高数下期末总复习大全(同济六版)

高等数学 一 教案 期末总复习 2 高数下期末总复习大全 同济六版 高数下期末总复习大全 同济六版 第八章 向量与解析几何 向量代数向量代数 定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示 向量 有大小 有方向 记作或aAB a xyzxyz a ia ja ka aa xxyyzz aprj a aprj a aprj a 模向量的模记作aaa 222 xyz aaa 和差 cab cab cab xxyyzz ab ab ab 单位向量 则0a a a e a a e 222 xyz xyz a aa aaa 方向余弦 设与轴的夹角分别为 a x y z 则方向余弦分别为cos cos cos cos y xz a aa aaa cos cos cos a e cos cos 222 cos1 coscos 点乘 数量积 为向量 a 与 b 的夹 cosbaba 角 zzyyxx bababa ba 叉乘 向量积 bac sinbac 为向量 a 与 b 的夹角 向量与 都垂直cab zyx zyx bbb aaa kji ba 定理与公式定理与公式 垂直0aba b 0 xxyyzz aba ba ba b 平行 0abab y zx xyz aa a ab bbb 交角余弦 两向量夹角余弦 ba ba cos 222222 cos xxyyzz xyzxyz a ba ba b aaabbb 投影 向量在非零向量上的投影 ab cos b a b prj aaa b b 222 xxyyzz b xyz a ba ba b prj a bbb 高等数学 一 教案 期末总复习 3 平面直线 法向量 点 nA B C 0000 zyxM方向向量 点 Tm n p 0000 zyxM 方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征 一般式0 DCzByAx一般式 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 点法式0 000 zzCyyBxxA点向式 p zz n yy m xx 000 三点式 111 212121 313131 0 xxyyzz xxyyzz xxyyzz 参数式 ptzz ntyy mtxx 0 0 0 截距式1 xyz abc 两点式 000 101010 xxyyzz xxyyzz 面面垂直0 212121 CCBBAA线线垂直0 212121 ppnnmm 面面平行 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 线线平行 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 线面垂直 p C n B m A 线面平行0 CpBnAm 点面距离 0000 zyxM0 DCzByAx 面面距离 1 0AxByCzD 2 0 AxByCzD 222 000 CBA DCzByAx d 12 222 DD d ABC 面面夹角线线夹角线面夹角 1111 CBAn 2222 CBAn 1111 pnm s 2222 pnm s pnm s CBA n 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos CBACBA CCBBAA 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos pnmpnm ppnnmm 222222 sin pnmCBA CpBnAm 高等数学 一 教案 期末总复习 4 切 线 方程 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx xt yt zt t 切向量 000 tttT 法平 面 方程 0 000000 zztyytxxt 切 线 方程 1 0 0 0 00 x zz x yyxx 空 间 曲 线 yx zx 切向量 1 xxT 法平 面 方程 0 00000 zzxyyxxx 0 zyxF 法向量 000 000 000 x y z nF xyz F xyz F xyz 切平 面 方程 00000000 0000 0 xx x F xyzxxF xyzyy F xyzzz 法 线 方程 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx 切平 面 方程 0 0000000 zzyyyxfxxyxf yx 空 间 曲 面 yxfz 00 00 1 x y nfxy fxy 或 00 00 1 x y nfxy fxy 法 线 方程 1 0 00 0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx 高等数学 一 教案 期末总复习 5 第十章 重积分 重积分重积分 积分类型积分类型计算方法计算方法典型例题典型例题 1 利用直角坐标系利用直角坐标系 X 型 D b a x x dyyxfdxdxdyyxf 2 1 Y 型 d c y y D dxyxfdydxdyyxf 2 1 P141 例 1 例 3 2 利用极坐标系利用极坐标系 使用原则 1 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示 含圆弧 直线段 2 被积函数用极坐标变量表示较简单 含 为实数 22 xy 2 1 cos sin cos sin D fdd dfd 02 0 2 P147 例 5 二重积分 d D yxfI 平面薄片的质 量 质量 面密度 面积 3 利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当 D 关于 y 轴对称时 关于 x 轴对称时 有类似结论 1 1 0 2 D f x yx fx yf x y If x y dxdy f x yx fx yf x y DD 对于是奇函数 即 对于是偶函数 即 是的右半部分 P141 例 2 应用该性质更方便 高等数学 一 教案 期末总复习 6 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 1 画出积分区域 2 选择坐标系 标准 域边界应尽量多为坐标轴 被积函数 关于坐标变量易分离 3 确定积分次序 原则 积分区域分块少 累次积分好算为妙 4 确定积分限 方法 图示法 先积一条线 后扫积分域 5 计算要简便 注意 充分利用对称性 奇偶性 1 利用直角坐标利用直角坐标 不不不 不不不 投影投影 b a yxz yxz xy xy zzyxfyxVzyxf 2 1 2 1 d ddd P159 例 1 P160 例 2 2 利用柱面坐标利用柱面坐标 cos sin xr yr zz 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围适用范围 积分区域积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单 方程简单 如 旋转体旋转体 1 1 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量易分离变量易分离 如 2 2 2222 f xyf xz 2 1 ddd cos sin d br ar f x y zVzfz P161 例 3 3 利用球面坐标 利用球面坐标 cossincos sinsinsin cos xr yr zr dvrdrd d 2 sin 适用范围适用范围 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单 如 球体 锥体 1 1 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量易分离变量易分离 如 2 222 f xyz 222 111 2 dd sincos sinsin cos sin dIf P165 10 1 三重积分三重积分 dvzyxf I 空间立体物的 质量 质量 密度 面积 4 利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 高等数学 一 教案 期末总复习 7 第十一章曲线积分与曲面积分 曲线积分与曲面积分 积分类型计算方法典型例题 第一类曲线积分第一类曲线积分 L dsyxfI 曲形构件的质量 质量 线密度 弧长 参数法参数法 转化为定积分 1 L yx 22 Iftttt dt 2 xt Lt yt dxxyxyxfI b a 1 2 3 rr cos sin xr L yr drrrrfI sin cos 22 P189 例 1 P190 3 1 参数法参数法 转化为定积分 xt Lt yt 单调地从到 ttttQtttPyQxP L d dd P196 例 1 例 2 例 3 例 4 2 利用格林公式 利用格林公式 转化为二重积分 条件 条件 L 封闭 分段光滑 有向 左手法则围成平面区域 D P Q 具有一阶连续偏导数 结论 结论 dydx y P x Q QdyPdx D L 应用 应用 不不不不不不不不不不不不 不不不不不不 不不不不不不不不 P205 例 4 P214 5 1 4 3 利用路径无关定理 利用路径无关定理 特殊路径法 等价条件 y P x Q 0 L QdyPdx 与路径无关 与起点 终点有关 L QdyPdx 具有原函数QdyPdx yxu 特殊路径法 偏积分法 凑微分法 P211 例 5 例 6 例 7 平面第二类曲线平面第二类曲线 积分积分 L QdyPdxI 变力沿曲线所做 的功 4 两类曲线积分的联系 两类曲线积分的联系 LL dsQPQdyPdxI coscos 空间第二类曲线空间第二类曲线 积分积分 1 参数法 参数法 转化为定积分 dtttttR ttttQttttPRdzQdyPdx 2 利用斯托克斯公式 利用斯托克斯公式 转化第二类曲面积分 P240 例 1 高等数学 一 教案 期末总复习 8 L IPdx QdyRdz 变力沿曲线所做 的功 条件 条件 L 封闭 分段光滑 有向 P Q R 具有一阶连续偏导数 结论 结论 dxdy y p x Q dzdx x R z P dydz z Q y R RdzQdyPdx L 应用 应用 不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不 第一类曲面积分第一类曲面积分 dvzyxfI 曲面薄片的质量 质量 面密度 面积 投影法投影法 投影到面 yxzz xoy dxdyzzyxzyxfdvzyxfI xy D yx 22 1 类似的还有投影到面和面的公式yozzox P217 例 1 例 2 1 投影法 投影法 1 1 dydzzyzyxpPdydz yz D 为的法向量与轴的夹角 yxzz x 前侧取 后侧取 cos0 cos0 2 2 dzdxzzxyxpQdzdx yz D 为的法向量与轴的夹角 zxyy y 右侧取 左侧取 cos0 cos0 3 3 dxdyyxzyxQQdxdy yz D 为的法向量与轴的夹角 zyxx x 上侧取 下侧取 cos0 cos0 P226 例 2 2 高斯公式 高斯公式 右手法则取定的侧 条件 条件 封闭 分片光滑 是所围空间闭区域的外侧 P Q R 具有一阶连续偏导数 结论 结论 z R y Q x P RdxdyQdzdzPdydz 应用 应用 不不不不不不不不不不不不 不不不不不不不不 P231 例 1 例 2 第二类曲面积分第二类曲面积分 IPdydzQdzdxRdxd y 流体流向曲面一 侧的流量 3 两类曲面积分之间的联系 两类曲面积分之间的联系 coscoscos PdydzQdzdxRdxd yPQRdS 转换投影法 转换投影法 zz dydzdxdydzdxdxdy xy P228 例 3 所有类型的积分 定义 四步法 分割 代替 求和 取极限 1 性质 对积分的范围具有可加性 具有线性性 2 高等数学 一 教案 期末总复习 9 对坐标的积分 积分区域对称与被积函数的奇偶性 3 第十二章 级数 高等数学 一 教案 期末总复习 10 无穷级数 常 数 项 级 数 傅 立 叶 级 数 幂 级 数 一 般 项 级 数 正 项 级 数 用收敛定义 存 n n s lim 在 常数项级数的基本性质 常数项级数的基本性质 若级数收敛 各项同乘同一常数仍收敛 1 两个收敛级数的和差仍收敛 2 注 一敛 一散之和必发散 两散和 差必发散 去掉 加上或改变级数有限项 不改变其收敛性 3 若级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成 4 的级数仍收敛 且其和不变 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数 也发散 注 收敛级数去括号后未必收敛 必要条件 如果级数收敛 则 5 5 0lim 0 n n u 莱布尼茨判别法若且 则收敛 1 nn uu0lim n n u 1 1 1 n n n u 则级数收敛 和都是正项级数 且 若收敛 则 n u n v nn vu n v 也收敛 若发散 则也发散 n u n u n v 比较判别法 比较判别法 的极限形式 和都是正项级数 且 则若 n u n v l v u n n n lim 1 与同敛或同散 若 收 l0 n u n v 2 0 l n v 敛 也收敛 如果 发散 也发散 n u 3 l n v n u 比值判别法 根值判别法 是正项级数 则时 n u n n n u u 1 lim n n n ulim1 收敛 时发散 时可能收敛也可能发1 1 散 收 敛 性 和函数展成幂级数 n n nx a 0 n n n a a 1 lim 1 0 0 0 RRR 缺项级数用比值审敛法求收敛半径 的性质在收敛