 22 sincos 1 yxxyr rrrr 22 sincos1 当时 即同一个角的正 2 kkZ sin tan cos2 kkZ 弦 余弦的平方和等于 1 商等于角的正切 其中 2 kkZ 关于公式的深化 22 sincos1 2 1sinsincos 1sinsincos 1sinsincos 22 如 1sin8sin4cos4sin4cos4 1sin8sin4cos4 五 正弦 余弦的诱导公式 0 360 之间角的划分 对于任何一个 0 到 360 的角 以下四种情形有且仅有一种成立 0 90 180 90 180 180 180 270 360 270 360 诱导公式二 sin sin cos cos tan tan 诱导公式三 sin sin cos cos tan tan 诱导公式四 sin sin cos cos tan tan 以上几个诱导公式可以叙述为 对于 则 的三角函数 2 kkZ 等于的同名函数值 前面加上一个把看成锐角时原三角函数值的符号 也可以简单地说成 函数名不变 符号看象限 诱导公式五 sincos 2 cossin 2 诱导公式六 4 sincos 2 cossin 2 可以概括为 的正弦 余弦 函数值 分别等于的余弦 正弦 函数值 前面 2 加上一个把看成锐角时原函数值的符号 也可以简单地说成 函数名改变 符号看象限 六 两角和与差的正弦 余弦 正切 两角和的正弦 余弦 正切 sinsincoscossin coscoscossinsin tantan tan 1tantan 两角差的正弦 余弦 正切 sinsincoscossin coscoscossinsin tantan tan 1tantan 此处公式较多 可熟记两角和的三个公式 两角的差可以看做 进行 推导 积化和差公式 1 sincos sin sin 2 1 cossin sin sin 2 1 coscos cos cos 2 1 sinsin cos cos 2 和差化积公式 sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 5 coscos2sinsin 22 七 二倍角的正弦 余弦 正切 二倍角的正弦 余弦 正切 sin22sincos 2222 cos2cossin2cos112sin 2 sin22tan tan2 cos21tan 公式的逆向变换及相关变形 222 1sin2sincoscos sincos 22 1cos2cos 1cos2sin 22 2 1 cos 1cos2 2 2 1 sin 1cos2 2 半角公式 1cos sin 22 1cos cos 22 1cos tan 21cos 八 正弦函数 余弦函数的图像和性质 正弦函数 余弦函数图像的画法 1 几何法 利用单位圆中的正弦线作出正弦函数图像 2 五点法 观察正弦函数的图像 可以看出 下面五个点在确定正弦函数的形状时有重要作用 0 0 1 2 0 3 1 2 2 0 这五点描出后 正弦函数 y sinx x 0 2 图像形状就基本确定了 同样 0 1 这五个点描出后 余弦函数 0 2 1 3 0 2 2 1 y cosx x 0 2 的图像形状就基本确定了 用光滑曲线将五个点连接起来 再将这段曲线向左 向右平移 每次平移 2 个单位 就得到了 y sinx y cosx x R 的图像 3 正弦曲线 余弦曲线 我们把正弦函数 y sinx x R 和余弦函数 y cosx x R 的图像分别叫做正弦曲线和 余弦曲线 6 定义域 值域 函数定义域值域 y sinx 1 1 y cosx 1 1 周期性 1 一般地 对于函数 f x 如果存在一个非零常数 T 使得当 x 取定义域内的每一个值 时 都有 f x T f x 那么函数 f x 就叫做周期函数 非零常数 T 叫做这个函数的周 期 2 对于一个周期函数 f x 如果在它的所有周期中存在一个最小的正整数 那么这个最 小的正整数就叫做 f x 的最小正周期 3 因为 对于任意整数 k 2k 都是sin 2 sinxkx cos 2 cos xkx kZ 正弦函数和余弦函数的周期 其中 2 是它们的最小正周期 4 周期函数不见得总有最小正周期 如 f x c x R 其中 c 为常数 其周期 T 可以是任 意实数 周期函数的周期不唯一 若 T 是 f x 的周期 则 kT k Z 也在定义域内 因 此周期函数的定义域一定是无限集 奇偶性 1 奇函数 偶函数的定义 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 则称 f x 为这一定义域内的 奇函数 如果对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 则称 f x 为这一定义域内的偶 函数 2 由诱导公式可知 sin sin xx xR cos cos xx xR 故 y sinx x R 是奇函数 y cosx x R 是偶函数 tan tan xx xR 3 奇函数的图像关于原点对称 偶函数的图像关于 y 轴对称 单调性 1 对于函数是它的增区间 sin 2 2 22 yx xRkkkZ 是它的减区间 3 2 2 22 kkkZ 2 对于函数是它的增区间 cos 2 2 yx xRkkkZ 是它的减区间 2 2 kkkZ 九 函数的图像sin yAx A 对 y Asinx 的图像的影响 要得到函数 y Asinx A 0 A 1 的图像 可以看做把 y sinx 的图像上所有点的纵坐标 伸长 当 A 1 时 或缩短 当 0 A0 A 1 x R 的值域是 A A 最大值为 A 最小值是 A 特别地 推广到一般的情形 函数 y A f x A 0 A 1 的图像 也可以看做 y f x 的 图像上各点保持横坐标不变 而纵坐标变为原来的 A 倍得到的 容易发现 A 不会改变 7 函数的周期 即 y f x 若为周期函数且周期是 T 则 y A f x A 0 A 1 的周期也是 T 对 y sin x 的图像的影响 函数 y sin 0 1 的图像 可以看做把 y sinx 的图像上所有的横坐标缩短 当 1 时 或伸长 当 0 0 1 x R 的值域是 1 1 但其周期由 y sin 的周期 2 改变为 2 即 y sin 0 1 得周期是 2 的倍 1 推广到一般的情形 将函数 y f x 的图像上各点纵坐标保持不变 而横坐标伸长 当 0 1 时 为原来的倍 即可得到函数 y f x 0 1 的 1 图像 若 y f x 是周期函数且周期为 T 则 y f x 的周期为 T 对 y sin x 的图像的影响 函数 y sin x 的图像 其中 0 可以看做把 y sinx 的图像上所有的点向左 当 0 或向右 当0 时 或向右 当0 时 或向右 当1 或伸长 0 1 或缩短 0 A0 0 x 0 时 它可以表示一个振动 则 A 表示振动过 程中离开平衡位置的最大距离 又叫振幅 往复振动一次所需的时间叫做振动的周期 T T 单位时间内振动的次数为频率 f 叫做相位 2 2 1 T f x x 0 时 相位叫做初相 十 正切函数的图像和性质 正切函数的图像 1 根据 其中 x R 且 x x x x x xtan cos sin cos sin tan Zkkxx 2 推出正切函数的周期为 8 2 根据 要使 tanx 有意义 必须使 cosx 0 即 故正 x x x cos sin tan Zkkxx 2 切函数的定义域为 ZkkxRxx 2 且 3 根据正切函数的第定义域和周期 我们取的图像 而后向左 右扩展 2 2 x 得的图像 而后向左 右扩展 得且 2 2 tan xxyRxxy tan 的图像 如图 并把他叫做正切曲线 Zkkxx 2 正切函数的性质 1 定义域 ZkkxRxx 2 且 2 值域 R 函数无最大值 最小值 3 周期 4 奇偶性 奇函数 5 单调性 在每一开区间内均为增函数 必须注意两个问题 Zkkk 2 2 正切函数是单调增函数 但不能说函数 2 2 tanZkkkxxy 在其定义域内是单调增函数 函数 其定义域由不等式 0 0 tan AxAy 得到 其周期为 2 Zkkx T 正切函数在开区间内都是增函数 但并不在整个定义域上为 Zkkk 2 2 增函数 利用正切函数单调性比较两个角正切值的大小时 要利用诱导公式把角化到同 一单调区间再比较 或直接利用正切式 正切函数的图像既可以类似地由正切线的几何方法作出 又可以类似于 五点法 用 三点 两线法 作简图 这里三个点为 直线 直 1 4 1 4 0 kkk 2 kx 线 其中 作出三个点和这两条渐近线 便可得到在一个 2 kxZk xytan 周期上的简图 正 余弦函数与正切函数同是中心对称图形 注意正 余弦函数同时也是轴对称图形 函数的对称中心的坐标是 xytan 0 2 Zk k 9 十一 已知三角函数值求角 反正弦函数的概念 1 定义 在上 若 则 x 叫做 a 的反正弦 记做 arcsina 2 2 x 11 sin aax 2 理解 arcsina 是一个整体 它表示一个角 弧度制 arcsina 表示角的范围是 2 2 这个角的正弦值为 a 当 a 1 时 arcsina 无意义 反余弦函数的概念 1 定义 在上 若 则 x 叫做 a 的反余弦 记做 arccosa 0 x 11 cos aax 2 理解 arccosa 是一个整体 它表示一个角 弧度制 这个角的范围是 0 这个角的余弦值为 a 当 a 1 时无意义 反正切函数的概念 1 定义 在内 若 则 x 叫做 a 的反正切 记做 arctana 2 2 x tanRaax 2 理解 arctana 是一个整体 它表示一个角 弧度制 这个角的范围是 2 2 这个角的正切值是 a 10 平面向量平面向量 一 平面向量的基本概念 向量的定义 既有大小 又有方向的量叫做向量 向量有两个要素 即大小和方向 要注意将向量与仅有大小的数量进行区分 用有向线段表示向量 1 有向线段 将线段 AB 的端点规定一个顺序 以 A 为起点 也称始点 以 B 为终点 则线段 AB 就具有了方向 即由 A 只想 我们把具有方向的线段叫做有向线段 记做 有向线段 AB 2 规定线段 AB 的长度是有向线段的长度 记做 AB AB 3 有向线段的三个要素 起点 方向 长度 4 用有向线段表示向量要注意两点 有向线段的方向就是向量的方向 有向线段的长度就是向量的大小 几个重要定义 1 零向量 长度为零的向量叫做零向量 记做 0 零向量的方向是任意的 它对应的几 何图形是一个点 2 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量 3 相等向量 长度相等且方向相同的非零向量叫做相等向量 记做 a b 规定所有的零 向量都相等 4 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 也叫共线向量 任一向量 a 都 与它自身是平行向量 规定零向量与任一向量是平行向量 二 向量的加法与减法 向量的加法 1 定义 设 a b 则向量叫做 a 与 b 的和 记做 a b 即 a b ABBCACAB BCAC 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 特别地 对于零向量与任一向量 a 都有 0 a a 0 a 2 向量加法的三角形法则 根据向量加法的定义求向量和的方法 叫向量加法的三角形法则 使用三角形法则特别 要注意 首尾相接 具体步骤是把用小写字母表示的向量 用两个大写字母表示 其中 后面向量的起点与前一个向量的终点重合 即用一个字母来表示 则由第一个向量的起 点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和 3 向量加法的平行四边形法则 向量加法还可以用平行四边形法则 先把两个已知向量的起点平移到同一点 再以这两 个已知向量为邻边作平行四边形 则这两邻边所夹得对角线就是这两个已知向量的和 向量的减法 11 1 相反向量 与 a 长度相等 方向相反的向量 叫做 a 的相反向量 记作 a 规定 零 向量的相反向量仍是零向量 性质 a a a a a a 0 2 两个向量的差 向量 a 加上 b 的相反向量 叫做 a 与 b 的差 即 a b a b 3 向量的减法 求两个向量差的运算 叫做向量的减法 法则 如图所示 已知 a b 在平面内任取一点 O 作 a b OAOB 则 a b 即 a b 表示从减向量 b 的终点指向被减向量 a 的终点的向量 BA 用三角形法则求两个向量的差的步骤是 1 将两向量平移 使它们的起点重合 2 将 平移后的两向量的终点相连 3 差向量是指向被减向量 也就是 作平移 共起点 两 尾连 指被减 三 实数与向量的积 实数与向量的积得定义 一般地 实数 与向量 a 的积是一个向量 记为 a 它的长度与方向规定如下 1 a a 2 当 0 时 a 的方向与 a 的方向相同 当 1 时 有 a a 这意味着表示向 量 a 的有向线段在原方向 0 或反方向 0 上伸长了 倍 当 0 1 时 有 a a 这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向 0 1 或反方向 1 0 时 b a 可由 a 同向伸缩得到 因此 b 与 a 共线 当 0 时 b a 可由 a 反向伸缩得到 所以 b 与 a 也是共线的 值得注意的是 这个定理的内容里面 不包含 0 与 0 共线的情况 因为 a 0 强 O a b a b 12 调 a 0 是必要的 否则定理就失去必要性 如 b 0 a 0 时 b 与 a 共线是成立的 但此时 b a 是不成立的 平面向量的基本定理 如果 e1 e2是同一平面内的两个不共线的向量 那么对于这个平面内的任一向量 a 有 且只有一对实数 1 2 使 a 1e1 2e2 其中 e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 这个定理实质是 只要向量 e1不平行于 e2 平面内的任一向量 a 都可以用 e1与 e2表示出 来 而且表示形式 a 1e1 2e2是唯一的 例如 0 0e1 0e2 2e1 2e1 0e2 对于 a 1e1 2e2 有时我们也说 1e1 2e2是 e1与 e2的线性组合 或者说 a 可以被 e1 e2 表示 四 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标表示 在直角坐标系中 分别取与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向量 i j 作为基底 由平面 向量的基本定理知 该平面内的任一向量 a 可表示成 a xi yj 由于 a 与数对 x y 是一 一对应的 因此把 x y 叫做向量 a 的坐标 记作 a x y 其中 x y 分别叫作 a 在 x 轴 y 叫做在 y 轴上的坐标 注 1 相等的向量坐标相同 坐标相同的向量是相等的向量 2 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点 终点的具体位置无关 只与其相对位置 有关 两个向量相等的充要条件 设向量 a xi yj b x i y j 则 a xi yj x y b x i y j x y 于是我们得到 即 yxyxba yyxxba 且 平面向量的坐标运算 若 则 2211 yxbyxa 2121 yyxxba 若 则 2211 yxByxA 1212 yyxxAB 若 a x y 则a x y 若 则 0 2211 byxbyxa0 1221 yxyxba 若 则 若 则 2211 yxbyxa 2121 yyxxba ba 0 2121 yyxx 向量平行的坐标表示 设 则 b a a 0 x1y2 x2y1 0 2211 yxbyxa 由向量平行的充要条件易知共线的充要条件为 x2 x1 332211 yxCyxByxA 13 y3 y1 x3 x1 y2 y1 0 而不是 13 13 12 12 yy xx yy xx 凡遇到与平行有关的问题时 一般要考虑运用向量平行的充要条件 b ab a a 0 R b a a 0 x1y2 x2y1 0 其中 2211 yxbyxa 由两点间距离公式可知 若 a x y 则 a 与 a 共线的单位向量为 22 yx a a 五 线段的定比分点 线段的定比分点 定义 设 P1 P2是直线 l 上的两点 点 P 是 l 上不同于 P1 P2的任意一点 则存在一个 实数 使 叫做点 P 分有向线段所成的比 当点 P 在线段 21 pppp 21P P 上时 当点 P 在线段或的延长线上时 0 21P P0 21P P 12P P 在这个定义中 要注意三个问题 第一 不可写成的形式 因为对向量从来没有定义过除法 21 PPPP 2 1 PP PP 第二 中的 P1 P P2是有顺序的 顺序从左至右排列是 P1 P P2 即始 21 PPPP 点 分点 终点 第三 中的 P1 P P2三个点互不重合 因此 从而 21 PPPP 0 1 PP0 2 PP 应满足 0 且 1 定比分点的坐标公式 1 1 21 21 yy y xx x 上式称为有向线段的定比分点坐标公式 使用公式时 要注意始点 终点的顺序 21P P 性 中点坐标公式 当 1 时 分点 P 为线段的中点 即有 21P P 2 2 21 21 yy y xx x 上式称为中点坐标公式 五 平面向量的数量积及运算律 向量 a 与 b 的数量积 14 1 非零向量的数量积 已知两个非零向量 a 与 b 它们的夹角为 我们把叫做 a 与 b 的数量积 cos b a 或内积 点积 记为 即 ba cos b a ba 2 零向量与任一向量的数量积 规定 零向量与任一向量的数量积为 0 由以上定义可知 两个向量的数量积是一个实数 数量积的几何意义ba 1 b 在 a 的方向上的投影 如图 设两个非零向量 a 与 b 的夹角为 对于的情况 过 B 作 BB1 直线 OA 于 B1 则 1800 cos 1 bOB 我们把叫做向量 b 在 a 的方向上的投影 cos b 对于与的夹角是 0 或 180 的情况 规定 b 在 a 的方向上的投影时 OB aOA bOB 如图 2 的几何意义ba 由可知 非零向量 a 与 b 的数量积的几何意义是数量积等 cos b a baba ba 于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos的乘积 平面向量数量积运算律 已知向量 a b c 和实数 则 1 交换律 abba 2 bababa 3 cbc