行测牛吃草问题(含例题、答案、讲解)

小升初冲刺第小升初冲刺第 2 2 讲讲 牛吃草问题牛吃草问题 基本公式 1 设定一头牛一天吃草量为 1 2 草的生长速度 对应的牛头数 吃的较多天数 相应的牛头数 吃的较少 天数 吃的较多天数 吃的较少天数 3 原有草量 牛头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数 4 吃的天数 原有草量 牛头数 草的生长速度 5 牛头数 原有草量 吃的天数 草的生长速度 例例 1 1 牧场上长满了牧草 牧草每天匀速生长 这片牧草可供 10 头牛吃 20 天 可供 15 头牛吃 10 天 问 这片牧草可供 25 头牛吃多少天 解 假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量 200 150 20 10 5 份 10 20 200 份 原草量 20 天的生长量 原草量 200 20 5 100 或 150 10 5 100 份 15 10 150 份 原草量 10 天的生长量 100 25 5 5 天 自主训练自主训练 牧场上长满了青草 而且每天还在匀速生长 这片牧场上的草可 供 9 头牛吃 20 天 可供 15 头牛吃 10 天 如果要供 18 头牛吃 可吃几天 解 假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量 180 150 20 10 3 份 9 20 180 份 原草量 20 天的生长量 原草量 180 20 3 120 份 或 150 10 3 120 份 15 10 150 份 原草量 10 天的生长量 120 18 3 8 天 例例 2 2 由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长大 反而以固定速度在减少 已知某块 草地上的草可供 20 头牛吃 5 天 或可供 15 头牛吃 6 天 照此计算 可供多少 头牛吃 10 天 解 假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量 100 90 6 5 10 份 20 5 100 份 原草量 5 天的减少量 原草量 100 5 10 150 或 90 6 10 150 份 15 6 90 份 原草量 6 天的减少量 150 10 10 10 5 头 自主训练自主训练 由于天气逐渐寒冷 牧场上的牧草每天以均匀的速度减少 经 测算 牧场上的草可供 30 头牛吃 8 天 可供 25 头牛吃 9 天 那么可供 21 头牛 吃几天 解 假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量 240 225 9 8 15 份 30 8 240 份 原草量 8 天的减少量 原草量 240 8 15 360 份或 220 9 15 360 份 25 9 225 份 原草量 9 天的减少量 360 21 15 10 天 例例 3 3 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着 两位性急的孩子要从扶梯上楼 已知男孩每 分钟走 20 级梯级 女孩每分钟走 15 级梯级 结果男孩用了 5 分钟到达楼上 女孩用了 6 分钟到达楼上 问 该扶梯共有多少级 男孩 20 5 100 级 自动扶梯的级数 5 分钟减少的级数 女孩 15 6 90 级 自动扶梯的级数 6 分钟减少的级数 每分钟减少的级数 20 5 15 6 6 5 10 级 自动扶梯的级数 20 5 5 10 150 级 自主训练自主训练 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走 男孩每秒可走 3 级阶梯 女孩每秒可走 2 级阶梯 结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒 女孩走了 300 秒 问该扶梯共有多少级 3 100 300 自动扶梯级数 100 秒新增的级数 2 300 600 自动扶梯级数 300 秒新增的级数 每秒新增的级数 2 300 3 100 300 100 1 5 级 自动扶梯级数 3 100 100 1 5 150 级 1 有一片牧场 操每天都在匀速生长 每天的增长量相等 如果放牧 24 头 牛 则 6 天吃完草 如果放牧 21 头牛 则 8 天吃完草 设每头牛每天的吃草量 相等 问 要使草永远吃不完 最多只能放牧几头牛 假设 1 头 1 天吃 1 个单位 24 6 144 21 8 168 168 144 24 每天长的草可供 24 2 12 头牛吃 最多只能放 12 头牛 2 有一片草地 草每天生长的速度相同 这片草地可供 5 头牛吃 40 天 或 6 供头牛吃 30 天 如果 4 头牛吃了 30 天后 又增加 2 头牛一起吃 这片草地还 可以再吃几天 假设 1 头 1 天吃 1 个单位 5 40 200 6 30 180 200 180 20 每天长的草 20 40 30 2 原有草 200 2 40 120 4 30 120 30 2 60 60 4 15 天 3 假设地球上新增长资源的增长速度是一定的 照此推算 地球上的资源可供 110 亿人生活 90 年 或可供 90 亿人生活 210 年 为了人类不断繁衍 那么地 球最多可以养活多少亿人 假设 1 亿人头 1 天吃 1 个单位 110 90 9900 90 210 18900 18900 9900 9000 9000 210 90 75 4 一游乐场在开门前有 100 人排队等候 开门后每分钟来的游客是相同的 一 个入口处每分钟可以放入 10 名游客 如果开放 2 个入口处 20 分钟就没人排队 现开放 4 个入口处 那么开门后多少分钟后没人排队 2 20 10 400 400 100 300 300 20 15 100 15 4 160 160 4 10 4 1 因为草量 原有草量 新长出的草量 而且草量是均匀增长的 所以 对应的牛头数 吃的较多天数 就代表了第一次情况下的总草量 即 为 吃的较多天数时的总草量 草地原有草量 草的生长速度 较多天数时的时间 同理 相应的牛头数 吃的较少天数 代表了第二次情况下的总草量 即为 吃的较少天数时的总草量 草地原有草量 草的生长速度 较少天数时的时间 两个一做差 式子中的 原有草量 就被减掉了 等号的左边就是两次情况之 下总草量的差 右边等于草的生长速度 两次情况下的时间差 所以直接把时间 差除到左边去 就得到了草的生长速度了 2 牛吃的草的总量包括两个方面 一是原来草地上的草 而是新增长出来的 草 所以 牛头数 吃的天数 表示的就是牛一共吃了多少草 牛在这段时间 把草吃干净了 所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量 当然草的总量减去 新增长出来的草的数量 就剩下原来草地上面草的数量了 牛牛吃吃草草问问题题概概念念及及公公式式 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场 是17 世纪英国伟大的科学家 牛顿提出来的 典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变 不同 头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同 求若干头牛吃这片草地可以 吃多少天 由于吃的天数不同 草又是天天在生长的 所以草的存量随牛吃 的天数不断地变化 解决牛吃草问题常用到四个基本公式 分别是 1 设定一头牛一天吃草量为 1 1 草的生长速度 对应的牛头数 吃的较多天数 相应的牛头数 吃的较少天数 吃的较多天数 吃的较少天数 2 原有草量 牛头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数 3 吃的天数 原有草量 牛头数 草的生长速度 4 牛头数 原有草量 吃的天数 草的生长速度 这四个公式是解决消长问题的基础 由于牛在吃草的过程中 草是不断生长的 所以解决消长问题的重点是 要想办法从变化中找到不变量 牧场上原有的草是不变的 新长的草虽然在 变化 但由于是匀速生长 所以每天新长出的草量应该是不变的 正是由于 这个不变量 才能够导出上面的四个基本公式 牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草 这块地既有原有的 草 又有每天新长出的草 由于吃草的牛头数不同 求若干头牛吃的这片地 的草可以吃多少天 解题关键是弄清楚已知条件 进行对比分析 从而求出每日新长草的数 量 再求出草地里原有草的数量 进而解答题总所求的问题 这类问题的基本数量关系是 1 牛的头数 吃草较多的天数 牛头数 吃草较少的天数 吃的较多的 天数 吃的较少的天数 草地每天新长草的量 2 牛的头数 吃草天数 每天新长量 吃草天数 草地原有的草 解解多多块块草草地地的的方方法法 多块草地的 牛吃草 问题 一般情况下找多块草地的最小公倍数 这样 可以减少运算难度 但如果数据较大时 我们一般把面积统一为 1 相对简 单些 牛牛吃吃草草 问问题题分分析析 华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员 姚璐 华图名师姚璐例 1 有一块牧场 可供 10 头牛吃 20 天 15 头牛吃 10 天 则它可供 25 头牛吃多少天 A 3 B 4 C 5 D 6 华图名师姚璐答案 C 华图名师姚璐解析 设该牧场每天长草量恰可供 X 头牛吃一天 这 片草场可供 25 头牛吃 Y 天 根据核心公式 代入 200 150 20 10 5 10 20 5 20 100 100 25 5 5 天 璐例 2 有一块牧场 可供 10 头牛吃 20 天 15 头牛吃 10 天 则它 可供多少头牛吃 4 天 A 20 B 25 C 30 D 35 华图名师姚璐答案 C 华图名师姚璐解析 设该牧场每天长草量恰可供 X 头牛吃一天 根据核心公式代入 20 10 15 10 5 10 20 5 20 100 100 4 5 30 头 华图名师姚璐例 3 如果 22 头牛吃 33 公亩牧场的草 54 天后可以 吃尽 17 头牛吃 28 公亩牧场的草 84 天可以吃尽 那么要在 24 天内吃 尽 40 公亩牧场的草 需要多少头牛 A 50 B 46 C 38 D 35 华图名师姚璐答案 D 华图名师姚璐解析 设每公亩牧场每天新长出来的草可供X 头牛 吃 1 天 每公亩草场原有牧草量为 Y 24 天内吃尽 40 公亩牧场的草 需要 Z 头牛 根据核心公式 代入 因此 选择 D 华图名师姚璐注释 这里面牧场的面积发生变化 所以每天长出的草 量不再是常量 下面我们来看一下上述 牛吃草问题 解题方法 在真题中的应用 华图名师姚璐例 4 有一个灌溉用的中转水池 一直开着进水管往里 灌水 一段时间后 用 2 台抽水机排水 则用 40 分钟能排完 如果用 4 台同样的抽水机排水 则用 16 分钟排完 问如果计划用 10 分钟将水排完 需要多少台抽水机 广东 2006 上 A 5 台 B 6 台 C 7 台 D 8 台 华图名师姚璐答案 B 华图名师姚璐解析 设每分钟流入的水量相当于 X 台抽水机的排水 量 共需 Y 台抽水机 有恒等式 解 得 代入恒等式 华图名师姚璐例 5 有一水池 池底有泉水不断涌出 要想把水池的 水抽干 10 台抽水机需抽 8 小时 8 台抽水机需抽 12 小时 如果用 6 台 抽水机 那么需抽多少小时 北京社招 2006 A 16 B 20 C 24 D 28 华图名师姚璐答案 C 华图名师姚璐解析 设每分钟流入的水量相当于 X 台抽水机的排水 量 共需 Y 小时 有恒等式 解 得 代入恒等式 华图名师姚璐例 6 林子里有猴子喜欢吃的野果 23 只猴子可在 9 周内吃光 21 只猴子可在 12 周内吃光 问如果有 33 只猴子一起吃 则需 要几周吃光 假定野果生长的速度不变 浙江 2007 A 2 周 B 3 周 C 4 周 D 5 周 华图名师姚璐答案 C 华图名师姚璐解析 设每天新生长的野果足够 X 只猴子吃 33 只猴 子共需 Y 周吃完 有恒等式 解 得 代入恒等式 华图名师姚璐例 7 物美超市的收银台平均每小时有 60 名顾客前来 排队付款 每一个收银台每小时能应付80 名顾客付款 某天某时刻 超市 如果只开设一个收银台 付款开始4 小时就没有顾客排队了 问如果当时 开设两个收银台 则付款开始几小时就没有顾客排队了 浙江 2006 A 2 小时 B 1 8 小时 C 1 6 小时 D 0 8 小时 华图名师姚璐答案 D 华图名师姚璐解析 设共需 X 小时就无人排队了 例例题题 1 旅客在车站候车室等车 并且排队的乘客按一定速度增加 检查速 度也一定 当车站放一个检票口 需用半小时把所有乘客解决完毕 当开放 2 个检票口时 只要 10 分钟就把所有乘客 OK 了 求增加人数的速度还有原来 的人数 设一个检票口一分钟一个人 1 个检票口 30 分钟 30 个人 2 个检票口 10 分钟 20 个人 30 20 30 10 0 5 个人 原有 1 30 30 0 5 15 人 或 2 10 10 0 5 15 人 2 有三块草地 面积分别是 5 15 24 亩 草地上的草一样厚 而且 长得一样快 第一块草地可供 10 头牛吃 30 天 第二块草地可供 28 头牛 吃 45 天 问第三块地可供多少头牛吃 80 天 这是一道牛吃草问题 是比较复杂的牛吃草问题 把每头牛每天吃的草看作 1 份 因为第一块草地 5 亩面积原有草量 5 亩面积 30 天长的草 10 30 300 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积30 天长的草是 300 5 60 份 因为第二块草地 15 亩面积原有草量 15 亩面积 45 天长的草 28 45 1260 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积45 天长的草是 1260 15 84 份 所以 45 30 15