高考数学总复习《立体几何》部分试题及答案

1 高考数学总复习试卷高考数学总复习试卷 立体几何综合训练立体几何综合训练 第第 I 卷 选择题卷 选择题 共共 60 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 题目要求的 1 下列命题正确的是 A 直线 a b 与直线 l 所成角相等 则 a b B 直线 a b 与平面 成相等角 则 a b C 平面 与平面 所成角均为直二面角 则 D 直线 a b 在平面 外 且 a a b 则 b 2 空间四边形 ABCD M N 分别是 AB CD 的中点 且 AC 4 BD 6 则 A 1 MN 5 B 2 MN 10 C 1 MN 5 D 2 MN 5 3 已知 AO 为平面 的一条斜线 O 为斜足 OB 为 OA 在 内的射影 直线 OC 在平面 内 且 AOB BOC 45 则 AOC 等于 A 30 B 45 C 60 D 不确定 4 甲烷分子结构是 中心一个碳原子 外围四个氢原子构成四面体 中心碳原子与四个氢原子等距离 且连成四线段 两两所成角为 则 cos 值为 A B C D 3 1 3 1 2 1 2 1 5 对已知直线 a 有直线 b 同时满足下面三个条件 与 a 异面 与 a 成定角 与 a 距离为定值 d 则这样的直线 b 有 A 1 条 B 2 条 C 4 条 D 无数条 6 是不重合两平面 l m 是两条不重合直线 的一个充分不必要条件是 A 且 l m B 且 l m ml ml C l m 且 l m D l m 且 l m 7 如图正方体中 E F 分别为 AB 的中点 则异面直线与 EF 所成角的余 1111 DCBAABCD 1 CCCA1 弦值为 A B C D 3 3 3 2 3 1 6 1 8 对于任一个长方体 都一定存在一点 这点到长方体的各顶点距离相等 这点到长方体的各条棱 距离相等 这点到长方体的各面距离相等 以上三个结论中正确的是 A B C D 9 在斜棱柱的侧面中 矩形最多有几个 2 A 2 B 3 C 4 D 6 10 正六棱柱的底面边长为 2 最长的一条对角线长为 则它的侧面积为 52 A 24 B 12 C D 224212 11 异面直线 a b 成 80 角 P 为 a b 外的一个定点 若过 P 有且仅有 2 条直线与 a b 所成的角相等 且等于 则角 属于集合 A 0 40 B 40 50 C 40 90 D 50 90 12 从水平放置的球体容器的顶部的一个孔向球内以相同的速度注水 容器中水面的高度与注水时间 t 之 间的关系用图象表示应为 第第 II 卷 非选择题卷 非选择题 共共 90 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 13 正四棱锥 S ABCD 侧棱长与底面边长相等 E 为 SC 中点 BE 与 SA 所成角的余弦值为 14 为两个不同平面 m n 是平面 外的两条不同直线 给出下面四个结论 m n m n 以其中三个为条件 另一个为结论 写出你认为正确的一个命题 按形式写 15 已知 A B C D 为同一球面上的四点 且连接每两点的线段长都等于 2 则球心到平面 BCD 的距 离等于 16 斜三棱柱中 侧面的面积为 S 到面的距离是 a 则该三棱柱的 111 CBAABC CCBB 111 AA 11B BCC 体积是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 个小题 共个小题 共 74 分 解答应写出必要文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出必要文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知平面 平面 a 平面 平面 平面 平面 b a b 求证 a b 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形 且与底面垂直 底面是以 ADC 为锐角的 菱形 1 试问 当 ADC 为多大时 有 PA CD 2 当 PA CD 时 求面 PAB 与面 PCD 所成角的大小 3 19 本小题满分 12 分 三棱柱中 AB AC a BAC 90 顶点 1 A在底面 ABC 上的射影为 BC 边的中点 M 111 CBAABC 1 求证 BC 垂直于 1 A A M 三点确定的平面 2 如果三棱锥的体积为 求棱锥侧面与底面 ABC 所成锐二面角的大小 111 CBAC 3 a 12 3 11A ABB 20 本小题满分 12 分 已知 ABC 和 DBC 中 AB BC BD a ABC DBC 120 沿两三角形的公共边 BC 折成 60 的 二面角 求 1 AD 和平面 DBC 所成的角 2 二面角 A BD C 的正切值 21 本小题满分 12 分 已知 如图 四边形 ABCD EADM 和 MDCF 是个三边长为 a 的全等的正方形 点 P Q 分别是 ED 和 AC 的中点 求 1 PQ 与 AD 所成的角的大小 2 平面 EBF 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值 3 多面体 EFM ABCD 的体积 22 本小题满分 14 分 4 如图 甲 乙是边长为 4a 的两块正方形钢板 现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱 将乙裁剪焊接成一个 正四棱锥 使它们的全面积都等于一个正方形的面积 不计焊接缝的面积 1 将你的裁剪方法用虚线标示在图中 并作简要说明 2 试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小 并证明你的结论 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 D A B C 均可找出反例排除 2 A 取 AD 中点 P 中 PM 3 PN 2 由三角形三边大小关系即得 A PMN 3 C 由 60 2 1 coscoscosAOCBOCAOBAOC 4 A 一个正四面体的各顶点与中心连线所成的角 5 D 先考虑一特例 在 a 垂直半径为 d 的圆面的边界上任一切线均可 有无数条 b 不垂直 ba 也可类似得到 6 C l 与 m 不相交就不充分 B 不充分 C 也不充分 D 充分不必要 5 7 B 取中点 连 则为所求 在中计算 11C A 1 OFO1FEO1 OEF 8 B 只有 1 正确 此点为对角线的交点 9 A 最多 2 个 若有 3 个 则底面有三条边与侧棱垂直 也即底面一定存在两相交直线与侧棱垂直 10 A 易计算 底面半径为 2 进而计侧棱长为 2 24226 侧 S 11 B 将两异面直线平移到 O 点 相交成 80 100 两对角 过 P 作直线与两直线成 40 角 a b 有一条 40 50 之间有 2 条 50 有 3 条 50 90 有 4 条 12 A 体积等速增加 在球内高度变化 先快 再慢 又快 选 A 二 填空题二 填空题 13 14 或 3 3 15 16 6 6 a s 2 提示 13 取 AC 中点 O EO SA 为所求角 在中求解OEB EOB 15 依题意知 这四点为一个正四面体的顶点 球为该四面体的外接球 所求距离为内接球半径 两球同 心 距离为四面体高的 4 1 16 将其分为三棱锥 四棱锥且 21 ABCA 111 BBCCA SaV BBCCA 3 1 11 a S SaV 23 1 2 3 三 解答题三 解答题 17 1 如图 在内过一点 P 作 m 垂直于的交线 与 则 m 过 P 作 n 垂直的交线 与 则 n aa am an Pnm a 2 过 b 作平面 S 交平面于 b 则 bb 同理可在作 bb 6 bb 平面 b ab ab ab b 18 1 如图 过 P 作 PH CD 于 H 平面 PCD 平面 ABCD PH 平面 ABCD AH 是 PA 在平面 ABCD 上的射影 又 PC PD H 为 CD 中点 当时 为正三角形 AH CD 又 PH 平面 ABCD 60ADCACD PA CD 2 过 P 作直线CDl PH l lAPCD AP 为所求二面角的平面角APH 又为等腰直角三角形 PHA 45APH 19 1 连结AM MA1 M 是在平面 ABC 上的射影 1 A 平面 ABC MA1 BC 在平面 ABC 上 BCMA 1 7 由 AB AC M 是 BC 中点 有 BCAM BC 平面 AMA1 2 过 M 在平面 ABC 内作于 N 连结 ABMN NA1 则 ABNA 1 是侧面与底面 ABC 所成的锐二面角的平面角 NMA1 11A ABB 由于三棱锥的高等于的长 111 CBAC MA1 又三棱锥的体积为 三角形的面积为 111 CBAC 3 12 3 a 111 CBA 2 2 1 a 3 1 2 12 3 2 1 3 1 aMAa aMA 2 3 1 为等腰直角三角形 M 为斜边中点 ABC ABMN aMN 2 1 在中 MNARt 1 3tan 1 NMA 即侧面与底面 ABC 所成的锐二面角为 60 60 1MN A 11A ABB 20 1 过 A 点作交 CB 的延长线于 O 连 DO 取 DO 中点 K 连 AK BOAO OACO DOCO 的二面角的平面角为 60 AOD DBCA CO 面 ADO 面 AOD 面 DOC 在等边三角形 AOD 中 DOAK 8 面 BOD AK AD 与平面所成角为 60ADO 2 过 K 作 KE BO 于 E AK 面 BDK 为 A BD C 的平面角的补角 AEK 在中 AKE aAOAKaKE 4 3 2 3 8 3 故 32tan AEK 二面角 A BD C 正切值为 32 21 1 过 P 作 PH AE 于 H 过 Q 作 QN AB 于 N 连结 HN 则 QN AD 2 1 PH 四边形 PHNQ 是平行四边形 PQ HN 又 且 ABADAEAD AABAE 则 AD平面 EAB 而 HN平面 EAB 而 HN平面 EAB ADHN 即 ADPQ PQ 与 AD 所成的角为 90 2 过 B 作 RS AC 交 DA 的延长线于点 R 交 DC 的延长线于点 S 取 EF 的中点 O 连结 OB OQ QB 正方形 ABCD QBAC 又 RS AC QBRS OQ平面 ABCD 由三垂线定理可得 OBRS 9 为平面 EBF 与平面 ABCD 所成二面角的平面角在中 OBQ OQBRt aOQ aBQ 2 2 2tan BQ OQ OBQ 平面 EBF 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值为 2 3 将图形补成一个正方体ABCDMEGF EBFCABCDEFM VVV 体体体 aa 2 1 3 1 a 23 3 a 6 5 22 1 将正方形甲按图中虚线剪开 以两个正方形为底面 四个长方形为侧面 焊接成一个底面边长为 2a 高为 a 的正四棱柱 将正方形乙按图中虚线剪开 以两个长方形焊接成边长为 2a 的正方形为底面 三个等腰三角形为侧