第 53 讲 排列与组合(第2课时-排列组合)

第 53 讲 排列与组合排列与组合 排列组合排列组合 第 2 课时 排列与组合 排列组合的综合应用 有限制条件的应用问题 无限制条件的应用问题 组合的应用 的性质组合 组合数及组合数 组合 有限制条件的应用问题 无限制条件的应用问题 排列的应用 排列与排列数 排列 重点重点 1 排列组合的概念 计算公式及性质 2 排列组合的应用问题 难点难点 1 有多个限制条件的应用问题 2 排列组合的综合问题 1 理解排列组合的意义 2 掌握排列数组合数计算公式 掌握组合数的性质 3 能解决 一些简单的应用问题 1 排列组合应用题 2 结合古典型概率考查排列组合应用 1 排列的定义与排列数公式 排列的定义与排列数公式 定义 从个不同的元素中 任取 个元素 按照一定的顺序排成一列 nmnm 叫做从个不同元素中取个元素的一个排列 记为 nm m n A 特别地 当 即从个不同元素中全部取出的排列叫做全排列 记为 当nm n n n A 时 称为选排列 nm m n A 排列数公式 1 2 1 mnnnnAm n nmNnm 规定 mn n Am n nn 321 1 0 nAn n 注意 注意 利用 可以简化计算 1 1 1 1 nnnnnn 例 例 计算 6 7 6 8 神经网络神经网络 准确记忆 重点难点重点难点 好好把握 考纲要求考纲要求 注意紧扣 命题预测命题预测 仅供参考 考点热点考点热点 一定掌握 解 原式 6 1 9 66 655 6 67 6 678 点评 约分后能简化运算 2 组合的定义与组合数公式 组合的定义与组合数公式 定义 从个不同的元素中 任取 个元素并成的一组 叫做从个不同元nmnm n 素中取个元素的一个组合 记为 m m n C 组合数公式 m A C m nm n mnm n C m n 组合数的性质 规定 mn n m n CC 1 0 n C 1 1 m n m n m n CCC 3 排列组合的应用 排列组合的应用 在解答排列组合应用题时 需要注意以下几点 解实际问题时 解答中要作简要的说明 不能只列出一个算式了事 解题时 首先要考虑问题中所要做的 事情 是什么 怎样的结果才算是完成了这件事 情 例 例 过正方体各顶点可以连成多少条线段 分析 因为正方体共有 8 个顶点 这些顶点中的任意三点都不共线 所以我们要做的事情 就是从正方体的 8 个顶点中任取两个连成线段 每连成一条线段 事情就算得到了一种结果 题中所说的事情的完成办法是否要分成几类 如果需要则使用分类计数原理 加法原理 题中所说的事情是否需要分成几步来完成 如果需要则使用分步计数原理 乘法原理 完 成题中所述事情的每一步是排列问题还是组合问题 这需要考虑把取出的个元素变更一下顺m 序对本题来说是否意味着出现新的结果 实际上 你可以假设自己就是负责人 正在亲手做这 件事情 例 例 用 1 2 3 4 5 6 7 这七个数字组成没有重复数字的五位数 要求组成的五位数 的数字中有 2 个偶数 3 个奇数 能组成这样的五位数多少个 分析 完成题给事情需要分三步 第一步 从 1 到 7 中选出 2 个偶数 第二步 从 1 到 7 中选出 3 个奇数 第三步 用选出的五个数字组成五位数 解 从 1 到 7 中选出 2 个偶数有种 从 1 到 7 中选出 3 个奇数有种 用选出的五个 2 3 C 3 4 C 数字组成五位数有种 5 5 A 个 2 3 C 3 4 C1440012043 5 5 A 答 合题意的五位数共有个 14400 例 例 把 8 人平均分为 4 组 到 4 辆公交车里打扫卫生 如果同样 2 人在不同的车上作为不 同情况 问有多少种不同的分法 分析 共有 8 人 每车 2 人 第 1 步安排 2 人上第 1 车 第 2 步安排 2 人上第 2 车 第 3 步安排 2 人上第 3 车 第 4 步安排 2 人上第 4 车 完成题给事情需要分四步 解 安排 2 人上第 1 车有种方法 安排 2 人上第 2 车有种方法 安排 2 人上第 3 车 2 8 C 2 6 C 有种方法 安排 2 人上第 4 车有种方法 2 4 C 2 2 C 种 2 8 C 2 6 C 2 4 C2520 2 2 C 答 合题意的奋发共有 2520 种 请思考 本例能不能如下解 从 8 人中选出 2 人站在一边 暂不上车 有种方法 从剩 2 8 C 下的 6 人中选出 2 人站在一边 暂不上车 有种方法 从剩下的 4 人中选出 2 人站在一边 2 6 C 暂不上车 有种方法 从剩下的 2 人中选出 2 人站在一边 暂不上车 有种方法 这 2 4 C 2 2 C 时再把这四组人分上车 有分法种 故共有分法 种 4 4 A 2 8 C 2 6 C 2 4 C 4 4 2 2A C 思考题解答 这里的是重复 不出错的最好办法就是 设身处地 你想象自己身临其 4 4 A 境地去做这件事 你在分配任务时 肯定是叫出 2 人直接分到车上 而不会让他们站在一边 例 例 从 四人中 选出 2 人当代表 问共有多少种不同的选法 从以上四ABCD 人中选出 2 人 一人当班长 一人当副班长 问共有多少种不同的选法 分析 假设我们从四人中选出 这就是一种结果 把它的顺序变一下成为 ACCA 就选两个代表而言 与 是同一种结果 因此是组合问题 但对于选正副班长 CAAC 与 就不是同一种结果 因此是排列问题 CAAC 解题时 可以使用直接法 也可以使用排除法 所谓直接法就是把符合条件的结果直接算出来 排除法就是用总数减去不符合条件的而得 出符合条件的结果 例 例 用 0 1 2 3 4 5 这六个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数 解法一 直接法 从 1 2 3 4 5 中任取一个放在百位有种 从余下的 5 个数 1 5 C 中任取 2 个放在十位和个位有种 故共有排法 种 结果略 2 5 A 1 5 C 2 5 A 解法二 排除法 不考虑 0 是否在百位有种 0 在百位的有 种 故共有排法 3 6 A 2 5 P 3 6 A 种 结果略 2 5 A 解排列组合问题时 要合理确定谁是 元素 谁是 位置 在同一个问题中 元素 与 位置 有时是可以互换的 例 例 现有两种不同的职务 每种职务需要 1 人担任 候选人共有 4 名 问有多少种选法 现有 2 名同学 4 种不同的职务 每人只能担任一种职务 有多少种安排法 分析 第 小题中 要把候选人放到职务中去 所以候选人是 元素 职务是 位置 应有选法 种 第 小题中 要把职务放到候选人上去 所以职务是 元素 候选人12 2 4 A 是 位置 应有选法 种 12 2 4 A 分堆时 这一堆与那一堆是没有顺序的 例 例 有不同的 6 本书 平均分给甲 乙两人 有几种分法 平均分成两堆 有几种分 法 分析 不妨让甲先任意取 3 本 余下的就给乙 乙无选择 所以应有分法种 20 3 6 C 对于上一小题 某 3 本书 分给甲或是分给乙是不同的结果 但对于本小题 某 3 本书 放在这一堆或是那一堆是无所谓的 因为地上的两堆书是没有顺序的 所以应有分法 种 102 3 6 C 解排列组合问题要防止遗漏 也要防止重复多算 例 例 六名儿童站成一排表演节目 其中甲不站排头 乙不站排尾 问共有多少种不同的排 法 分析 我们用六个方格表示六个位置 若无条件限制 则六名 儿童可以有种排法 但现在甲不能站排头 乙不能站排尾 所以 6 6 A 应该减去这两种不合题意的排法 如图 1 甲站排头的排法为种 图 1 5 5 A 如图 2 乙站排尾的排法为种 答案似乎应为 种 且 5 5 A 5 5 6 6 2AA 慢 两个种排法中 均包含了甲站排头且同时乙站排尾的排法 5 5 A 如图 3 种 也就是说 对于甲站排头且同时乙站排尾的排法 图 2 4 4 A 甲 乙 甲乙 减去了两次 显然多减了一次 应该加回来 故答案应为 种 4 4 5 5 6 6 2AAA 点评 我们也可以利用集合来考虑这个问题 设无条件限制时 六名儿童的所有排列为全集 甲站排头的排法为集合 乙站排 图 3IA 尾的排法为集合 都是的子集 画出图来如图 4 所示 BABI 此时就应该仔细考虑 是否有交集 若有则应AB 将图画为图 5 在有交集的情况下 合题意的应该有 种 4 4 5 5 6 6 2AAA 图 4 图 5 例 例 在 3000 到 8000 之间 有多少个没有重复数字的奇数 下面的解法有错误 把 1 3 5 7 9 放在个位上有种方法 把 3 4 5 6 7 放在千位上有种方法 1 5 A 1 5 A 剩下的 8 个数字放在十位和百位上有种方法 故有奇数 个 2 8 A 1 5 A 1 5 A 2 8 A 分析 上述解法错在中包含着一类千位和个位数字相同 1 5 A 1 5 A 2 8 A 的数 例如千位和个位都是 3 5 或是 7 这样的数共有个 如 2 8 3A 右图 故正确的结果应为 个 1 5 A 1 5 A 2 8 A12323 2 8 A 例 例 从 1 2 100 中 取两数相乘 其积能被 3 整除的有几对 下面的解法有错误 所有相乘的两个数中 至少有一个是 3 的倍数 其积就能被 3 整除 反之不然 从 1 到 100 中 有 33 个 3 的倍数 每一个与其余 99 个数相乘 其积能被 3 整除 故共有 对 32679933 分析 要检查排列组合问题的结果是否正确 可以把题目中的数据特殊化和简单化 然后 再列出其结果来进行验证 现在我们把题给数据缩小范围 把 1 到 100 改为 1 到 6 其它条件不变 按照上面的解法 结果应为对 把结果列出来如下 1052 13 23 43 53 63 16 26 36 46 56 观察后发现 其中有重复 和是同一种结果 但计算了两次 63 36 1 到 100 中 是 3 的倍数的哪些数 都会出现类似情况 即 和 和96 69 1512 等等 实际上共重复个 1215 2 33 C 本题正确解法如下 对 27399933 2 33 C 或 1 到 100 中 任取两数相乘有对 1 到 100 中 有 67 个数不是 3 的倍数 从这 2 100 C 67 个数中任取 2 个数相乘有对 这对是不合题意的 故共有 对 2 67 C 2 67 C 2 100 C2739 2 67 C 能力测试能力测试 认真完成 33 55 77 余下 8 个数排 DSDS252502 0302 03 排列与组合排列与组合 1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 1111 1212 排列 组合 区分排列组合 分堆问题 防止遗漏 防止重复 利用 1 1 1 1 nnnnnn 简化计算 1 1 有 10 个同学两两握手 问共握了几次手 两两互赠照片 共需多少张 解 前者为组合 共握手次 后者为排列 共需照片张 45 2 10 C90 2 10 A 点评 正确区分是排列还是组合 2 2 5 人举行象棋比赛 每 2 人要互比一次 问共有多少场比赛 解 因为甲与乙赛棋就是乙与甲赛棋 显然是组合问题 共有场 10 2 5 C 点评 正确区分是排列还是组合 3 3 由 0 1 2 3 4 5 这六个数字可以组成多少个数字不重复的 四位偶数 大于 13000 的五位数 千位不是 1 个位不是 2 的四位数 3 4 5 这三个数字必须相邻的六位数 解 1562 2 4 3 5 3 5 AAA 55234 2 4 4 5 AA 20423 2 4 3 5 4 6 AAA 108 3 3 3 3 4 4 AAA 解题错误 第 小题出错 4 四名优等生保送到三所学校去 每所学校至少得一名 则不同的保送方案的总数多少种 解法一 分两步 先将四名优等生分成 2 1 1 三组 共有 C 种 而后 对三组学生安 2 4 排三所学校 即进行全排列 有 A33种 依乘法原理 共有 N C 36 种 2 4 3 3 A 解法二 分两步 从每个学校至少有一名学生 每人进一所学校 共有 A 种 而后 再 3 4 将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校 有 3 种 值得注意的是 同在一所学校的两名学 生是不考虑进入的前后顺序的 因此 共有 N A 3 36 种 2 1 3 4 点评 解法一采用处理分堆问题的方法 解法二分两次安排优等生 但是进入同一所学校 的两名优等生是不考虑顺序的 错解 根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生 采用先安排每学校一人 而后将剩的 一人送到一所学校 故有 3A 种 3 4 错误原因 上述解法将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序 分为两种方案 而题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的 5 5 把 6 本不同的书 平均分给 3 人 平均分成 3 堆 甲得 1 本 乙得 2 本 丙得 3 本 1 人得 1 本 1 人得 2 本 1 人得 3 本 各有多少种不同的分法 分析 用 表示 6 本不同的书 654321 aaaaaa 参考答案参考答案 仔细核对 平均分成 3 人 从 6 本中任选 2 本给第 1 人有种分法 从余下的 4 本中任选 2 本给 2 6 C 第 2 人有种分法 从最后余下的 2 本中任选 2 本给第 3 人有种分法 故共有分法 2 4 C 2 2 C 2 6 C 种 2 4 C90 2 2 C 平均分成 3 堆 和平均分给 3 人相比 这里的 3 堆没有顺序问题 因顺序引起的变化有 种 所以平均分成 3 堆共有分法 种 3 3 A 2 6 C 2 4 C15 3 3 2 2 AC 从 6 本中任取 1 本给甲有种 再从剩下的 5 本中任取 2 本给乙有种 剩下的 3 1 6 C 2 5 C 本给乙 乙无选择 故共有分法种 60 2 5 1 6 CC 在第 小题分法的基础上 甲可以拿 1 本 2 本或 3 本 所以比 多了一次排列 3 3 A 故共有分法种 360 3 3 2 5 1 6 ACC 解题错误 第 小题误为 种 2 6 C 2 4 C452 2 2 C 6 6 把 4 本不同的书分给 2 人 要求每人至少分得 1 本 有多少种分法 如果分成 2 堆 要 求每堆至少有 1 本 又有多少种分法 请你解完本题后再看看下面的解法是否正确 分成 2 堆时 某一堆得 1 本的分法有种 1 4 C 得 2 本的分法有种 故共有分法种 对吗 2 4 C10 2 4 1 4 CC 分析 用 表示 4 本书 甲 乙表示 2 人 分配情况如下表 乙无选择 abcd 甲ab ab a c abcabd 乙bcda cd cdbd d c 从表中可以看出 按 2 人分时 共有分法 种 14 3 4 2 4 1 4 CCC 按 2 堆分时 因为堆没有顺序 所以共有分法 种 72 3 4 2 4 1 4 CCC 题给解法有重复 对某一堆来说 中 某一堆得的 2 4 C 2 本可能是 也可能是 这里算成 2 种结果 但从下表abcd 可以看出 和 是同一种结果 下面的几个例子都是学生的错误解答 请你自己先行试作 看看能不能不出错 然后再看下面的几个例子都是学生的错误解答 请你自己先行试作 看看能不能不出错 然后再看 这些错误解答 想一想错在那里 最后再去看给出的点评 这些错误解答 想一想错在那里 最后再去看给出的点评 7 7 在同一平面内有 10 个点 其中有 5 点在一条直线上 其余再没有三点共线的 问一共 可以连成多少条直线 错解 若 10 个点中没有三点共线 则可连成直线条 但实际上有 5 点共线 故应剔除 2 10 C 条 所以一共可连成 条直线 2 5 C35 2 5 2 10 CC 点评 上述解答考虑似乎很周到 把不能连成直线的部分去掉了 但实际上这个答案还 2 5 C 是错误的 因为在一条直线上的 5 点虽然不能连成条直线 但连成 1 条直线还是可以的 2 5 C 正是由于这一疏忽 导致发生遗漏 正确答案应为 条直线 361 2 5 2 10 CC 8 8 四个男生进行乒乓球双打比赛 有几种配组方法 错解 双打比赛每组 2 人 与顺序无关 所以这是从 4 个元素中每次选 2 个元素的组合问 题 故共有配组方法 种 6 2 4 C 点评 咋一看 这道题很简单 所以很快便得出上述结果 我们设四个男生分别为 A 从 4 人中任选 2 人配组得 种 BCD6 2 4 CABACADBCB 然而仔细一想 选出 后 则 自然成为一组 所以上述 6 种方法两两DCDABCD 重复 实际上只有 种 与 与 与 32 2 4 CABCDACBDADBC 某一堆abcd 另一堆cdab 本题也可以这样来做 先固定 1 人 然后在余下的 3 人中任选 1 人与之配组 则另 2 人自 然成为 1 组 故共有配组方法 种 3 1 3 C 9 9 1 2 3 5 这四个数字可以组成多少个由两个或两个以上不同的数构成的和 下面的解法错在那里 请指出来 由两个数组成的和有种 由三个数组成的和有种 由四个数组成的和有种 2 4 C 3 4 C 4 4 C 共有 种 2 4 C 3 4 C11 4 4 C 点评 错在其中有重复 实际上只有 9 种 13215 51253 1010 从七本不同的中文书 三本不同的英文书中分