常微分论文-经济增长模型

中国计量学院中国计量学院 常微分方程课程论文常微分方程课程论文 题题 目 目 经济增长模型经济增长模型 专专 业 业 信息与计算科学信息与计算科学 2013 年年 12 月月 22 日日 经济增长微分方程模型经济增长微分方程模型 1 摘要 摘要 经济增长模型指的是经济增长的理论结构 它所要说明的是经济增长与有 关经济变量之间的因果关系和数量关系 对经济增长的不同理论分析构成了不 同的经济增长模型 在经济增长理论中 人们推崇的主要有三大理论 哈罗德 多马经济增长理论 新古典经济增长理论和新剑桥经济增长理论 这里 我们 主要介绍两个著名的经济增长模型 即哈罗德 多马经济增长模型和新古典经 济增长模型 因为以匈裔英籍经济学家尼克拉斯 卡尔多为代表的新剑桥学派 的经济增长理论 尤其与 1987 年获得诺贝尔经济学奖的索洛的新古典经济增长 理论不合辙 他们不仅不接受新古典生产函数理论 而且还认为新古典理论以消 费支配经济社会的观点不切实际 2 问题分析与模型假设问题分析与模型假设 发展经济 提高生产力主要依靠以下方法 增加投资 增加劳动力 技术革新 本经济增长模型 将讨论 1 生产函数 建立产值与资金 劳动力直接的关系 2 资金与劳动力的最佳分配 求解二者最佳比例 3 劳动生产率增长条件 3 模型的建立和求解模型的建立和求解 模型一 哈罗德模型一 哈罗德 多马经济增长模型多马经济增长模型 1 哈罗德 多马经济增长模型的假定 英国经济学家哈罗德与美国学者多马几乎同时提出自己的经济增长模型 由于两者在形式上极为相似 所以称为哈罗德 多马模型 两者的区别在于哈 罗德是以凯恩斯的储蓄 投资分析方法为基础 提出资本主义经济实现长期稳 定增长模型 而多马模型则以凯恩斯的有效需求原理为基础 得出与哈罗德相 同的结论 哈罗德 多马模型考察的是一国在长期内实现经济稳定的均衡增长 所需具备的条件 这里所讨论的基本形式的哈罗德 多马模型的假定条件包括 1 不存在货币部门 且价格水平不变 2 劳动力按不变的 由外部因素决定的速度n增长 即 常数 n N dtdN 3 社会的储蓄率 即储蓄与收入的比率不变 若记S为储蓄 s为储蓄 率 则 为收入 常数 Ys Y S 4 社会生产过程只使用劳动 KN和资本 两种生产要素 且两种要素不能 互相替代 5 不存在技术进步 根据假定 4 生产函数可以写为 min ZNVKKNYY 20 10 式中 参数K Y V 为产出 资本比 N Y Z 为产出 劳动比 ZV和为固定的 常数 2 产出和资本 根据上面的说明 由K Y V 有 VKY 20 11 对 20 11 式关于时间t求微分有 dt dK V dt dY 20 12 20 11 式说明 经济中供给的总产出等于产出 资本比乘以资本投入 20 12 式则说明 总产出随时间的变化率由产出 资本比和资本存量变化 率 即投资水平 所决定 另一方面 在只包括居民户和厂商的两部门经济中 经济活动达到均衡状 态时 要求投资等于储蓄 即 SI 20 13 根据假定条件 有 sYS 而dt dK I 故 20 13 式变为 sY dt dK 20 14 将 20 14 式代入到 20 12 式 并对其进行变形 有 Vs Y dtdY 20 15 方程 20 15 就是在资本得到充分利用条件下总产出的增长率所必须满足 的关系 在SV和都为常数的条件下 模型 20 15 式的解为 Vst AeY 20 16 式中 A为常数 t为时间 e为数学中自然对数的底数 718 2 e 为了进一步认识 20 115 所示的增长率的意义 将 20 11 代入到 20 14 式 并对其进行整理 得 Vs K dtdK 20 17 比较 20 15 式和 20 17 式可知 为了使资本得到充分利用 总产出Y与 资本K必须同步增长 其增长率由储蓄率和产出 资本比确定 按照哈罗德的 说法 这一增长率被称为有保证的增长率 记为 W G 即 VsGW 至此 已建 立了资本得到充分利用时经济增长的条件 3 产出与劳动 根据假定条件 劳动力增长率为 常数 n N dtdN 另一方面 根据生产 函数 20 8 式 在充分就业情况下 总产出和劳动力的关系为 zNY 20 18 在参数z为常数的情况下 20 18 式意味着总产出必须与劳动力同步增 长 事实上 对 20 18 式关于时间t进行微分 有 dt dN z dt dY 20 19 用 20 18 式除 20 19 式 得 n N dtdN Y dtdY 20 20 20 20 式就是劳动力充分就业时经济增长的条件 这一条件的含义是 如果要使经济实现充分就业的均衡增长 总产出的增长率必须等于劳动力的增 长率 哈罗德将这一增长率称为自然增长率 记为 N G 即 nGN 4 经济均衡增长的条件 为了得到哈罗德 多马模型均衡增长的条件 先考察生产函数 20 8 的 等产量 如图 20 1 所示 K Kb K1 E1 E2 E3 Y3 Y2 Y1 N Na N1 O L 哈罗德 多马条件 图图 2020 1 1 哈罗德哈罗德 多马条件多马条件 从图 20 1 中可以看到 为了生产1 Y 的产出水平 该经济需要1 N 单位的劳 动力和1 K 单位的资本 均衡点为1 E 如果该经济有 a N 单位的劳动力和1 K 单位 的资本 那么该经济的产出水平也只能是1 Y 在这种情况下 一些劳动力会因 缺乏生产性资本不能从事生产而处于失业状态 同样 如果该经济只有1 N 单位 的劳动力 而拥有 b K 单位的资本 其最大产出水平仍然为1 Y 在这种情况下 大量生产性资本又会因劳动力不足而被闲置 显然 要使经济中所有的生产投 入 在这里即劳动和资本 都被充分利用的条件是图 20 1 中通过原点的直线 l上的 1 E 2 E 和 3 E 等点 根据本节前面的讨论 为了使经济中资本和劳动力都得到充分利用 总产 出的增长率必须满足的条件是 有保证的增长率 W G 等于自然增长率 N G 即 NW GG 20 21 由于 VsGW nGN 故上式又可写为 nVs 20 22 20 22 式被称为哈罗德 多马均衡增长条件 如果这一条件不能满足 如 WN GG 则失业率就会上升 反之 如果 NW GG 则会出现大量资本闲置 在哈罗德 多马模型的框架下 20 22 式给出了保证经济均衡增长 产 出资本比V 储蓄率s和劳动力增长率之间的内在联系 哈罗德认为 由于储 蓄率 产出 资本比率和劳动力增长率这三个因素分别由不同的因素决定 因 此 在现实中没有任何经济机制可以确保 W G 等于 N G 更何况 即使由于偶然 原因 NW GG 使经济处于均衡增长路径上 但一旦出现某种扰动 有保证 的增长率就会越来越偏离自然增长率 换言之 即使存在均衡增长路径 但该 路径也是不稳定的 从一定意义上说 哈罗德 多马模型倒可以用来解释一些 非均衡增长的现象 哈罗德 多马模型作为一种早期的增长理论 虽然具有简单 明确的特点 但该模型关于劳动和资本不可相互替代以及不存在技术进步的假定也在一定程 度上限制了其对现实的解释 在西方经济增长理论的文献中 经济学家几乎公 认 美国经济学家罗伯特 索洛在 20 世纪 50 年代后半期所提出的新古典增长 理论是 20 世纪五六十年代最著名的关于增长问题的研究成果 下面就来讨论新 古典增长理论 模型二 索洛经济增长模型 模型二 索洛经济增长模型 Solow Growth Model 是罗伯特 索洛所提 出的发展经济学中著名的模型 又称作新古典经济增长模型新古典经济增长模型 外生经济增长模外生经济增长模 型型 是在新古典经济学框架内的经济增长模型 索洛模型变量索洛模型变量 外生变量 储蓄率 人口增长率 技术进步率 内生变量 投资 索洛模型的数学公式 模型的基本假定 1 索洛在构建他的经济增长模型时 既汲取了哈罗德 多马经济增长模型的 优点 又摒弃了后者的那些令人疑惑的假设条件 索洛认为 哈罗德 多马模型只不过是一种长期经济体系中的 刀刃平衡 其中 储蓄率 资本 产出比率和劳动力增长率是主要参数 这些参数值若稍 有偏离 其结果不是增加失业 就是导致长期通货膨胀 用哈罗德的话来说 这种 刀刃平衡 是以保证增长率 用 Gw 表示 它取决于家庭和企业的储蓄与 投资的习惯 和自然增长率 用 Gn 表示 在技术不变的情况下 它取决于劳 动力的增加 的相等来支撑的 索洛指出 Gw 和 Gn 之间的这种脆弱的平衡 关健在于哈罗德 多马模型 的劳动力不能取代资本 生产中的劳动力与资本比例是固定的假设 倘若放弃 这种假设 Gw 和 Gn 之间的 刀刃平衡 也就随之消失 基于这一思路 索洛建 立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型 该模型的假设条件包括 1 只生产一种产品 此产品既可用于消费也可用于投资 2 产出是一种资本折旧后的净产出 即该模型考虑资本折旧 3 规模报酬不变 即生产函数是一阶齐次关系式 4 两种生产要素 劳动力和资本 按其边际实物生产力付酬 5 价格和工资是可变的 6 劳动力永远是充分就业的 7 劳动力与资本可相互替代 8 存在技术进步 在这些条件下 索洛建立的模型向人们显示出 在技术系数可变的情况下 人均资本量具有随时间推移而向均衡状态的人均资本量自行调整的倾向 图一 k1 与 k2 逐渐趋向 ko 即 当人均资本量大于其均衡状态时 k2 人均资本 量会有逐渐减小的趋势 即资本的增加就会比劳动力的增加慢得多 反之 亦 然 索洛是人均资本量入手集中分析均衡 即稳定状态 增长路径的 模型的基本框架模型的基本框架 索洛把经济中的全部产出看成仅仅是一种产品的产出 其每年生产量用 Y t 表 示 代表社会的实际收入 其中一部分被消费掉 其余部分用于储蓄和投资 用于储蓄的占总产品比例 s 固定不变 即储蓄量为 sY t K t 是资本存量 这 种资本存量的增加量就是净投资 即 dk dt 或因此 索洛模型的基本方程式 可以写成 1 因产出是用资本和劳动力生产的 技术能力可用生产函 数来反应 Y F K L 2 且该函数满足假设规模报酬不变 把 2 式代入 1 式 有 3 其中 L 代表劳动力 由于人口的增长是外生变量 劳 动力以一个不变增长率 n 增加 因此 4 索洛把 n 看成是在没有技术进步情况下的哈罗德的 自然增长率 Gn 把 L t 看成是在 t 时期可利用的劳动力供给 4 式的右边表 明劳动力从 0 期到 t 期的综合增长率 我们还可以把 4 式看作是劳动力的供 给曲线 它说的是以指数增长的劳动力完全无弹性地得到就业 劳动力供给曲 线是一条纵向线 它随着劳动力按 4 式的增长而向右移动 于是 调整实际 工资率以使全部可利用的劳动力得到雇佣 而边际生产力等式决定着这种实际 上得到控制的工资率 把 4 式代入 3 式 索洛给出下列基本方程式 5 他把这个方程式作为在全部可利用的劳动力得到充分利用的情况下决定必 须遵循的资本积累的时间轨迹方程式 资本存量和劳动力的时间轨迹一经确知 相应的实际产出的时间轨迹就可根据生产函数计算出来 实际工资率的时间轨 迹可用边际生产力等式确定 即 6 索洛把经济增长过程概括为 在任何时候 可利用的劳动力供给都由等式 4 给定 而且可利用的资本存量也是一个已知数 既然生产要素的实际报酬 可调整而使劳动力和资本得以充分利用 我们就能利用生产函数等式 2 求出 当期产出量 于是 储蓄倾向告诉我们多少净产出将用于储蓄和投资 从而我 们得知当期的资本净积累 再加之已积累的存货 这就为下一期提供了可利用 的资本 可能的增长类型 上一节的方程式 5 有助于研究资本 劳动力比率 K L 的行为 为此 索洛引入了一个新的变量 r 用来代表资本 劳动力比率 即人均资本量 因此 或 K rL 把方程式 4 代入该表达式中 得到 7 把方程式 7 对时间微分 得到资本存量变化率的方程式 8 把方程式 5 代入方程式 8 中 得到 9 方程式 9 表明了 在假定劳动力是充分就业的且每一时期的储蓄是充分 就业产出的一个比例 s 情况下 资本是如何持续增长的 规模收益不变的假定 意味着生产函数是一阶齐次函数 用来除方程 式 9 得到 10 方程式 10 的两边同时减去 nr 得到 最后 把资本 劳动比率写成 r 得到索洛的基本方程式 11 其中 r 人均资本存量 K L n 劳动力增长率率 F r 1 人均产出函数或人均收入函数 sF r 1 指人均产出中用于储 蓄或投资的产品量 方程式 11 表明 实际用于储蓄的产品量 sF r 1 与均衡状态所需要达到的产品量 nr 之间的差距 该方程式可以用来找到一条总 能达到稳定状态且与劳动力增长率相一致的资本积累路径 以基本方程式 11 为基础 索洛用图示说明了可能的增长类型 见图 1 在图 1 中 横轴为人均资本量 r 纵轴为人均产出量 y y Y L 通过原点 的直线是函数 nr 另一条曲线为 y sF r 1 图 1 可能的增长类型 代表函数 sF r 1 这样画出来的图示反映出资本的边际生产力递减 这 两条曲线在 nr sF r 1 即处相交 此时横坐标为 r 当时 人均 资本量不变 而且人均资本量增长率与劳动力增长率相等且同为 n 资本 劳 动力的比率 r 一旦确定就不变了 资本和劳动力按该比例增加 倘若规模报酬 不变 实际产出也会以相同的相对比率 n 增加 而且每个劳动力的产出将不 变 如若 r 与实际 r 不一致 资本 劳动力比率情况将如何 若 r r 则 nr sF r 1 r 将降低以接近于 r 相反 若 r r nr sF r 1 r 将提高以 接近于 r 因此 均衡值 r 是稳定的 不管人均资本量的初始值如何 该体系将 以自然比率向平衡增长发展 若初始资本存量低于均衡值 资本和产出将以 快于劳动力增长的速度而增加 直至接近均衡值 若该初始比率高于均衡值 资本和产出将以比劳动力增长速度更慢的速度增加 产出的增长总是处于劳动 力和资本的增长速度之间 图 2 生产力曲线 但是 图 1 所表现出来的那种很强的稳定性并不是绝对的 这取决于生 产力曲线 sF r 1 的形状 在图 2 中 生产力曲线 sF r 1 在 r1 r2和 r3三处与 nr 曲线相交 r1和 r3是稳定的 而 r2则不稳定 该体系不是按资本 劳动力比率 r1进行平衡增长 就是按 r3进行平衡增长 这取决于最初可观察到 的资本 劳动比率 在任何一种情况下 劳动力供给 资本存量和实际产出将 以比率 n 渐进增长 但在 r1左右 其资本量要比在 r3左右为少 故前者的人均 产出水平比后者的人均产出水平低 那么 对于在 O 和 r2之间的初始比率 其 相应的平衡增长均衡是 r1 而对于大于 r2的任何初始比率 其相应的平衡增长 均衡就是 r3比率 r2本身就是一种均衡的但不稳定的增长率 任何偶然的扰动在 一定时期内都会被夸大 如此画出的图 2 使得生产在没有资本的情况下也要 进行 索洛对他的长期增长模型作了这样的总结 当生产在通常的比例变动 和报酬不变的新古典条件下进行时 自然增长率与有保证的增长率之间没有明 确的抵触是可能的 也许不会有 任何 刀刃 该体系能够调整任何既定的劳 动力增长率 最终达到按比例增加的稳定状态 即 索洛增长模型表明的基本含义 2 索洛增长模型表明的基本含义是 人均资本拥有量的变化率 取决于人均 收入储蓄率 sf k 和按照既定的资本劳动比配备每一新增长人口所需资本量 nk 之间的差额 索洛增长模型 sf k nk 还表明另一个含义 一个社会中的人均储蓄率 sf k 有两个用途 一是用于人均资本拥有量的增加量 即为每个人配备更 多的资本装备 这被称作 资本的深化 二是用于为每一新增人口提供平均的资本装备 nk 这被称作 资本的广化 换句话说 经济中的全部储蓄转化为投资后 一部分用于提高人均资本拥有量 资本的深化 另一部分则用于为新增人口提供平均数量的资本装备 资本的 广化 图中所示 横轴为人均资本拥有量 k 纵轴为人均收入 f k 集约生产函 数曲线 f k 表明人均收入随着人均资本拥有量的增加而增加 人均产量即人 均收入 f k 也相应增加 人均储蓄曲线 sf k 位于人均收入曲线 f k 的下方 因为储蓄只是收入的一部分 两者间的距离为非储蓄 即消费的部分 当人均资本拥有量 k 为 OB 则此时的人均收入为 BJ 人均储蓄为 BP 这部分人均储蓄一部分用于装备每一新增人口即资本广化的 BG 和一部分用于 人均资本拥有量即资本深化的 GP 这意味着 k 将提高 于是导致 f k 增加 因 此 B 点将右移到 A 点 A 点资本的深化等于 0 全部的人均储蓄都被用于资 本的广化 经济达到均衡 反之亦然 4 索洛模型的意义索洛模型的意义 作为创立新古典经济增长模型的先躯 索洛教授在构造他的长期增长模型 过程中 不仅保留了哈罗德 多马模型的主要特征 如齐次资本函数 比例储 蓄函数以及既定的劳动力增长率 而且还在理论模型的现实性方面有新的突破 主要表现在以下几个方面 1 他在分析经济增长的过程中采用了一种连续性生产函数 从此人们称其 为新古典生产函数 2 劳动力与资本之间可相互替代的假设使得经济增长过程具有调整能力 从而该理论模型更接近于现实 3 长期增长率是由劳动力增加和技术进步决定的 前者不仅指劳动力数量 的增加 而且还含有劳动力素质与技术能力的提高 所以 索洛的长期增长模 型打破了一直为人们所奉行的 资本积累是经济增长的最主要的因素 的理论 向人们展示 长期经济增长除了要有资本以外 更重要的是靠技术的进步 教 育和训练水平的提高 在一定程度上说 技术进步 劳动力质量的提高比增加资本对经济增长的 作用更大 这种观点在他 30 年后获奖前夕接受采访时又得到进一步阐述 他 说 除了纯粹的农业国以外 这一理论对所有国家都适用 发展中国家不能把 本国经济的发展仅仅依赖于资本和劳动力的增长上 发展中国家 特别是起步 较晚国家 要更多地研究如何在现有工业的基础上逐步提高劳动生产率 技术 和教育进程 这样就能有效地跟上世界经济的发展 顾耀铭 1987 许多国家