八年级数学几种特殊的平行四边形华东师大版知识精讲

初二数学初二数学几种特殊的平行四边形几种特殊的平行四边形华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 几种特殊的平行四边形 教学目标 1 掌握矩形 菱形 正方形的概念 了解它们与平行四边形的关系 2 探索并掌握矩形 菱形 正方形的有关特征和识别方法 3 通过分析平行四边形和各种特殊平行四边形的概念与特征之间的联系和区别 认识特 殊与一般的关系 从而体会事物总是互相联系 又互相区别的 进一步培养辩证唯物主义 观点 教学重点 掌握几种特殊的平行四边形的特征与识别方法 教学难点 对不同特殊平行四边形的不同特征 与识别方式的区分与理解 典型例题 例 1 试说明 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 分析 分析 两个相同的直角三角形可以拼成一个矩形 故可以利用矩形的特征来加以说明 解 解 ABC 为直角三角形 且为直角 点 O 为斜边上的中点 以 O 为对称中 ABC 心 作 ABC 的中心对称图形 CDA 则所得四边形 ABCD 则 ABCD 是平行四边形 而且 所以 ABCD 是矩形 而且 B O D 在一条直线上 因为矩形的对 ABC90 角线互相平分 所以 A D O B C BD 2BO 又因为矩形的对角线相等 所以 AC BD 所以 AC 2BO 即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 例 2 如图所示 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O AB 4cm 求矩形对角线的长 AOD120 A D O B C 分析 分析 矩形的对角线相等且互相平分 因此矩形的对角线将矩形分成了四个等腰三角 形 再由特殊角我们就可以得到更特殊的三角形 等边三角形 解 解 因为矩形的对角线相等且互相平分 所以 ABO 是等腰三角形 又因为 AOD120 所以 AOB60 所以 ABO 是等边三角形 因为 AB 4cm 所以 AC BD 2AB 8cm 例 3 如图所示 平行四边形 ABCD 中 各内角的平分线分别相交于点 E F G H 试说明四边形 EFGH 是矩形 A D 1 H 3 E G 2 F B C 答案 答案 因为四边形 ABCD 是平行四边形 所以 DABABC180 而 AF BH 分别是 DABABC 的平分线 所以 1 1 2 2 1 2 BADABC 即 12 1 2 1 2 18090BADABC 由三角形的内角和定理知 39090 即 HEF 同理可得 FFGH9090 所以四边形 EFGH 是矩形 剖析 剖析 题中已知四边形 ABCD 是平行四边形 根据平行四边形的特征 两组对边分别 平行 进而由平行便可得出相邻的两个角互补 再由角平分线的定义得到 AEB BHC CGD DFA 都是直角三角形 因此四边形 EFGH 的四个角都是直角 便可判定 它是矩形了 例 4 如图所示 已知矩形 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 O 过顶点 C 作 BD 的 垂线与的平分线相交于点 E 交 BD 于 G 求证 AC CE BAD A D G O B C E 分析 分析 本题要证 AC CE 只须证如果过 A 作 AF 垂直 BD 于 F 则 ECAE 有 AF CE 因而只须证即可 这可由 AE 是角平分线和 FAECAE 而得到 BAFBDA 证明 证明 过 A 作 AF 垂直 BD 于 F 因为GE BD AFCE FAEAEC 在直角 ABD 中 BAFABD90 ABDADB BAFADB ABCD 90 四边形是矩形 OAOD BDACAD BAFDAC AEBAD BAEDAE BAEBAFDAEDAC 平分 FAECAE CAEE CACE A D O G F B C E 例 5 已知菱形的周长为 20cm 两个相邻角的度数比为 1 2 求较短的对角线长 分析 分析 菱形是四条边都相等的四边形 因此菱形的每条对角线都将它分成两个等腰形 三角形 再由特殊角可得到等边三角形 解 解 如图所示 因为菱形的四条边都相等且周长为 20cm 所以菱形的边长 D A O C B AD CD 5cm 所以 ADC 为等腰三角形 又因为 ADCDAB180 且 ADCDAB 12 所以 ADC60 因此 ADC 为等边三角形 所以较短的对角线 AC 长度为 5cm 例 6 如图所示 从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线 试说明 连接各垂足的 四边形是矩形 A N D E O F B M C 答案 答案 在菱形 ABCD 中 AD BC 因为 所以ON AD ON BC 因为 所以 N O M 三点在同一条直线上 过一点 有且只有一条直线垂OM BC 直于已知直线 同理 E O F 三点也在同一条直线上 又因为四边形 ABCD 是菱形 所以 ADBCDB 而ON ADOF DCONOF 所以 同理 OE OM OE ON 所以 ON OM OE OF 所以四边形 EMFN 为平行四边形 所以 OE OF ON OM 即 EF MN 所以四边形 EMFN 为矩形 剖析 剖析 本例中 已知菱形的两条对角线的交点 实质上隐含的是菱形的四条角平分线 的交点 再可根据角平分线的性质可得 OM OE ON OF 从而可得出四边形 EMFN 是矩 形 例 7 如图所示 在菱形 ABCD 中 E F 分别是 BC CD 上的点 且 求证 BEAF60 CEFBAE A D F B E C 分析 分析 观察 ABC 与 ACD 联想菱形性质和这个已知条件 BEAF60 寻找它们的关系 ABC 与 ACD 均为等边三角形 从而得出 AE AF 的结论 得等边 AEF 从而可确定 AE 与 AF BAE 与CAF 的大小关系 观察 ABEBAE 联想三角形外角的性质 就能得出的关系 AECAEFCEF CEFBAE与 解 解 连结 AC 四边形是菱形ABCD ABBCCDADDB ABCCDA ABACACDBACB EAF BAECAF 与为等边三角形 又 60 60 60 将 ACF 绕 A 点顺时针旋转 60 必与 ABE 重合 AEAF EAF EAF AEF AECAEFCEFBBAE CEFBAE 又 为等边三角形 又 60 60 例 8 如图所示 四边形 ABCD 是正方形 延长 BC 到 E 使 CE AC 连接 AE 交 CD 于 F 求的度数 AFC A D F B C E 答案 答案 AFC1125 剖析 剖析 本题是运用正方形的性质解题 正方形的性质很多 要根据题目的已知条件和 要达到的结论 选择最恰当的方法 使解题思路简捷 在本例中 因为是 AFC 的外角 因此只需求出的度数即可 由已知 Rt CFE FCE90 EACCE 所以 而 CA 是正方形 ABCD 的对角线 所以故 ECAE ACD45 ACE135 所以 E 180135 2 225 所以 AFCE90902251125 例 9 如图所示 若把边长为 1 的正方形 ABCD 的四个角 阴影部分 剪掉 得到四 边形 试问怎么剪才能使剩下的图形仍为正方形 说明理由 A B C D 1111 A D1 D C1 A1 B B1 C 由果索因是解答本题的重要途径 假设把如图所示的边长为 1 的正方形 ABCD 的四个角 阴影部分 剪掉 得到的四边 形是正方形 那么 它和原正方形一样是中心对称图形 并且两个正方形有相A B C D 1111 同的对称中心 由此你能得出图中线段间的关系吗 想一想 应怎样剪 解 解 剪法 当时 四边形仍为正方形AABBCCDD 1111 A B C D 1111 理由 在正方形 ABCD 中 ABBCCDDA ABCD AABBCCDD A BB CC DD A 1 90 1111 1111 又 将绕正方形对角线的交点 O 每次旋转 90 连续旋转三次 必分别与 D AA 11 重合 A BBB CCC DD 111111 D AA BB CC D AD ABA BCB CDC D AA DAD A AA DBA B D A B 11111111 11111111 1111 1111 111 1 90 90 902 由 1 2 可知四边形为正方形 A B C D 1111 例 10 如图所示 在正方形 ABCD 中 M 为 AB 的中点 BN 平分MN MD 并交 MN 于 N 求证 MD MN CBE D C N A M B E 要证 MD MN 一般证它们所在的两个三角形能够重合 但 MBN 与 ADM 不可能 重合 因此必须造一个三角形能与 MBN 重合 取 AD 的中点 P 连结 PM 证 能重合即可 MPDMBN与 证明 证明 如图所示 以 M 为中心 将 MBN 顺时针方向旋转 90 得 此时 MB N 11 MBAD 1 MBMB 1 MN MD 到 AB2N2位置 再将 NDMMB N 111 在的延长线上 再将向左平移 AB2N2向上平移 使 A 到 D 的位置 B2到 P 点 此时 N2的对应点在直线 DM 上 且DPBMABAD 1 2 1 2 PAD ABCDADABAABC ADMAMD DM MN BMNAMD ADMBMN PAADABAM 是的中点 在正方形中 又 90 90 90 1 2 1 2 APMAMP MPD BNCBE MBN DPMMBN 45 135 135 又平分 点 N2的对应点在 MN 上 点 N2的对应点在直线 MN 与 DM 的交点上 点 N2的对应点是点 M DMANMN 2 D C P N A M B E B2 B1 N2 N1 引伸 若将上述条件中的 M 是 AB 中点 改为 M 是 AB 上的任意一点 其余条 件不变 如图乙所示 则结论 MD MN 还成立吗 如果成立 请证明 如果不成立 请说明理由 上海市闵行区中考题 D C N A M B E 例 11 如图所示 在矩形 ABCD 中 已知 AD 8 AB 6 BD 10 P 是 AD 边上任一 点 那么的值为 为什么 PE BDEPF ACF 于 于 PEPF A P D F O E B C 思路点拨 思路点拨 分别求出 PE PF 困难 AOD 为等腰三角形 若联想 到等腰三角形底 边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高 这一性质 则问题迎刃而解 解 解 连结 OP 做AG BDG 于 SSS OD AGOA PFOD PE ABCD OAOD AGPFPE SAB ADBD AG AODAOPDOP ABD 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 矩形 1 2 86 1 2 10 48 48 AG AG PFPE A P D F O E G B C 例 12 如图所示 在 ABC 中 分别是 BAC90 AD BCBEAF 的平分线 BE 和 AD 交于 G 求证 GF AC ABCDAC 湖北省荆州市中考题 A E G O B D F C 思路点拨 思路点拨 从角的角度证明困难 连结 EF 在四边形 AGFE 的背景下思考问题 证明 四边形 AGFE 为平行四边形 证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形 图解 图解 1 BACAD BCD90 于 BADC BEABC ABECBE AGEABG AGEBADABE AEBCCBE AGEAEG AGAE 平分 是的外角 同理 AFGAE AF GE 平分 在 ABF 中 且交于点 G BO AFAD BF GF AB AC AB GFAC 解 解 2 连结 EF 同证法 1 可得 AG AE AFDAE AFGE GOEO ABOFBO AOBFOBABOFBOBOBO ABOFBO AOFO GOEO 平分 垂直平分 在与中 与重合 又 90 四边形 AGFE 为平行四边形 GF AC A E G O B D F C 引伸 证明四边形 AGFE 为菱形 可证出四边形 AGFE 为菱形 AF GE AGFE 平行四边形为菱形 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 两对角线互相垂直平分 并且有一个角是直角的四边形是 A 平行四边形B 矩形 C 菱形D 正方形 2 对角线互相平分且相等的四边形是 A 平行四边形B 矩形 C 菱形D 正方形 3 正方形具有而菱形不具有的性质是 A 对角线互相平分 B 对角线相等 C 对角线平分一组对角 D 对角线互相垂直 4 菱形和矩形都具有的性质是 A 对角线相等 B 对角线互相平分 C 对角线平分一组对角 D 对角线互相垂直 5 菱形的一条较短的对角线与边长相等 则菱形中较小的内角是 A 15 B 30 C 45 D 60 二 填空 1 从矩形添加 的条件或者从菱形添加 的条件就得到正方形 2 如图 1 所示 在矩形 ABCD 中 则AE BDE 于 DAEEAB3 EAC ACD 图 1 3 顺次连结四边形各边的中点是 顺次连结矩形各边的中点是 4 菱形对角线的交点到四条边的距离 若这个距离为2cm 菱形的边长为 5cm 则这个菱形的面积是 cm2 5 如图 2 所示 平行四边形 ABCD 的各角平分线围成的四边形 EFGH 是 如果 E F G H 四点重合 那么平行四边形 ABCD 一定是 图 2 三 解答 1 如图 3 所示 矩形的周长为 20cm 一边中点与对边两顶点连线 r 夹角为直角 求矩 形各边的长 图 3 2 如图 4 所示 在四边形 ABCD 中 AD CD ADCABC90 于 P 若四边形 ABCD 的面积为 25 求 DP 的长 DP AB 图 4 3 如图 5 所示 E 为正方形 ABCD 中 BC 边的中点 AE 平分 求证 BAF AF BC FC 图 5 4 如图 6 所示 在菱形 ABCD 中 点 E 是 AD 的中点 交 CB 的延长线于点EF AC F 交 AC 于点 M 试说明 AB 与 EF 互相平分 图 6 5 江苏苏州 如图 7 所示 有两个正方形的花坛 准备把每个花坛都分成形状相同的 四块 种不同的花草 下面前两个图案是设计示例 请你在后两个正方形中再设计两种以 上不同的图案 示例 图 7 请你设计 四 问题探究 1 如图 8 所示 ABC 中 点 O 是 AC 上的一个动点 过点 O 作直线 MN BC 设 MN 交的平分线于 E 交的外角平分线于 F BCA BCA 1 试说明 OE OF 2 点 O 运动到何处时 四边形 AECF 是矩形 试说明理由 3 在什么条件下 四边形 AECF 是正方形 图 8 2 如图 9 所示 ABC 是直角三角形 现将 ABC 补成矩形 使 C90 ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点 第三个顶点落在矩形这一边的对边上 则符合要 求的矩形可以画出两个 矩形 ACBD 和矩形 AEFB 如图 9 所示 图 9 解答问题 1 设如图 所示中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 则 SS 12 SS 12 填 或 AC AB 按题设要求把它 补成矩形 那么符合要求的矩形可以画出 个 4 在 3 中所画出的矩形中 哪一个的周长最小 为什么 试题答案试题答案 一 选择题 1 D2 B3 B4 B5 D 二 填空 1 一组邻边相等或对角线互相垂直 有一个角等于 90 或对角线相等 2 EAC45 ACD675 3 平行四边形 菱形 4 相等 20cm2 5 矩形 正方形 三 解答题 1 解 矩形 ABCDABCDAABCBCDD 90 EADAEED ABEDCEAD EBEC BEC ABCBCD 是中点 与沿中垂线对折重合 12 90 1245 90 345445 5645 1 2 20 2220 矩形周长 ABAEDECDAD ABAD ABAD ABAB AB AD cmcmcmcm 10 210 10 3 20 3 10 3 20 3 10 3 20 3 矩形各边长为 2 解 在四边形 ABCD 中 ABBCDADC360 BADC A ADDC 90 1180 将 APD 绕点 D 逆时针旋转 90 得 CED ADPDEE2390 SS ADPCDE A ECB DPBBE 118012180 90 三点共线 四边形为矩形 四边形为正方形