初中数学九年级数学竞赛试题及答案

九年级数学竟赛试卷 题目一二三四五六总 分 分数 一 填空 每小题 3 分 共 30 分 1 已知是方程的一个根 则代数式 m 2 10 xx 2 mm 2 一名同学在掷骰子 连续抛了 9 次都没有点数为 6 的面朝上 当他掷第 10 次时 点 数为 6 的面朝上是 事件 3 已知则 2 31 3 abab 1 1 ab 4 如图 O 是的外接圆 ABC 0 30C 2ABcm 则 O 的半径为 cm 5 已知是关于的方程的一个根 则 1x x 22 20 xaxa a 6 如图 如果从半径为 9cm 的圆形纸片剪去圆周的一个扇形 将留下的扇形围成一 1 3 个圆锥 接缝处不重叠 那么这个圆锥的高为 cm 7 如图 将一块斜边长为 12cm 的直角三角板 绕点沿逆时针方60B ABCC 向旋转至的位置 再沿向右平移 使点刚好落在斜边上 那90 A B C CB B AB 么此三角板向右平移的距离是 cm 8 如图 A 是第一象限里的点 点 B 是点 A 关于原点的对称点 点 C 是点 A 关于轴的对称点 则以点 A B C 为顶点的三角x 形是 三角形 9 如图是正方形网格 请在其中选取一个白色的单位正方形4 4 并涂黑 使图中黑色部分是一个中心对称图形 10 已知 关于的一元二次方程没有实数x 22 1 0 4 xRr xd 根 其中 分别为 O1和 O2的半径 为此两圆的圆心距 则 O1和 O2的位Rrd 置关系为 二 选择题 每小题 3 分 共 18 分 11 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A B C D 12 如图所示 电路图上有 A B C 三个开关和一个小灯泡 闭合开关 C 或者同时闭 合开关 A B 都可使小灯泡发光 现在任意闭合其中一个开关 则小灯泡发光的 概率等于 A B C D 3 2 2 1 3 1 4 1 13 已知 是两个连续自然数 且 设 mn mn qmn pqnqm 则 p 总是奇数 总是偶数 有时是奇数 有时是偶数 有时是有理数 有时是无理数 14 如图 O 内切于 切点分别为 D E F 已知 ABC 0 50B 0 60C 连接 OE OF DE DF 那么等于 EDF A B C D 0 55 0 40 0 65 0 70 15 为执行 一免一补 政策 我市 2006 年投入教育经费 2500 万元 预计 2008 年投 入 3600 万元 设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为 则下列方程正确的是x 2 25003600 x 2 2500 1 3600 x 2 2500 1 3600 x 2 2500 1 2500 1 3600 xx 16 如图 将半径为的圆形纸片折叠后 圆弧恰好2cm 经过圆心 则折痕的长为 OAB 2cm3cm2 3cm2 5cm 三 解答题 第 17 题 6 分 18 19 题 7 分共 20 分 学校 班级 姓名 座号 Q 密 封 线 A B A C C B AB C 17 计算 12712 2 2 23 18 如图 中 ABC RtACB 求斜边上的高 2 8 BCABABCD 19 小军与小玲共同发明了一种 字母棋 进行比胜负的游戏 她们用四种字母做成 10 只棋子 其中 A 棋 1 只 B 棋 2 只 C 棋 3 只 D 棋 4 只 字母棋 的游戏规则为 游戏时两人各摸一只棋进行比赛称一轮比赛 先摸者 摸出的棋不放回 A 棋胜 B 棋 C 棋 B 棋胜 C 棋 D 棋 C 棋胜 D 棋 D 棋胜 A 棋 相同棋子不分胜负 1 若小玲先摸 问小玲摸到 C 棋的概率是多少 2 已知小玲先摸到了 C 棋 小军在剩余的 9 只棋中随机摸一只 问这一轮中小玲胜 小军的概率是多少 3 已知小玲先摸一只棋 小军在剩余的 9 只棋中随机摸一只 问这一轮中小玲希望 摸到哪种棋胜小军的概率最大 四 每小题 8 分 共 16 分 20 如图 已知为等边三角形 M 为三角形外任意一点 ABC 1 请你借助旋转知识说明 AMBMCM 2 线段 AM 是否存在最大值 若存在 请指出存在的条件 若不存在 请说明理由 21 如图 已知 AB 是 O 的直径 AC 是弦 CD 切 O 于点 C 交 AB 的延长线于点 D BD 5 0 120ACD 1 求证 CA CD 2 求 O 的半径 五 第 22 题 8 分 第 23 题 9 分共 17 分 22 某超市销售一批羽绒服 平均每天可售 20 件 每件盈利 40 元 为扩大销售增加盈 利 超市决定适当降价 如果每件羽绒服降阶 1 元 平均每天可多售出 2 件 如果超市 要保证平均每天要盈利 1200 元 同时又要顾客得到实惠 那么每件羽绒服应降价多少 元 23 已知 x1 x2 是关于 x 的方程 x 2 x m p 2 p m 的两个实数根 1 求 x1 x2 的值 2 若 x1 x2 是某直角三角形的两直角边的长 问当实数 m p 满足什么条件时 此直角三角形的面积最大 并求出其最大值 六 第 24 题 9 分 第 25 题 10 分共 19 分 24 已知 如图 ACD 90 AC 2 点 B 为 CG 边上的一个动点 连接 AB 将 ACB 沿 AB 边所在的直线翻折得到 ADB 过点 D 作 DF CG 于点 F 1 当 BC 2 3 3 时 判断直线 FD 与以 AB 为直径的 O 的位置关系 并加以证明 2 如图 点 B 在 CG 上向点 C 运动 直线 FD 与 AB 为直径的 O 交于 D H 两点 连 接 AH 当 CAB BAD DAH 时 求 BC 的长 25 在图 1 5 中 正方形 ABCD 的边长为 a 等腰直角三角形 FAE 的斜边 AE 2b 且边 AD 和 AE 在同一直线上 操作示例 当 2b a 时 如图 1 在 BA 上选取点 G 使 BG b 连结 FG 和 CG 裁掉 FAG 和 CGB 并分别拼接到 FEH 和 CHD 的位置构 成四边形 FGCH 思考发现 小明在操作后发现 该剪拼方法就是先将 FAG 绕点 F 逆时针旋转 90 到 FEH 的位 置 易知 EH 与 AD 在同一直线上 连结 CH 由剪拼方法可得 DH BG 故 CHD CGB 从而又可将 CGB 绕点 C 顺时针旋转 90 到 CHD 的位置 这样 对于剪拼得到 的四边形 FGCH 如图 1 过点 F 作 FM AE 于点 M 图略 利用 SAS 公理可判断 HFM CHD 易得 FH HC GC FG FHC 90 进而根据正方形的判定方法 可以判断 出四边形 FGCH 是正方形 实践探究 1 正方形 FGCH 的面积是 用含 a b 的式子表示 2 类比图 1 的剪拼方法 请你就图 2 图 3 图 4 的三种情形分别画出剪拼成一 个新正方形的示意图 联想拓展 小明通过探究后发现 当 b a 时 此类图形都能 剪拼成正方形 且所选取的点 G 的位置在 BA 方向上 随着 b 的增大不断上移 当 b a 时 如图 5 的图形能否剪拼成一个正方形 若能 请你在图中画出剪拼的 示意图 若不能 简要 说明理由 附参考答案 一 1 1 2 随机 3 4 2 3 5 1 或 2 6 7 53326 8 等腰直角三角形 9 如图所示 10 外离 注 写 相离 者不给分 二 11 D 12 C 13 D 14 A 15 B 16 C 三 17 解 原式 2 1 3 分49 3 1 5 分 2 6 分 18 解 AC 2 分628 22 BCAB S ABC AC BC CD AB 3 分 2 1 2 1 CD 7 分 2 6 8 26 AB BCAC 19 2007 苏州中考题 解 1 小玲摸到 C 棋的概率等于 1 分 3 10 2 小玲在这一轮中胜小军的概率是 3 分 4 9 3 若小玲摸到 A 棋 小玲胜小军的概率是 若小玲摸到 B 棋 小玲胜小军的概 5 9 率是 若小玲摸到 C 棋 小玲胜小军的概率是 若小玲摸到 D 棋 小玲胜小 7 9 4 9 军的概率是 由此可见 小玲希望摸到 B 棋 小玲胜小军的概率最大 7 分 1 9 20 数学理报 2007 下期末专号 1 将 BMC 绕 B 点逆时针方向旋转 使 C 点与 A 点重合 得 BM A 1 分 MBM 600 BM BM AM MC BMM 为正三角形 M M BM 2 分 若 M 在 AM 上 则 AM AM M M BM MC 3 分 若 M 不在 AM 上 连结 AM MM 在 AMM 中 根据三角形三边关系可知 图 3 F A BC D E 图 4 F A BC D E 图 2 F A BC E D 2b a a 2b 2a b a F 图 1 A BC E D H G 2b a F 图 5 A BC E D b a AM AM M M AM BM MC 5 分 2 线段 AM 有最大值 6 分 当且仅当 M 在 AM 上时 AM BM MC 存在的条件是 ABM 600 8 分 21 1 连结 OC 1 分 CD 是 O 的切线 OCD 900 2 分 OCA ACD OCD 1200 900 300 OAC OCA 300 3 分 又 ADC 1800 ACD OAC 1800 1200 300 300 OAC 4 分 CA CD 5 分 2 ADC 300 OC OD OB 6 分 2 1 B 是 OD 的中点 OB 5 即 O 的半径为 5 8 分 22 解 设每件羽绒服应降价 x 元 依题意得 40 x 20 2x 1200 3 分 整理得 x2 30 x 200 0 5 分 解得 x1 10 x2 20 7 分 为了使顾客多得实惠 所以要尽量多降价 故 x 取 20 元 答 每件羽绒服应降价 20 元 8 分 23 2007 年四川绵阳中考题 解 1 原方程变为 x2 m 2 x 2m p2 m 2 p 2m x2 p2 m 2 x m 2 p 0 2 分 x p x p m 2 x p 0 3 分 即 x p x p m 2 0 x1 p x2 m 2 p 4 分 2 直角三角形的面积为 5 2 2 1 2 1 21 pmpxx pmp 2 2 1 2 1 2 分 4 2 2 2 2 2 1 2 22 mm pmp 7 分 8 2 2 2 2 1 2 2 mm p 当且 m 2 时 以 x1 x2为两直角边长的直角三角形的面积最大 最大 2 2 m p 面积为或 9 分 8 2 2 m 2 2 1 p 24 证明 如图 作以 AB 为直径的 O ADB 是将 ACB 沿 AB 边所在的直线翻折得到的 ADB ACB ADB ACB 90 O 为 AB 的中点 连接 DO OD OB AB 点 D 在 O 上 在 Rt ACB 中 BC AC 2 AB CAB BAD 30 ABC ABD 60 BOD 是等边三角形 BOD 60 ABC BOD FC DO DF CG ODF BFD 90 OD FD FD 为 O 的切线 2 如图 延长 AD 交 CG 于点 E 同 1 中的方法 可证点 C 在 O 上 四边形 ADBC 是圆内接四边形 FBD 1 2 同理 FBD 2 3 1 2 3 FBD FDB 又 DFB 90 FBD CAD 45 ACE 90 EC BC x