2011年浙江省高考数学试卷.docx

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 ，集合 ， ，那么 2复数 3执行如图所示的程序框图若输出 ，则输入4设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，且 若 ，则 的取值范围是 5某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为 的正方形，该正三棱柱的表面积是 6设实数 ， 满足条件 则 的最大值是7已知函数 ，则“ ”是“ ，使 ”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件8如图，正方体 中， 是棱 的中点，动点 在底面 内，且 ，则点 运动形成的图形是（A）线段 （B）圆弧（C）椭圆的一部分 （D）抛物线的一部分第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9已知向量 ， 若向量 与 垂直，则实数 _10已知函数 则 _11抛物线 的准线方程是_；该抛物线的焦点为 ，点 在此抛物线上，且 ，则 _12某厂对一批元件进行抽样检测经统计，这批元件的长度数据 (单位： )全部介于 至 之间将长度数据以 为组距分成以下 组： ， ， ， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图若长度在 内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批产品的合格率是_13在 中，内角 ， ， 的对边边长分别为 ， ， ，且 若 ，则 的面积是_14已知数列 的各项均为正整数，其前 项和为 若 且 ，则 _； _. 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数 的一个零点是 （）求实数 的值； （）设 ，求 的单调递增区间16（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面 为正方形，面 为等腰梯形， / ， ， ， （）求证： 平面 ；（）求四面体 的体积； （）线段 上是否存在点 ，使 /平面 ？证明你的结论17（本小题满分13分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 小时收费 元，超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算）现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过 小时（）若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为 ，停车付费多于 元的概率为 ，求甲停车付费恰为 元的概率；（）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为 元的概率 18（本小题满分13分）已知函数 ， ，其中 （）求 的极值；（）若存在区间 ，使 和 在区间 上具有相同的单调性，求 的取值范围19（本小题满分14分）如图，已知椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点，线段 的中点为 ， 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点（）若点 的横坐标为 ，求直线 的斜率；（）记 的面积为 ， （ 为原点）的面积为 试问：是否存在直线 ，使得 ？说明理由 20（本小题满分13分）已知集合 对于 ， ，定义 ； ； 与 之间的距离为 （）当 时，设 ， ，求 ；（）证明：若 ，且 ，使 ，则 ；（）记 若 ， ，且 ，求 的最大值 北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准 2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1 B；2A；3D； 4B；5C；6C；7A；8B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 ； 10 ； 11 ， ； 12 ； 13 ； 14 ， 注：11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：依题意，得 ， 1分 即 ， 3分解得 5分（）解：由（）得 6分 8分 10分由 ，得 ， 12分所以 的单调递增区间为 ， 13分16（本小题满分14分）（）证明：在 中，因为 ， ， ，所以 2分又因为 ， 所以 平面 4分（）解：因为 平面 ，所以 因为 ，所以 平面 6分 在等腰梯形 中可得 ，所以 所以 的面积为 7分所以四面体 的体积为： 9分（）解：线段 上存在点 ，且 为 中点时，有 / 平面 ，证明如下：10分连结 ，与 交于点 ，连接 因为 为正方形，所以 为 中点 11分 所以 / 12分因为 平面 ， 平面 ， 13分 所以 /平面 所以线段 上存在点 ，使得 /平面 成立 14分17（本小题满分13分）（）解：设“甲临时停车付费恰为 元”为事件 ， 1分 则 所以甲临时停车付费恰为 元的概率是 4分（）解：设甲停车付费 元，乙停车付费 元，其中 6分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为： ，共 种情形 10分其中， 这 种情形符合题意 12分故“甲、乙二人停车付费之和为 元”的概率为 13分18.（本小题满分13分）（）解： 的定义域为 ， 且 2分 当 时， ，故 在 上单调递增 从而 没有极大值，也没有极小值 4分 当 时，令 ，得 和 的情况如下： 故 的单调减区间为 ；单调增区间为 从而 的极小值为 ；没有极大值 6分（）解： 的定义域为 ，且 8分 当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减，不合题意 9分 当 时， ， 在 上单调递减当 时， ，此时 在 上单调递增，由于 在 上单调递减，不合题意 11分当 时， ，此时 在 上单调递减，由于 在 上单调递减，符合题意 综上， 的取值范围是 13分19（本小题满分14分）（）解：依题意，直线 的斜率存在，设其方程为 1分将其代入 ，整理得 3分设 ， ，所以 4分故点 的横坐标为 依题意，得 ， 6分解得 7分（）解：假设存在直线 ，使得 ，显然直线 不能与 轴垂直由（）可得 8分因为 ，所以 ， 解得 ， 即 10分因为 ，所以 11分所以 ， 12分整理得 13分因为此方程无解，所以不存在直线 ，使得 14分20（本小题满分13分）（）解：当 时，由 ，得 ， 所以 3分（）证明：设 ， ， 因为 ，使 ，所以 ，使得 ，所以 ，使得 ，其中 所以 与 同为非负数或同为负数 6分 所以 8分（）解法一： 设 中有 项为非负数， 项为负数不妨设 时 ； 时， 所以 因为 ，所以 ， 整理得 所以 1