平面几何特性.doc

第5章 平面图形的几何性质5.1 静矩和形心5.1.1 静矩任意平面图形如图5-l所示，其面积为A。y轴和z轴为图形所在平面内的任意直角坐标轴。取微面积dA，dA的坐标分别为y和z，zdA、ydA分别称为微面积对y轴、z轴的静矩。遍及整个面积A的积分 (5-1)分别定义为平面图形对y轴和z轴的静矩。 由式(5-1)可见，随着坐标轴y、z选取的不同，静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。静矩的量纲是长度的三次方。图515.1.2 形心设想有一个厚度很小的均质薄板，薄板中间面的形状与图5-1的平面图形相同。显然，在yz坐标系中，上述均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标和。由静力学的力矩定理可知，薄板重心的坐标和分别是 (5-2)式(5-2)就是确定平面图形的形心坐标的公式。利用式(5-1)可以把式(5-2)改写成， (5-3)所以，把平面图形对z轴和y轴的静矩，除以图形的面积A就得到图形形心的坐标和。把式(5-3)改写为， (5-4)这表明，平面图形对y轴和z轴的静矩，分别等于图形面积A乘图形形心坐标和。由式(5-3)和式(5-4)看出，若和，则和。可见，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之，若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。通过形心的轴称为形心轴。例5-1 图5-2中抛物线的方程为。计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩和，并确定图形的形心C的坐标。图5-2解 取平行于z轴的狭长条作为微面积dA (图5-2a)，则有图形的面积及对z轴的静矩分别为代入式（5-3）,得取平行于y轴的狭长条作为微面积如图5-2b所示，仿照上述方法，即可求出，5.1.3 组合图形的静矩和形心当一个平面图形是由若干个简单图形 (例如矩形、圆形、三角形等) 组成时，由静矩的定义可知，图形各组成部分对某一轴的静矩的代数和，等于整个图形对同一轴的静矩，即， (5-5)式中，和、分别表示第个简单图形的面积及形心坐标；为组成该平面图形的简单图形的个数。若将式(5-5)代入式(5-3)，则得组合图形形心坐标的计算公式， (5-6)例5-2 试确定图5-3所示平面图形的形心C的位置。图 5-3 图 5-4解 将图形分为、两个矩形，如图取坐标系。两个矩形的形心坐标及面积分别为矩形矩形应用式(5-6)，得形心C的坐标为 形心C的位置，如图5-3所示。例5-3 某单臂液压机机架的横截面尺寸如图5-4所示，试确定截面形心的位置。解 截面有一个垂直对称轴，其形心必然在这一对称抽上，因而只需确定形心在对称轴上的位置。把截面图形看成是由矩形ABED减去矩形abcd，并以ABED的面积为,abcd的面积为。以底边EC作为参考坐标轴y。由式(5-6)，整个截面图形的形心C的坐标为5.2 惯性矩 惯性积 惯性半径5.2.1 惯性矩、惯性半径任意平面图形如图5-5所示，其面积为A，y轴和z轴为图形所在平面内的一对任意直角坐标轴。在坐标为(y，z)处取一微面积dA，z2dA和y2dA分别称为微面积dA对y轴和z轴的惯性矩，而遍及整个平面图形面积A的积分 (5-7)分别定义为平面图形对y轴和z轴的惯性矩。图5-5在式(5-7)中，由于y2、z2总是正值，所以、也恒为正值。惯性矩的量纲是长度的四次方。工程上，为方便起见，经常把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积，即 或改写为 ，式中，分别称为图形对y轴和z轴的惯性半径，其量纲为长度。如图55所示，微面积dA到坐标原点的距离为，定义 (5-10)为平面图形对坐标原点的极惯性矩。其量纲仍为长度的四次方。由图5-5可以看出 (5-11)所以，图形对于任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。5.2.2 惯性积在图5-5所示的平面图形中，定义yzdA为微面积dA对y轴和z轴的惯性积。而积分式 (5-12)定义为图形对y、z轴的惯性积。惯性积的量纲为长度的四次方。由于坐标乘积职y、z可能为正或负，因此，的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。若坐标轴y或z中有一个是图形的对称袖，例如图5-6中的z轴。这时，如在z袖两侧的对称位置处，各取一微面积dA，显然，两者的z坐标相同，y坐标则数值相等而符号相反。因而两个微面积的惯性积数值相等，而符号相反，它们在积分中相互抵消，最后导致所以，两个坐标轴中只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对这一对坐标轴的惯性积等于零。图 5-6例5-4 试计算矩形对其对称轴y和z(图5-7)的惯性矩。矩形的高为h，宽为b。图5-7解 先求对y轴的惯性矩。取平行于y铀的狭长条作为微面积dA。则用完全相同的方法可以求得若图形是高为h宽为b的平行四边形(图5-8)，它对形心轴y的惯性矩仍然是。图5-8 图5-9例5-5 计算圆形对其形心轴的惯性矩。解 取dA为图5-9中的阴影部分的面积，则z轴和y轴都与圆的直径重合，由于对称性，必然有由公式(5-11)，显然可以求得式中是圆形对圆心的极惯性矩。这里又得出与式(4-14)相同的结论。对于图5-10所示的环形图形，由公式(4-15)知图5-10又由公式(5-11)并根据图形的对称性对于例5-4、5-5的矩形、圆形及环形，y轴及z轴均为其对称轴，所以其惯性积均为零。5.2.3 组合图形的惯性矩及惯性积根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为 (5-13)式中，、分别为第个简单图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。例如可以把图5-10所示环形图形，看作是由直径为D的实心圆减去直径为d的圆，由式（5-13），并应用例5-5所得结果即可求得例5-6 两圆直径均为d，而且相切于矩形之内，如图5-11所示。试求阴影部分对y铀的惯性矩。图5-11解 阴影部分对y轴的惯性矩等于矩形对y轴的惯性矩减去两个圆形对y轴的惯性矩。故得5.3 平行移轴公式同一平面图形对于平行的两对不同坐标轴的惯性矩或惯性积虽然不同，但当其中一对轴是图形的形心轴时，它们之间却存在着比较简单的关系。下面推导这种关系的表达式。在图5-12中，设平面图形的面积为A，图形形心C在任一坐标系yz中的坐标为(，)， 、 轴为图形的形心轴并分别与y、z轴平行。取微面积dA，其在两坐标系中的坐标分别为y、z及yc、zc，由图512可见图5-12， (a)平面图形对于形心轴yc、zc的惯性矩及惯性积为 (b)平面图形对于y、z轴的惯性矩及惯性积为 上三式中的及分别为图形对形心轴和的静矩，其值等于零。再应用式(b)，则上三式简化为 (5-14)式(5-14)即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。在使用这一公式时，要注意到和是图形的形心在yz坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。利用平行移轴公式可使惯性矩和惯性积的计算得到简化。例5-7 试计算图5-11所示图形阴影部分对z轴的惯性矩。解 阴影部分对z轴的惯性矩等于矩形对z轴的惯性矩减去两个圆形对z袖的惯性矩。由式(5-14)可得两个圆形对z轴的惯性矩为故得阴影部分对z轴的惯性矩为例5-8 试计算图5-13所示图形对其形心轴yc的惯性矩。图5-13 图5-14解 把图形看作由两个矩形I和组成。图形的形心必然在对称轴上。为了确定，取通过矩形的形心且平行于底边的参考轴为y轴形心位置确定后，使用平行移轴公式，分别计算出矩形I和对yc轴的惯性矩整个图形对轴的惯性矩为例5-9 计算图5-14所示三角形OBC对y、z轴和形心轴yc、zc的惯性积。解 三角形斜边BC的方程式为取微面积三角形对y、z轴的惯性积为三角形的形心C在yz坐标系中的坐标为，由式(5-14)得5.4 转轴公式当坐标轴绕原点旋转时，平面图形对于具有不同转角的各坐标抽的惯性矩或惯性积之间存在着确定的关系。下面推导这种关系。图5-15设在图5-15中，平面图形对于y、z轴的惯性矩、及惯性积均为已知，y、z轴绕坐标原点O转动角(逆时针转向为正角)后得新的坐标轴、。现在讨论平面图形对 、轴的惯性矩、及惯性积与已知、及的之间的关系。在图5-15所示的平面图形中任取微面积dA，由几何关系可得 (a)据定义，平面图形对轴的惯性矩为 (b)注意等号右侧三项中的积分分别为、将以上三式代入式(b)并考虑到三角函数关系，可以得到 (5-15)同理，将(a)代入，表达式可得 (5-16) (5-17)式（5-15）、式(5-16)及式(5-17)即为惯性矩及惯性积的转轴公式。式（5-15）、式(5-16)相加得+ (5-18)式(5-18)表明，当角改变时，平面图形对互相垂直的一对坐标轴的惯性矩之和始终为一常量。由式（5-11）可见，这一常量就是平面图形对于坐标原点的极惯性矩。例5-10 求矩形对轴的惯性矩和惯性积，形心在原点O(图5-16)。图5-16解 矩形对y、z轴的惯性矩和惯性积分别为，由转轴公式得从本例的结果可知，当矩形变为正方形时，即在a=b时，惯性矩与角无关，其值为常量，而惯性积为零。这个结论可推广于一般的正多边形，即正多边形对形心轴的惯性矩的数值恒为常量，与形心轴的方向无关，并且对以形心为原点的任一对直角坐标轴的惯性积为零。5.5 主惯性轴 主惯性矩 形心主惯性轴及形心主惯性矩前已述及，当坐标轴绕原点旋转，角改变时，、亦随之变化，但其和不变。因此，当变至极大值时，必为极小值。将式(5-15)对求导数，并令其为零。用表示有极值的，得 (5-19)由式(5-19)可以求出相差的两个角和，从而确定了一对坐标轴。平面图形对这一对轴中的一个轴的惯性矩为最大值，而对另一个轴的惯性矩为最小值。由式(5-17)容易看出，图形对这两个轴的惯性积为零。惯性矩有极值，惯性积为零的轴，称为主惯性轴，对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。将式(5-19)用余弦函数和正弦函数表示，即并代入式（5-15）及式（5-16），得主惯性矩计算公式为 （5-20）通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。例5-11 试确定图5-17所示图形的形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩。图5-17解 过两矩形的边缘取参考坐标系如图5-17所示。(1)求形心(2)求图形对形心轴的惯性矩及惯性积过形心C取坐标系与平行，并过两矩形的形心平行于分别取及坐标系。首先求矩形、对、轴的惯性矩及惯性积。矩形、的形心C1、C2在坐标系上的坐标分别为，矩形矩形图形由矩形、组合而成，因此，图形对、轴的惯性矩及惯性积为(3)求形心主轴位置及形心主惯性矩由此得或或即形心主惯性轴及与轴的夹角分别为及，如图5-17所示。以角两个值分别代入式（5-15），求出图形的主惯性矩为也可按式（5-20）求得形心主惯性矩为当确定主惯性轴位置时，设是由公式（5-19）所求出的两角度中的绝对值最小者，若，则是与之间的夹角；若，则是与之间的夹角。例如，本例中，由所确定的形心主惯性轴，对应着最大的形心主惯性矩。习 题5-1确定下列图形形心的位置。题5-1图5-2试用积分法求下列各图形的值。题5-2图5-3计算题5-1中各平面图形对形心轴的惯性矩。5-4薄圆环的平均半径为r，厚度为t(tr)。试证薄圆环对任意直径的惯性矩为，对圆心的极惯性矩为。5-5计算半圆形对形心轴的惯性矩。题5-5 图5-6计算下列图形对y、z轴的