专题三　微创新　数列与其他知识的综合问题 -大二轮数学专题复习

微创新数列与其他知识的综合问题[考情分析]新高考下数列与其他知识的综合问题是高考的热点，也是各地模拟考试热点，经常以压轴大题的形式出现，一般难度较大，考查的范围较广.数列常与概率、函数、解析几何相结合，也可以与集合、解三角形、立体几何相结合.在学习过程中，对综合运用各种知识技能解题的灵活性要求有所加强，应予以重视.考点一数列与概率统计结合例1[数列收敛]龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况.日期t12345678910销售量y(千张)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得y=11010Σi=1yi=2.2，10Σi=1tiyi(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)；(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34，并且A套餐只可使用一张优惠券，B套餐只可使用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n(n∈N*)张的概率为Pn，求P(3)记(2)中所得概率Pn的值构成数列{Pn}(n∈N*).①求数列{Pn}的最值；②数列收敛的定义：已知数列{an}，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N0，使得当n>N0时，|an-a|<ε(a是一个确定的实数)，则称数列{an}收敛于a.根据数列收敛的定义，证明数列{Pn}收敛.参考公式：b^=nΣi=1(xi-x)((1)解剔除第10天的数据，可得y新=2.2×10-0.49t新=1+2+3+4+5+6+7+8+99则(9Σi=1tiyi)新(9Σi=1ti2)所以b^==114.73-9×5×2.4285-9×52可得a^=2.4-6736000×5=所以y^=6736000t+(2)解由题意知Pn=14Pn-1+34Pn-2(n≥3)，其中P1=P2=14×14+34所以Pn+34Pn-1=Pn-1+34Pn-2(n≥3又由P2+34P1=1316+34×所以Pn+3所以Pn+34Pn-1=1(n≥2)所以Pn-47=-34Pn-1-又因为P1-47=14-47所以数列Pn-47是首项为-9故Pn-47=-9所以Pn=-928-34n-1+(3)①解当n为偶数时，Pn=47+373最大值为P2=1316当n为奇数时，Pn=47-3734n<47综上，数列{Pn}的最大值为1316，最小值为1②证明对任意ε>0，总存在正整数N0=log347ε3+1(其中使得当n>N0时，Pn-=3734n<所以数列{Pn}收敛.[规律方法]数列与概率相结合出现的频率较高，一般是根据题干得到数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程中灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.跟踪演练1(2024·苏州模拟)现有甲、乙两个盒子中都有大小、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作.重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn.(1)求随机变量X1的分布列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)求证：nΣi=16-10ai9aia(1)解由题可知X1的可能取值为0，1，2，根据题意得，X1=0即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换，X1=1即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换，X1=2即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则P(X1=0)=13×23=P(X1=1)=13×13+23×2P(X1=2)=23×13=X1的分布列为X1012P252(2)解由全概率公式可知P(Xn+1=1)=P(Xn=1)P(Xn+1=1|Xn=1)+P(Xn=2)P(Xn+1=1|Xn=2)+P(Xn=0)P(Xn+1=1|Xn=0)=13×13+23×23P(Xn=1)+23×1P(=59P(Xn=1)+23P(Xn=2)+23P(Xn即an+1=59an+23bn+23(1-an-b即an+1=-19an+2an+1-35=-1又a1=P(X1=1)=59所以数列an-35是以a1--19an-35=-245×-即{an}的通项公式为an=35+2(3)证明因为6-10ai=-4=135+所以n=135+25-191-13=95-135+25-19n考点二数列与其他知识的结合问题例2(2024·苏州模拟)点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列.过曲线C：y=x3上的点P1(x1，y1)作曲线C的切线l1与曲线C交于P2(x2，y2)，过点P2作曲线C的切线l2与曲线C交于点P3(x3，y3)，依此类推，可得到点列：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，…，Pn(xn，yn)，…，n∈N*，已知x1=1.(1)求数列{xn}，{yn}的通项公式；(2)记点Pn到直线ln+1(即直线Pn+1Pn+2)的距离为dn.求证：1d1+1d2+…+(1)解曲线C上点Pn(xn，yn)处的切线ln的斜率为kn=y'x=x故得到切线方程为y-yn=3xn2(x-xn联立y消去y得x3-3xn2x+2x化简得(x-xn)2(x+2xn)=0，所以x=xn或x=-2xn，由x=xn得到点Pn的坐标(xn，yn)，由x=-2xn就得到点Pn+1的坐标(-2xn，(-2xn)3)，所以xn+1=-2xn，故数列{xn}是首项为1，公比为-2的等比数列，所以xn=(-2)n-1，yn=(-8)n-1.(2)证明由(1)知Pn+1((-2)n，(-8)n)，Pn+2((-2)n+1，(-8)n+1)，所以直线ln+1的方程为y-(-8)n=(-8)n-(-8)n+1(-2)n化简得3·4nx-y-2(-8)n=0，因为dn=|=27·8n-19·42所以1dn>所以1d1+1d2+…+1dn>19即1d1+1d2+…+[规律方法]数列与函数、解析几何等的结合，通常与函数、圆锥曲线的切线相结合，利用切点或交点的变化构造递推关系，构造等差或等比数列解决问题.跟踪演练2(2024·长沙市长郡中学模拟)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0(1)若椭圆E过点(2，2)，求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1，l2均过点P(pn，0)(0<pn<a，n∈N*)且互相垂直，直线l1交椭圆E于A，B两点，直线l2交椭圆E于C，D两点，M，N分别为弦AB和CD的中点，直线MN与x轴交于点Q(tn，0)，设pn=13①求tn；②记an=|PQ|，求数列1an的前n项和S解(1)因为e=ca=22，a2=b2+c2，所以a2=2b所以椭圆E的方程为x22b2因为椭圆E过点(2，2)，所以42b2+解得b2=4，所以椭圆E的方程为x28+(2)①当直线l1，l2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线MN与x轴重合，不符合题意.故直线l1，l2的斜率均存在且不为0.设直线l1的方程为y=k(x-pn)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，联立x消去y并整理得(1+2k2)x2-4k2pnx+2k2pn2-2b2因为直线与椭圆相交于两个不同的点，所以Δ>0，x1+x2=4px1x2=2k则x同理可得x因为M，N，Q三点共线，所以yN(xN-xM)=(yN-yM)(xN-tn)，易知yN-yM≠0，则tn=x=2pnk因为pn=13所以tn=23②结合①可知an=|PQ|=|pn-tn|=13n-23n+1=所以数列1an是首项为9，公比为所以数列1an的前n项和Sn=9(1-3n)1-3=9专题强化练(分值：51分)1.(17分)如图，对每个正整数n，An(xn，yn)是抛物线x2=4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn，tn).(1)试证：xnsn=-4(n∈N*)；(6分)(2)取xn=2n，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证：|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.(11分)证明(1)对任意固定的n∈N*，因为焦点F(0，1)，所以可设直线AnBn的方程为y-1=knx，将它与抛物线方程x2=4y联立得x2-4knx-4=0，由一元二次方程根与系数的关系得xnsn=-4(n∈N*).(2)对任意固定的n∈N*，利用导数知识易得抛物线x2=4y在An处的切线的斜率kAn=故x2=4y在An处的切线的方程为y-yn=xn2(x-xn)，类似地，可求得x2=4y在Bn处的切线的方程为y-tn=sn2(x-sn)，由②-①得yn-tn=-xn-sn2x+xxn-sn所以x=xn+s将③代入①并注意xnsn=-4得交点Cn的坐标为xn由两点间的距离公式得|FCn|2=xn=xn24+sn24+2=则|FCn|=|xn|取xn=2n，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=12(|x1|+|x2|+…+|xn|)+2=12(2+22+…+2n)+212+122+…+12n=(2n-1)+2.(17分)(2024·吉林模拟)短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.(1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联；(单位：人)(7分)游客短视频合计收看未看南方游客北方游客合计(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.①求经过i(i∈N*)次传递后球回到甲的概率；(4分)②记前m(m∈N*)次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望.(6分)参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)将所给数据进行整理，得到如下列联表：游客短视频合计收看未看南方游客200100300北方游客80120200合计280220500零假设H0：南北方游客来此景点旅游与收看短视频无关联.χ2=500×(200×120-80×100=8000231≈34.632>10.828=x0.001根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.(2)①设经过i次传递后球回到甲的概率为Pi，Pi=(1-Pi-1)×14=-14Pi-1+14(i≥Pi-15=-1又P1-15=-15所以Pi-15是首项为-1所以Pi=15-15-14i-1②设第i次传递时甲接到球的次数为Yi，则Yi服从两点分布，E(Yi)=Pi，设前m次传递中球传到甲的次数为Y，E(Y)=E(mΣi=1Yi)=mΣi=1=P1+P2+P3+…+Pm=m5-15×1--14m1+因为E(X)=m-所以E(X)=m5+125-3.(17分)(2024·广州模拟)已知正项数列{an}，{bn}满足an+1=bn+c2，bn+1=an+(1)若a1≠b1，且a1+b1≠2c，证明：数列{an-bn}和an+bn-2(2)若a1>b1，a1+b1=2c，以an，bn，c为三角形三边长构造序列△AnBnCn(其中AnBn=c，BnCn=an，AnCn=bn)，记△AnBnCn的外接圆的面积为Sn，证明：Sn>π3c2；(6分(3)在(2)的条件下证明：数列{Sn}是递减数列.(6分)证明(1)正项数列{an}，{bn}满足an+1=bn+c2，bn两式相减可得an+1-bn+1=-12(an-bn)因为a1≠b1，所以a1-b1≠0，所以{an-bn}是以a1-b1为首项，-12由an+1=bn+c2，bn两式相加可得an+1+bn+1=12(an+bn)+c即an+1+bn+1-2c=12(an+bn-2c)因为a1+b1≠2c，所以a1+b1-2c≠0，所以{an+bn-2c}是以a1+b1-2c为首项，12为公比的等比数列(2)因为a1>b1，由(1)得{an-bn}是等比数列，所以an-bn≠0，即an≠bn，由(1)知，an+1+bn+1-2c=12(an+bn-2c)因为a1+b1=2c，所以a1+b1-2c=0，所以{an+bn-2c}为常数列{0}，故an+bn=2c，由cosCn=a=a=a=3=38a≥34-14=因为a