一元二次方程应用题导学案重点题型

6 6 1 1 用一元二次方程解决问题 一 面积问题用一元二次方程解决问题 一 面积问题 课前预习课前预习 一 一 1 直角三角形的面积公式是 一般三角形的面积公式是 2 正方形的面积公式是 长方形的面积公式是 3 梯形的面积公式是 4 平行四边形的面积公式是 5 圆的面积公式是 二 二 1 列方程解应用题的一般步骤是 2 审题时要用横线 波浪线 圈等符号横线 波浪线 圈等符号将题目中的已知量做出标记 3 列方程解应用题的关键是 4 若用一根 60长的绳子围成面积为 200的矩形 则该矩形的长 cm 2 cm 宽 能围成面积更大的矩形吗 若能 请写出它的长和宽 课堂重点课堂重点 问题 1 一根长的铁丝 22cm 1 能否围成面积是的矩形 2 30cm 2 能否围成面积是的矩形 并说明理由 2 32cm 分析 如果设这根铁丝围成的矩形的长是 那么矩形的宽是 xcm 根据相等关系 列出方程求解 课堂巩固课堂巩固 1 如图 有长为 24 米的篱笆 一面利用墙 墙的最大可用长度 a 为 15 米 围 成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 如果要围成面积为 45 平方米的花圃 AB 的长 是多少米 2 如图所示 一块长方形铁皮的长是宽的 倍 四角各截去一个正方形 制成 高是 cm 容积是 cm3的无盖长方体容器 求这块铁皮的长和宽 分析 如果设这块铁皮的宽是 xcm 那么制成的长方体容器底面的宽是 长是 从而可以根据相等关系 列出方程 求解 3 如图 在宽为 20 米 长为 32 米的矩形地面上 修筑同样宽的两条互相垂直 的道路 余下部分作为花圃 要使花圃面积为 540 米 2 道路的宽应为多少 思考 花圃的面积有几种算法 那种算法比较简单 变式 若修筑如下图所示的道路 应怎样解决问题 4 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框 制成一面镜子 镜子的长是宽的 2 倍 已知镜面玻璃的价格是每平方米 120 元 边框的价格是每米 30 元 另外制作这面镜子还需加工费 45 元 如果制作这面镜子共花了 195 元 求 这面镜子的长和宽 面积问题知识方法总结面积问题知识方法总结 面积问题 中考常考 面积问题 中考常考 例 3 如图 12 1 在宽 20 米 长 32 米的矩形耕地上 修筑同样宽的三 条路 两条纵向 一条横向 并且横向与纵向互相垂直 把这块耕地分 成大小相等的六块试验田 要使试验田的面积是 570 平方米 问道路应 该多宽 剖析 设路宽为x米 那么两条纵路所占的面积为 2 x 20 40 x 米 2 一条横路所占的面积为 32x 米2 纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形 ABCD EFGH 的面积 所以三条路所占耕地面积应当是 40 x 32x 2x2 米 2 根据题意可列出 方程 32 20 40 x 32x 2x2 570 解 设道路宽为解 设道路宽为x x米 根据题意 得米 根据题意 得 32 2032 20 4040 x x 3232x x 2 2x x2 2 570570 整理 得整理 得x x2 2 3636x x 3535 0 0 解这个方程 得解这个方程 得x x1 1 1 1 x x2 2 3535 x x2 2 3535 不合题意 所以只能取不合题意 所以只能取x x1 1 1 1 答 道路宽为答 道路宽为 1 1 米 米 说明 本题的分析中 若把所求三条路平移到矩形耕地边上 如图 12 2 就更易发现等量关系列出方程 如前所设 知矩形MNPQ的长MN 32 2x 米 宽NP 20 x 米 则矩形MNPQ的面积为 32 2x 20 x 而由题意可知矩形MNPQ的 面积为 570 平方米 进而列出方程 32 2x 20 x 570 思路清晰 简单明了 6 6 2 2 用一元二次方程解决问题 二 增长率问题用一元二次方程解决问题 二 增长率问题 课前预习课前预习 1 某工厂一月份生产零件 1000 个 二月份生产零件 1200 个 那么二月份比一 月份增产 个 增长率是 2 某厂生产彩电 第一个月生产了 5000 台 第二个月增产了 50 则第二个月比 第一个月增加了 台 第二个月生产了 台 3 某彩电 第一个月生产了 5000 台 如果第二个月产量比第一个月增长的百分率为 则第二个月比第一个月增加了 台 第二个月生产了 x 台 是第一个月产量的 倍 增长的量 原量 4 引入 第 3 题中 如果已知第三个月的产量为 7200 台 并且第二 三个月的 增长率相同 你能求出第二 三个月的增长率吗 x 课堂重点课堂重点 问题 2 某商店 6 月份的利润是 2500 元 要使 8 月份的利润达到 3600 元 这两个月的月平均增长率是多少 课堂巩固课堂巩固 1 某钢铁厂去年 1 月某种钢的产量为 50 吨 3 月上升到 72 吨 如果 2 月 3 月的 增长率相同 求这两个月平均每个月的增长率是多少 分析 设平均每个月的增长率为 则 2 月份比 1 月份增产了 吨 x 2 月份的产量是 吨 是 1 月份产量的 倍 同理 3 月 份的产量是 2 月份产量的 倍 3 月份的产量是 吨 根据 3 月份产量的相等关系 列出方程为 2 某种药品某种药品 06 年原来每盒售价年原来每盒售价 10 元元 为了搞促销 厂家进行降价活动为了搞促销 厂家进行降价活动 到到 08 年每年每 盒售价盒售价 4 9 元元 若每年的降价率相同 求平均每年的降价率是多少若每年的降价率相同 求平均每年的降价率是多少 分析 设平均每年的降价率为 则 07 年比 06 年降价了 元 07x 年每盒售价是 元 是 06 年每盒售价的 倍 同理 08 年是 07 年每盒售价的 倍 08 年每盒售价是 元 根据 08 年每盒售价的相等关系 列出方程为 3 某企业 2008 年盈利 1500 万元 2010 年克服全球金融危机的不利影响 仍 实现盈利 2160 万元 从 2008 年到 2010 年 如果该企业每年盈利的年增长率相 同 求 1 该企业 2009 年盈利多少万元 2 若该企业盈利的年增长率继续 保持不变 预计 2011 年盈利多少万元 知识小结知识小结 1 连续两次增长两次增长 则 增长率增长率 公式为 其中 原来的量为 平均增长率是 两次增长后的量为 AxBAB 2 连续两次降价两次降价 则 降价率降价率 公式为 其中 原来的价格为 平均降价率是 两次降价后的价格为 MxNMN 增增 长率问题知识方法总结长率问题知识方法总结 1 循环问题 循环问题 中考热点考点中考热点考点 a 传播问题传播问题 有一人患了流感 经过两轮传染后共有 121 人患了流感 每轮传染中平均一个人 传染了几个人 解 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人 可传染人数 共传染人数 第 0 轮 1 传染源 1 第 1 轮 x x 1 第 2 轮 x x 1 1 x x x 1 列方程 1 x x x 1 121 解方程 得 X1 10 X2 12 X2 12 不符合题意 所以原方程的解是 x 10 答 每轮传染中平均一个人传染了 10 个人 类似问题还有树枝开叉等 b 循环问题 循环问题 又可分为单循环问题 双循环问题和复杂循环问题 a 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛 共比赛 45 场比赛 共有多 少个队参加比赛 b 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛 共比赛 90 场比赛 共有多少 个队参加比赛 c 一个正八边形 它有多少条对角线 2 平均率问题 平均率问题 中考热点考点 中考热点考点 最后产值 基数 平均增长率或降低率 增长或降低次数的基本关系 M a 1 x n n 为增长或降低次数为增长或降低次数 M 为最后产量 为最后产量 a 为基数 为基数 x 为平均增长率为平均增长率 或降低率或降低率 平均率和时间相关 必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率 平均率和时间相关 必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率 a 平均增长率问题 平均增长率问题 某电脑公司 2000 年的各项经营收入中 经营电脑配件的收入为 600 万元 占 全年经营总收入的 40 该公司预计 2002 年经营总收入要达到 2160 万元 且计 划从 2000 年到 2002 年 每年经营总收入的年增长率相同 问 2001 年预计经营总 收入为多少万元 解 设每年经营总收入的年增长率为 a 列方程 600 40 1 a 2 2160 解方程 a1 0 2 a2 2 2 不符合题意 舍去 每年经营总收入的年增长率为 0 2 则 2001 年预计经营总收入为 600 40 1 0 2 600 40 1 2 1800 答 2001 年预计经营总收入为 1800 万元 b 平均下降率问题 平均下降率问题 从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出若干升 然后用水注满 再倒出 同样升数的混合液后 这时容器里剩下纯酒精 5 升 问每次倒出溶液的 升数 剖析 第一次倒出的是纯酒精 而第二次倒出的就不是纯酒精 了 若设每次倒出x升 则第一次倒出纯酒精x升 第二次倒出纯酒精 20 20 x x 升 根据 20 升纯酒精减去两次倒出的纯酒精 就 注意以下几个问题 1 为计算简便 可以直接设增长的百分率为 x 2 弄清 基数 增长了 增长到 等词语 3 用直接开平方法解方程简单 不要将括号展 开 等于容器内剩下的纯酒精的升数 20 x 20 20 x x 5 6 6 3 3 用一元二次方程解决问题 三 利润问题用一元二次方程解决问题 三 利润问题 课前预习课前预习 1 利润 利润率 2 某种产品 原来每件的成本价是 500 元 若每件售价 625 元 则每件利润是 每件利润率是 3 某商场从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品 若每件的售价为 a 元 则可 卖出 350 10a 件 商场计划要赚 450 元 则每件商品的售价为多少元 课堂重点课堂重点 问题 3 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天可售出 20 件 每件盈利 40 元 为 了扩大销售 增加盈利 商场决定采取适当的降价措施 经调查发现 在一定范围 内 衬衫的单价每降一元 商场平均每天可多售出 2 件 如果商场通过销售这批衬 衫每天要盈利 1200 元 衬衫的单价应降多少元 分析 商场不采取降价措施前 销售这批衬衫每天的盈利是多少元 写出衬衫的单价降 1 元 2 元 x元时 销售这批衬衫每天的盈利 课堂巩固课堂巩固 1 某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利 10 元 每天可售出 500 千克 经市场调查发现 在进货价不变的情况下 若每千克涨价 1 元 日销售量将 减少 20 千克 现该商场要保证每天盈利 6000 元 同时又要使顾客得到实惠 那 么每千克应涨价多少元 2 某商场礼品柜台购进大量贺年卡 一种贺年卡平均每天可销售 500 张 每张 盈利 0 3 元 为了尽快减少库存 商场决定采取适当的措施 调查发现 如果这 种贺年卡的售价每降低 0 1 元 那么商场平均每天多售出 300 张 商场要想平 均每天盈利 160 元 每张贺年卡应降价多少元 利润问题知识方法总结利润问题知识方法总结 商品销售问题 中考常考 商品销售问题 中考常考 一 常用关系式常用关系式 1 售价 进价 利润 2 一件商品的利润 销售量 总利润 3 单价 销售量 销售额 4 利润率 利润 成本 二 解决问题的方法 表格法二 解决问题的方法 表格法 单价单价数量数量总额总额 变化前变化前 变化后变化后 三 题目的两种形式三 题目的两种形式 a 给出关系式 给出关系式 1 某商店购进一种商品 进价 30 元 试销中发现这种商品每天的销售量 P 件 与 每件的销售价 X 元 满足关系 P 100 2X 销售量 P 若商店每天销售这种商品要 获得 200 元的利润 那么每件商品的售价应定为多少元 每天要售出这种商品多 少件 b 一个一个 一个一个 2 某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利 10 元 每天可售出 500 千 克 经市场调查发现 在进货价不变的情况下 若每千克涨价 1 元 日销售量将 减少 20 千克 现该商品要保证每天盈利 6000 元 同时又要使顾客得到实惠 那 么每千克应涨价多少元 单价单价数量数量总额总额 变化前变化前 变化后变化后 6 46 4 用一元二次方程解决问题 四 旅游问题用一元二次方程解决问题 四 旅游问题 课前预习课前预习 某旅行社的一则旅游广告如下 我社组团去上海世博园旅游 收费标准为 如果人数不超过 30 人 人均旅游 费用为 800 元 如果人数多于 30 人 那么每增加 1 人 人均旅游费用降低 10 元 但人均费用不得低于 500 元 我校打算分批组织学生到上海世博园旅游 现计划用 28000 元组织第一批学 生去旅游 问这次旅游可以安排多少人参加 你知道学校组织学生去参观上海世博会 总共花的费用和哪些量有关系呢 你知道这道题目中的等量关系是什么吗 如果有 30 位学生去旅游 你知道总共要花费多少钱呢 如果这次旅游可以安排的人数为 x 结合 你能判断 x 与 30 的大小吗 为什么 在 的情况下 你能用 x 表示此时每位学生的旅游费用吗 通过以上的分析 你能完整的解决这道题目吗 注意规范自己的解题步骤 课堂重点课堂重点 问题 4 某旅行社为吸引市民组团去南京旅游 推出了如下收费标 准 某单位组织员工去南京旅游 共支付给春秋旅行社旅游费用 28000 元 请问 该单位这次共有多少员工去南京旅游 课堂巩固课堂巩固 1 常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游 推出了如下收费标准 某单位组织员工去天水湾风景区旅游 共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元 请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游 2 师苑旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游 推出了如下收费标准 如果 人数不超过 25 人 人均旅游费用为 1000 元 如果人数超过 25 人 每增加 1 人 人均旅游费用降低 20 元 但人均旅游费用不得低于 700 元 某单位组织员工去天 水湾风景区旅游 共支付给旅行社旅游费用 27000 元 请问该单位这次共有多少 员工去天水湾风景区旅游 如果人数不超过 30 人 人均旅游 费用为 800 元 如果人数超过 30 人 每增加 1 人 人均 旅游费用降低 10 元 但人均旅游费用不 得低于 500 元 如果人数不超过 25 人 人均旅游 费用为 1000 元 如果人数超过 25 人 每增加 1 人 人均 旅游费用降低 20 元 但人均旅游费用不 得低于 700 元 6 6 5 5 用一元二次方程解决问题 五 数字问题用一元二次方程解决问题 五 数字问题 课前预习课前预习 1 已知两个数和为 12 积等于 32 求这两个数 2 一个直角三角形的面积是 两直角边的差是 求直角边长 2 24cmcm2 3 一个两位数 它的十位数字比个位数字小 3 而它的个位数字的平方恰好等于这 个两位数 求这个两位数 课堂巩固课堂巩固 1 三个连续偶数 已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大 332 求 这三个连续偶数 2 一直角三角形两条直角边的和为 7 面积为 6 求斜边的长 3 一次会议上 每两个参加会议的人都互相握了一次手 有人统计一共握了 66 次手 这 次会议到会的人数是多少 6 66 6 用一元二次方程解决问题 六 动点问题用一元二次方程解决问题 六 动点问题 课前预习课前预习 1 如图 在矩形 ABCD 中 AB 16cm BC 8cm 点 P 沿边 AB 从点 A 开始向点 B 以 2cm s 的速度移动 点 Q 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1cm s 的速度移动 如果 P Q 同时出发 用 t s 表示移动的时间 0 t 8 那么 1 2 秒后 AP DQ AQ QAP 的面积 2 t 秒后 AP DQ AQ QAP 的面积 3 当 t 为何值时 QAP 的面积等于 16cm2 2 如图 某海关缉私艇在 A