立体几何考点

七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中 高中试卷 课件 教案免费下载 本资料来源于本资料来源于 七彩教育网七彩教育网 立体几何立体几何 棱棱 锥 含答案解析 锥 含答案解析 考试目标考试目标 主词填空主词填空 1 定义 有一个面是多边形 其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体 2 分类 按底面边数分 三棱锥 四棱锥 特例 正棱锥 底面是正多边形并且顶点在底面上射影是底面中心的棱锥 3 性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么截面和底面相似 并且它们面积之 比等于截得棱锥的高和已知棱锥高的平方比 即 类推 2 2 h h S S 截 底 截 3 3 h h V V 截截 对于正棱锥 1 各条侧棱相等 2 各侧面是全等的等腰三角形 3 棱锥的高 和斜高及斜高在底面上的射影构成一个直角三角形 棱锥的高和侧棱的底面上的射影也构 成一个直角三角形 4 侧面积和体积 2 1 为斜高 底正棱锥侧 hhCS 一 考点概要 3 1 为高 底锥 hhSV 1 空间向量及其运算 1 空间向量的基本知识 定义 空间向量的定义和平面向量一样 那些具有大小和方向的量叫做 向量 并且仍用有向线段表示空间向量 且方向相同 长度相等的有向线段表 示相同向量或相等的向量 空间向量基本定理 定理 如果三个向量 不共面 那么对于空间任一向量 存在唯一的有 序实数组 x y z 使 且把 叫做空间的一个基底 都叫基向量 正交基底 如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直 那么这个 基底叫正交基底 单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时 称为单 位正交基底 通常用 表示 空间四点共面 设 O A B C 是不共面的四点 则对空间中任意一点 P 都存在唯一的有序实数组 x y z 使 共线向量 平行向量 定义 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 则这 些向量叫做共线向量或平行向量 记作 规定 零向量与任意向量共线 共线向量定理 对空间任意两个向量 平行的充要条件是 存在实数 使 共面向量 定义 一般地 能平移到同一平面内的向量叫做共面向量 空间的任意两 个向量都是共面向量 向量与平面平行 如果直线 OA 平行于平面或 在 内 则说向量 平行 于平面 记作 平行于同一平面的向量 也是共面向量 共面向量定理 如果两个向量 不共线 则向量 与向量 共面的充 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中 高中试卷 课件 教案免费下载 要条件是 存在实数对 x y 使 空间的三个向量共面的条件 当 都是非零向量时 共面向量定理 实际上也是 所在的三条直线共面的充要条件 但用于判定时 还需要证 明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内 共面向量定理的推论 空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是 存在有 序实数对 x y 使得 或对于空间任意一定点 O 有 空间两向量的夹角 已知两个非零向量 在空间任取一点 O 作 两个向量的起点一定要相同 则叫做向量 与 的夹角 记作 且 两个向量的数量积 定义 已知空间两个非零向量 则 叫做向量 的数量积 记作 即 规定 零向量与任一向量的数量积为0 注意 两个向量的数量积也叫向量 的点积 或内积 它的结果是一 个实数 它等于两向量的模与其夹角的余弦值 数量积的几何意义 叫做向量 在 方向上的投影 其中 为向量 和 的 夹角 即 数量积 等于向量 的模与向量 在 方向上的投影的乘积 基本性质 运算律 2 空间向量的线性运算 定义 与平面向量运算一样 空间向量的加法 减法与数乘向量运算如 下 加法 减法 数乘向量 运算律 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 二 复习点睛 1 立体几何初步是侧重于定性研究 而空间向量则侧重于定量研究 空间 向量的引入 为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有 效的工具 2 根据空间向量的基本定理 出现了用基向量解决立体几何问题的向量法 建立空间直角坐标系 形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法 它们的解答 通常遵循 三步 一化向量问题 二进行向量运算 三回到图形问题 其实 质是数形结合思想与等价转化思想的运用 3 实数的运算与向量的运算既有联系又有区别 向量的数量积满足交换律 和分配律 但不满足结合律 因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意 组合 值得一提的是 完全平方公式和平方差公式仍然适用 数量积的运算在 许多方面和多项式的运算如出一辙 尤其去括号就显得更为突出 下面两个公 式较为常用 请务必记住并学会应用 2 空间向量的坐标表示 1 空间直角坐标系 空间直角坐标系 O xyz 在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 以点 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中 高中试卷 课件 教案免费下载 O 为原点 分别以 的方向为正方向建立三条数轴 x 轴 y 轴 z 轴 它们都叫 做坐标轴 点 O 叫做原点 向量 叫做坐标向量 通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标平面 分别称为 xOy 平面 yOz 平面 zOx 平面 右手直角坐标系 右手握住 z 轴 当右手的四指从正向 x 轴以90 角度 转向正向 y 轴时 大拇指的指向就是 z 轴的正向 构成元素 点 原点 线 x y z 轴 面 xOy 平面 yOz 平面 zOx 平 面 空间直角坐标系的画法 作空间直角坐标系 O xyz 时 一般使 xOy 135 或45 yOz 90 z 轴垂直于 y 轴 z 轴 y 轴的单位长度 相同 x 轴上的单位长度为 y 轴 或 z 轴 的一半 2 空间向量的坐标表示 已知空间直角坐标系和向量 且设 为坐标向量 如图 由空间向量基本定理知 存在唯一的有序实数组 叫做向量在此直角坐标系 中的坐标 记作 在空间直角坐标系 O xyz 中 对于空间任一点 A 对应一个向量 若 则有序数组 x y z 叫做点在此空间直角坐标系中的坐标 记为 A x y z 其中 x 叫做点 A 的横坐标 y 叫做点 A 的纵坐标 z 叫做点 A 的竖坐标 写点 的坐标时 三个坐标间的顺序不能变 空间任一点的坐标的确定 过 P 分别作三个与坐标平面平行的平面 或垂 面 分别交坐标轴于 A B C 三点 x OA y OB z OC 当 与 的方向相同时 x 0 当 与 的方向相反时 x 0 同理可确 y z 如图 规定 一切空间向量的起点都是坐标系原点 于是 空间任意一个向量 与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的 坐标减去起点的坐标 设 则 3 空间向量的直角坐标运算 空间两点间距离 空间线段 的中点 M x y z 的坐标 球面方程 二 复习点睛 4 过定点 O 作三条互相垂直的数轴 它们都以 O 为原点且一般具有相同 的长度单位 这三条轴分别叫做 z 轴 横轴 y 轴 纵轴 z 轴 竖轴 统称坐 标轴 通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上 而 z 轴则是铅垂线 它们的正方向要 符合右手规则 即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系 点 O 叫 做坐标原点 5 空间直角坐标系中的特殊点 1 点 原点 的坐标 0 0 0 题型示例题型示例 点津归纳点津归纳 例 1 棱锥P ABCD的底面是正方形 侧面PAB PAD都垂直于底面 另两侧面与 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中 高中试卷 课件 教案免费下载 底面成 45 角 M N分别为BC CD的中点 最长的侧棱为 15 cm 求 1 棱锥的高 2 底面中心O到平面PMN的距离 解前点津 棱锥的概念在本题求解中并无作用 重点应分析和利用好给出的面面 关系 规范解答 如图所示 1 设高为h 由平面PAB 平面PAD都垂直于底面 得PA 底面AC 又 PBA 45 PA AB h AC h 2 由PA2 AC2 PC2及PC 15 得h 5 cm 3 2 BD AC BD PA BD 平面PAC 又MN BD MN 平面PAQ 平面PAQ 平面PMN 作OH PQ于H 则OH之长即为所求 作AG PQ于G 在 Rt PAQ中 AQ hAC 4 23 4 3 PQ 4 34 22 hAQPA AG 17 173 h PQ AQPA 再由得 3 1 QA QO AG OH OH cm 17 515 17 17 3 1 hAG 解后归纳 由于在棱锥中 随处可以找到解题必需的三角形 因此平面几何知识 和解三角形的知识往往成为正确解题的关键 例 2 如图 已知四棱锥P ABCD的底面是菱形 棱长为 4a 且 ABC 60 PC 平面ABCD PC 4a E是PA的中点 1 求证 平面BDE 平面ABCD 2 求 E点到平面PBC的距离 3 求 二面角A EB D的平面角的大小 解前点津 1 证平面BDE 平面ABCD 需证 平面BDE过平面ABCD的一条垂线OE 2 欲求E到平面PBC的距离可转化为求直线OE到 平面的距离 进一步转化为求点O到平面PBC的距离 3 利用三垂线定理作出二面角的平面角 AGO 从而 解出 AGO可求得 AGO的大小 规范解答 证明 1 连结AC BD交于O 连OE BE DE ABCD为菱形 OA OC 又E为PA中点 OE PC 例 1 题图 例 2 题图 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中 高中试卷 课件 教案免费下载 PC 平面ABCD OE 平面ABCD 又OE平面BDE 平面BDE 平面ABCD 2 解 OE PC PC平面 PBC OE 平面PBC E到平面PBC的距离与O到平面PBC的距离相等 PC 平面ABCD 平面PBC 平面ABCD 过O作OF BC于F 则OF 平面PBC 即OF是O到平面PBC的距离 ABC 60 AC AB BC 4a OC 2a OF OC sin60 2a 2 3 a3 点E到平面PBC的距离为 a3 3 解 过O作OG BE于G 连AG OE AC BD AC AC 平面BDE AG BE AGO是二面角A BE D的平面角 OE PC 2a OB 2 2 1 a4 2 3 a3 BE 4a 22 OEOB 由三角形面积相等得 OG 又AO AC 2a a a aa BE OBOE 3 4 322 2 1 Rt AOG中 tan AGO 3 32 OG AO AGO arctan 3 32 二面角A EB D的平面角的大小为 arctan 3 32 解后归纳 本题考查线线平行 垂直 线面平行与垂直 面面垂直的判定及性质 点到面的距离 二面角大小的求法 综合运用知识的能力 转化能力 例 3 如图 设三棱锥S ABC的三个侧棱与底面ABC所成角都是 60 又 BAC 60 且SA BC 1 求证S ABC为正三棱锥 2 已知SA a 求S ABC的全面积 解前点津 1 正棱锥的定义中 底面是正多边形 顶点在底面上射影是底面的中心 两个条件缺一不可 2 只要求出正三棱锥S ABC的侧高SD与底面边长 则问题易于解决 规范解答 1 证明 作三棱锥S ABC的高SO O为垂足 连结AO并延长交BC于D 例 3 题图 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中 高中试卷 课件 教案免费下载 因为SA BC 所以AD BC 又侧棱与底面所成的角都相等 从 而O为 ABC的外心 OD为BC的垂直平分线 所以AB AC 又 BAC 60 故 ABC为正三角形 且O为其中心 所以S ABC为正三棱锥 2 在 Rt SAO中 由于SA a SAO 60 所以SO a 2 3 AO a 因O为重心 所以AD 2 1 aAO 4 3 2 3 BC 2BD 2ADcot 60 OD AD a 2 3 3 1 a 4 1 在 Rt SOD 中 SD2 SO2 OD2 则 2 2 2 16 13 4 1 2 3 aaa aSD 4 13 SS ABC全 16 393 3 2 3 4 13 2 1 360sin 2 3 2 1 22 aaaa 解后归纳 求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底 cos S正棱锥 侧 为侧面与底面所成的二面角 就本题 cos S ABC 13 1 2 16 33 a 所以SS ABC侧 22 16 393 13 1 6 33 aa 也可求出全面积 例 4 已知正三棱锥P ABC底面边长为 2 高也是 2 1 求此三棱锥的全面积 2 过这棱锥底面的一边作垂直于它所对棱的截面 求这个截面的面积 规范解答 1 斜高h 3 39 S全 S侧 S底 113 32 4 3 3 39 6 2 1 2 2 设顶点P在底面上的射影为O 连AO并延长交BC于E 连结PE PE BC AE BC BC 平面PAE PA BC 在平面PAE中 作ED PA于D 则PA 截面BCD 在 PAE中 AE AB 2 AB 2 3 AE 在 Rt PAO中 PO 2 AO 3 3 32 PA PA DE AE PO DE 3 4 2 3 截面DBC的面积是 2 3 解后归纳 关于多面体表面积的计算 常用方法是将其表面展开成平面图形 转化 为平面几何问题来解决 关于截面积的计算问题 则须根据截面的图形特征选择适当方法求 之 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中 高中试卷 课件 教案免费下载 对应训练对应训练 分阶提升分阶提升 一 基础夯实 1 具有下列性质的三棱锥中 哪一个是正棱锥 A 顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等 B 底面是正三角形 且侧面都是等腰三角形 C 相邻两条侧棱间的夹角相等 D 三条侧棱相等 侧面与底面所成角也相等 2 在四棱锥的四个侧面中 直角三角形最多可能有 A 4 个 B 2 个 C 3 个 D 1 个 3 设棱锥的底面面积为 8cm2 那么这个棱锥的中截面 过棱锥高的中点且平行于底面的 截面 的面积是 A 4cm2 B 2cm2 C 2cm2 D cm222 4 已知三棱锥P ABC的六条棱长均相等 E F分别为棱PB PC上的点 且 2 1 EB PF 连结AE AF EF 则三棱锥A EFP的体积与四棱锥A BCFE的体积之比为 3 1 FC PF A 1 10 B 1 11 C 1 12 D 1 13 5 如图所示 用一个平面去截一个正方体 得到一个三棱锥 在这个三棱锥中 除截 面外的三个面的面积分别为S1 S2 S3 则这个三棱锥的体积为 A 3 321 SSS V B 3 2 321 SSS V C 3 2 321 SSS V D 6 321 SSS V 6 一个n棱锥的所有侧面与底面所成的二面角为 30 且此棱锥的底面面积为S 则 它的侧面积等于 A B C D 2SS 2 1 S 2 3 S 3 32 7 以三棱锥各面重心为顶点 得到一个新三棱锥 则它的表面积是原三棱锥表面积的 A B C D 3 1 4 1 9 1 16 1 8 两个平行于底面的截面将棱锥的侧面积分成三个相等的部分 则此两截面将棱锥的高 分成的三段 自上而下 之比是 第 5 题图 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中 高中试卷 课件 教案免费下载 A 1 B 1 1 1 2323 C 1 1 D 1 1 232232 9 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起 使得BD a 则三棱锥D ABC的体积 为 A B C D 6 3 a 12 3 a 3 12 3 a 3 12 2 a 二 思维激活 10 正四棱锥S ABCD 已知侧棱长等于底面边长 E是SA的中点 则异面直线BE与 SC所成角的余弦值等于 11 如果三棱锥S ABC的底面是不等边三角形 侧面与底面所成的二面角都相等 且顶 点S在底面的射影O在 ABC内 那么O是 ABC的 心 12 三棱锥一条侧棱长 16cm 和这条棱相对的棱长是 18cm 其余四条棱长都是 17cm 则棱锥的体积是 cm3 13 三棱锥P ABC的底面是直角三角形 C 90 PA 底面ABC 若A到PC PB 的距离比是 1 2 则侧面PAB与侧面PBC所成的角是 14 在正四棱锥内有一内接正方体 这正方体的四个顶点在棱锥的侧棱上 另四个顶点 在棱锥底面内 若棱锥底面边长为a 高为h 则内接正方体的棱长为 三 能力提高 15 正三棱锥V ABC的底面边长为a 侧棱与底面所成的角等于 过底面一边作此 棱锥的截面 当截面与底面所成二面角为何值时 截面面积最小 并求出最小值 16 如图所示 在正三棱锥S ABC中 D E F分别是棱AC BC SC上的点 且 CD 2AD CE 2BE CF 2SF G是AB的中点 1 求证 平面SAB 平面DEF 2 求证 SG 平面DEF 3 当AB 2 SA 时 求二面角F DE C的大小 35 17 三棱锥P ABC中 PB 底面ABC于B BCA 90 PB BC CA 4 E为PC的 中点 点F在PA上 且 3PF FA 1 求证 侧面PAC 侧面PBC 2 求异面直线PA与BE所成角的大小 3 求三棱锥F ABE的体积V 18 棱长为 1 的正方体ABCD A B C D 的上底面对角线AC上取一点 P 过 P A B 三点所作的截面与底面A B C D 的夹角为 过P B C 三点所作截面 与底面A B C D 的夹角为 求当 最小时点P的位置 第 16 题图 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中 高中试卷 课件 教案免费下载 19 正三棱锥P ABC中 AB a 相邻两个侧面所成的二面角为 1 若BD PC 求BD的长 2 求这棱锥的侧面积 第第 9 9 课课 棱锥习题解答棱锥习题解答 1 D 根据正棱锥的性质选 D 2 A 四个侧面三角形都可能是直角三角形 如底面ABCD为矩形 VA 平面ABCD 3 C 中截面的面积应是底面面积的 即 2cm2所以选 C 4 1 4 B VA EFP VP ABC VA EFP VA BCFE 1 11 3 1 4 1 12 ABCP V 5 C 由一点出发三条垂直的棱设为a b c ab S1 bc S2 ac S3 2 1 2 1 2 1 V 3 2 6 1 23 1 321 SSS abcc ab 6 C 侧面积为 3 32 30cos SS 7 C 表面积比为 9 1 2 1 3 2 2 8 C 自上而下设高为h1 h2 h3 h12 h1 h2 2 h1 h1 h3 2 1 2 3 h1 h2 h3 1 1 232 9 D OD OB S BOD a 2 2 422 2 2 1 2 2 2 aa aa VD ABC 12 2 2 43 1 3 1 32 a a a ACS BOD 10 设AC的中点为O 连OE则OE SC 3 3 cos OEB 3 3 3 1 2 3 2 2 4 2 4 3 4 222 aa aaa 11 内心 设S在 ABC上的射影为O 由所成二面角相等可得O到 ABC三边距离相等 故 O为内心 12 576 如图 取AD的中点E 连结CE BE AC CD 17 DE 8 CE2 172 82 225 BE CE 取BC的中点F 连结EF EF为BC边上的高 EF 12915 2222 CFCE 第 12 题图解 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中 高中试卷 课件 教案免费下载 S BCE 108 AC CD 17cm E为AD的中点 CE AD 同理BE AD AD 平面BCE 三棱锥可分为以截面BCE为底以AE DE为高的两个三棱锥 VA BCE和VD BCE VA BCE 2 S BCE AE 2 108 8 576 cm3 3 1 3 1 13 30 PA 平面ABC BC AC BC 平面PAC 平面PAC 平面BCP 过A作AD PC于D 作AF PB于F连DF sin AFD AFD 30 2 1 AF AD 又 AFD为两侧面所成的角 14 设棱长为x x ha ah a x a x h xh 2 2 2 2 ha ah 15 如图 截面 PBC中 BC a为定值 而S PDBC 2 1 所以 若使S最小 只须PD最小即可 VA BC为异面直线 当PD为VA BC的公垂线时 PD的距离即为最短 当PD BC PD VA时 PD最短 在 Rt PDA中 ADP 2 PD AD sin sin 2 3 a S PBC sin 4 3 sin 2 3 2 1 2 1 2 aaaPDBC 16 1 连结CG交DE于N 连结FN CD 2AD CE 2BE CF 2SF CD CE CF 即 AC 3 2 BC 3 2 SC 3 2 3 2 SC CF BC CE AC CD FD SA FE SB DE AB 平面DEF 平面SAB 2 平面SAB 平面SCG SG 平面DEF 平面SCG FN SG FN 又FN平面DEF SG 平面DEF 3 G是AB的中点 SA SB AC BC CG AB SG AB CG DE FN DE FNC是二面角F DE C的平面角 SC SA AB 2 CG 3 SG 532 cos SGC 2 2 332 5 2 3 222 第 15 题图解 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中 高中试卷 课件 教案免费下载 SGC 45 又 FNC SGC 45 二面角F DE C的大小为 45 17 1 PB 平面ABC于B AC平面ABC PB AC 又 AC BC AC 平面PBC 侧面PAC 平面PBC 2 PB BC E为PC的中点 BE PC 又 平面PAC 平面PBC BE 平面PAC BE PA 即异面直线PA与BE所成的角为 90 3 BE 平面PAC VB AEF S AEF BE 3 1 又 AC PC S ACP AC PC 在 Rt