2016年中考数学模拟试题汇编专题9：一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 一、选择题 1 (2016 浙江杭州萧山区 模拟 )下列关于方程 x2+x 1=0的说法中正确的是（ ） A该方程有两个相 等的实数根 B该方程有两个不相等的实数根，且它们互为相反数 C该方程有一根为 D该方程有一根恰为黄金比例 【考点】根的判别式；解一元二次方程 【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及一元二次方程根的意义逐一进行判断即可 【解答】解： A、 =1 2+41 0， 程 x2+x 1=0有两个不相等的实数根，此选项错误； B、方程两根的和为 1，它们不互为相反数，此选项错误； C、把 x= 代入 x2+x 1 得 x2+x0 ，故此选项错误； D、把 x= 代入 x2+x 1 得 x2+x=0，故此选项正确 故选： D 【点评】此题考查了一元二次方程的解，根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根；（ 2） =0 方程有两个相等的实数根；（ 3） 0方程没有实数根 2.(2016浙江丽水模拟 )将代数式 为（ x+p） 2+q 的形式，正确的是 （ ） A、（ x+3） 2+6 B、（ 2+6 C、（ x+3） 2 D、（ 2案 :C 3.（ 2016枣庄 41 中一模） 方程 4x+4=0的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有一个实数根 D没有实数根 【考点】根的判别式 【分析】把 a=1， b= 4， c=4代入 =b 2 4后根据计 算结果判断方程根的情况 【解答】解： a=1 ， b= 4， c=4， =b 2 4 4） 2 414=0 ， 方程有两个相等的实数根 故选 B 4.（ 2016 天津五区县 一模 ） 某机械厂七月份生产零件 50万个，第三季度生产零件 196万个设该厂八，九月份平均每月的增长率为 x，那么 ） A 50+50（ 1+=196 B 50+50（ 1+x） +50（ 1+x） 2=196 C 50（ 1+=196 D 50+50（ 1+x） +50（ 1+2x） =196 【考点】由实际问题抽象出一 元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】根据 7月份的表示出 8月和九月的产量即可列出方程 【解答】解： 七月份生产零件 50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为 x， 八月份的产量为 50（ 1+x）万个，九月份的产量为 50（ 1+x） 2万个， 50+50 （ 1+x） +50（ 1+x） 2=196 故选： B 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能分别将 8、 9月份的产量表示出来，难度不大 5 (2016重庆铜梁巴川一模）关于 m 2） x+1=0有实数根，则值范围是（ ） A m 3 B m 3 C m 3且 m 2 D m 3且 m 2 【分析】根据一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根的判别式 =4m 2 0且 0，即 22 4（ m 2） 1 0，然后解不等式组即可得到 【解答】解：关于 m 2） x+1=0有实数根， m 2 0且 0，即 22 4（ m 2） 1 0，解得 m 3， m 3且 m 2 故选： D 6 (2016四川峨眉 二模）已知关于 x 的方程 2 2 3 0x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 )(A 13k 且 0k )(B 13k )(C 13k )(D 13k- 且 0k 答案： B 7 (2016山东枣庄模拟 )等腰三角形边长分别为 a， b， 2，且 a， 次方程 6x+n 1=0的两根，则 n 的值为（ ） A 9 B 10 C 9或 10 D 8或 10 【考点】 根的判别式；一元二次方程的解；等腰直角三角形 【分析】 由三角形是等腰三角形，得到 a=2 ，或 b=2， a=b 当 a=2， 或 b=2 时，得到方程的根 x=2，把 x=2代入 6x+n 1=0即可得到结果； 当 a=程 6x+n 1=0有两个相等的实数根，由 = （ 6） 2 4（ n 1） =0 可的结果 【解答】 解： 三角形是等腰三角形， a=2 ，或 b=2， a=b 两种情况， 当 a=2， 或 b=2时， a ， 6x+n 1=0的两根， x=2 ， 把 x=2代入 6x+n 1=0得， 22 62+n 1=0， 解 得： n=9， 当 n=9，方程的两根是 2和 4，而 2， 4， 2不能组成三角形， 故 n=9不合题意， 当 a=程 6x+n 1=0有两个相等的实数根， = （ 6） 2 4（ n 1） =0 解得： n=10， 故选 B 【点评】 本题考查了等腰直角三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想的应用 8 (2016上海浦东 模拟 )已知一元二次方程2 3 2 0 ，下列判断正确的是（ ） （ A）该方程无实数解； （ B）该方程有两个相等的实数解； （ C）该方程有两个不相等的实数解； （ D）该方程解的情况不确定 答案： C 9. (2016陕西师大附中模拟 )为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加 3，东西方向缩短 3，则 改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（ ） 2m 2m 2m 【答案】 C 10. （ 2016江苏省南京市钟爱中学九年级下学期期初考试） 关于 1） x2+x 2=0是一 元二次方程，则 ） A a1 B a 1 C a1 D为任意实数 答案： C 11. （ 2016上海市闸北区中考数学质量检测 4月卷） 下列方程中，没有实数根的方程是（ ） （ A）2 2 1 0 ； （ B）2 2 1 0 ； （ C）2 20 ； （ D）2 20 答案： C 12. （ 2016江苏省南京市钟爱中学九年级下学期期初考试） 已知一元二次方程 3x 3=0的两根为 与 ，则 的值为（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 答案： A 13.（ 2016湖北襄阳一模） 已知关于a l）2 +l=0有两个不相等的实数根，则 ） Aa 2 B 2 Ca 2且 l D a 2 答案： C 14.（ 2016广东深圳联考） 方程 A 3 B 3或 0 C 3或 0 D 0 答案： C 15.（ 2016广东深圳联考） 某种商品原价是 100元，经两次降价后的价格是 90元设平均每次降价的百分率为 x，可列方程为 A 100x（ 1 2x） =90 B 100（ 1+2x） =90 C 100（ 1+x） 2=90 D 100（ 1 x） 2=90 答案： D 16.（ 2016江苏丹阳市丹北片一模） 若 、 是一元二次方程 x 6=0的两根，则 2+ 2的值是 （ ） A . 16 B. 32 C. D . 40 答案： A 17.（ 2016江苏丹阳市丹北片一模） 某果园 2013 年水果产量为 100 吨， 2015 年水果产量为 144 吨，求该果园水果产量的年平均增长率 x ，则根据题意可列方程为 ( ) A 100)1(144 2 x B 144)1(100 2 x C 100)1(144 2 x D 144)1(100 2 x 答案： B 二、填空题 1 (2016浙江金华东区 4月诊断检 测 已知一元二次方程 0522 两根为 1x ， 2x ，则 1x + 2x = . 答案： .（ 2016枣庄 41 中一模） 方程 x2=x 的根是 ， 【考点】解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得 x（ x 1） =0，方程就可转化为两个一元一次方程 x=0或 x 1=0，然后解一元一次方程即可 【解答】解： x=0， x（ x 1） =0， x=0 或 x 1=0， x 1=0， 故答案为 ， 3.（ 2016 天津北辰区 一摸）若关于 x 的方程 2 2 5 0x x m 有两个相等的实数根，则m =_. 答案： 6 4.（ 2016 天津市南开区 一 模） 关于 m 5） x 1=0有实数根，则 m1 【考点】根的判别式；一元一次方程的解 【分析】需要分类讨论： 当该方 程是一元一次方程时，二次项系数 m 5=0； 当该方程是一元二次方程时，二次项系数 m 50 ， 0 ；综合 即可求得 【解答】解： 当关于 m 5） x 1=0 是一元一次方程时， m 5=0， 解得， m=5； 当（ m 5） x 1=0是一元二次方程时， =16 4 （ m 5） （ 1） 0 ，且 m 50 ， 解得， m1 且 m5 ； 综合 知， m1 故答案是： m1 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解答本题要注意分类讨论，切记不要忽略一 元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件 5.（ 2016 天津五区县 一模 ） 已知关于 x2+bx+b 1=0有两个相等的实数根，则 2 【考点】根的判别式 【专题】计算题 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于 0，即可求出 【解答】解：根据题意得： =b 2 4（ b 1） =（ b 2） 2=0， 则 故答案为： 2 【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于 0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于 0，方程有两个相等的实数根；根的判别 式的值小于 0，方程没有实数根 6 (2016重庆铜梁巴川一模）从 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3这七个数中随机抽取一个数记为 a，则 解，但不是方程 3x+2=0的实数解的概率为 【分析】首先解不等式组，即可求得 一元二次方程 3x+2=0，可求得后直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解： ， 由得： x 2， 由得： x ， 解， a=0， 1， 2， 3， 3x+2=0， （ x 1）（ x 2） =0， 解得： ， ， 3x+2=0的实数解， a=0或 3； 解，但不是方程 3x+2=0的实数解的概率为： 故答 案为： 7.(2016山西大同 一模）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80元，则平均每次降价的百分率为 _ 答案： 20% 8 (2016 云南省 一模 )一元二次方程 612x=0的解是 ， 【考点】解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】利用因式分解法解方程 【解答】解： 6x（ x 2） =0， 6x=0或 x 2=0， 所以 ， 故答案为 ， 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 9 (2016 云南省 二模 )一元二次方程 4x+4=0的解是 x1= 【考点】解一元二次方程 【分析】先根据完全平方公式进行变形，再开方，即可求出答案 【解答】解： 4x+4=0， （ x 2） 2=0， x 2=0， x=2， 即 x1=， 故答案为： x1= 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键 10 (2016 上海闵行区 二模 )方程 =2的解是 【考点】 无理方程 【专题】 推理填空题 【分析】 根据解无理方程的方法可以解答本题 【解答】 解： =2， 两边平方，得 2x+3=4， 解得 ， 检验：当 x=时， ， 故原无理方程的解是 故答案为： 【点评】 本题考查解无理方程，解题的关键是明确解无理方程的解 ，注意最后要进行检验 11 (2016上海浦东模拟 )方程53x的解是 答案：4x12.（ 2016吉林东北师范大学附属中学一模） 一元二次方程 22 1 0 的根的判别式的值是 _ 答案： 9 13.（ 2016江苏常熟一模） 如图，在 C 于 E， B=EC=a，且 x 3=0 的根，则 4+2 【考点】 解一元二次方程 行四边形的性质 【专题】 计算题 【分析】 先解方程求得 a，再根据勾股定理求得 而计算出 【解答】 解： a 是一元二次方程 x 3=0的根， （ x 1）（ x+3） =0， 即 x=1或 3， B=EC=a ， a=1 ， 在 ， = a= ， 4a+2 a=4+2 故答案为： 4+2 【点评】 本题考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握 14.（ 2016广东河源一模） 已知关于 x 的一元二次方程 2 2 1 0kx x 有两个不相等的 实数根，则实数 。 答案： k 1且 k 0 15.（ 2016广东深圳联考） 关于 k 1） 2x+1=0有两个不相等的 实数根，则实数 答案： k 2且 k 1 16.（ 2016江苏省南京市钟爱中学九年级下学期期初考试） 一元二次方程 2x=0的解是 答案： ， 17.（ 2016江苏省南京市钟爱中学九年级下学期期初考试） 网购悄然盛行，我国 2012年网购交易额为 亿人民币， 2014年我国网 购交 易额达到了 果设2013年、 2014年网购交易额的平均增长率 为 x，则依题意可得关于 答案： 1+x） 2=18.（ 2016上海市闸北区中考数学质量检测 4月卷） 某企业 2013年的年利润 为 100万元 ，2014年和 2015年连续增长，且这两年的增长率相同，据统计 2015年的年利润为 125万元 x，那么可列出的方程是 答案：2100(1 ) 125x+=； 19.（ 2016 吉林长春朝阳区 一模） 一元二次方程 2x+2=0根的判别式的值是 4 【考点】 根的判别式 【分析】 直接利用根的判别式 =b 2 4 【解答】 解：一元二次方程 2x+2=0根的判别式的值是： = （ 2） 2 42= 4 故答案为： 4 【点评】 此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键 20.（ 2016湖南湘潭一模） 方程3)3( 2 答案： 1x =3、 2x =4 21.（ 2016黑龙江齐齐哈尔一模）某电脑批 发店的 一 款鼠 标垫现在的售价为每 个 30元，每星期可卖出 1000个 . 市场调查反映，每涨价 1 元，每星期要少卖出 100个； 每 降 价 1元 ，则多卖出 100个 . 已知进价为每 个 20 元，当 鼠标垫 售价为 _元 /个 时，这星期利润 为 9600元 . 答案： 28或 32 22.（ 2016广东一模） 关于 x 的方程2( ) 0a x m b 的解是 2， （ a， m， a0 ），则方程2( 2) 0a m b 的解是 。 答案： 、解答题 1、 （ 2016枣庄 41中一模） （ 1）解方程： 4x+2=0 解：（ 1）方程整理得： 4x= 2， 配方得： 4x+4=2，即（ x 2） 2=2， 开方得： x 2= ， 解得： + ， ； 2、 （ 2016枣 庄 41中一模） 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600件，而销售单价每涨 1元，就会少售出 10件玩具 （ 1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 40），请你分别用 把结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量 y（件） 1000 10x 销售玩具获得利润 w（元） 10300x 30000 （ 2）在（ 1）问条件下，若商场获得了 10000元销售利润，求该玩 具销售单价 （ 3）在（ 1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44元，且商场要完成不少于 540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用 【专题】优选方案问题 【分析】（ 1）由销售单价每涨 1元，就会少售出 10件玩具得 y=600（ x 40） 10=1000 10x，利润 =（ 1000 10x）（ x 30） = 10300x 30000； （ 2）令 10300x 30000=10000，求出 （ 3）首先求出 后把 w= 10300x 30000转化成 y= 10（ x 65） 2+12250，结合 出最大利润 【解答】解：（ 1） 销售单价（元） x 销售量 y（件） 1000 10x 销售玩具获得利润 w（元） 10300x 30000 （ 2） 10300x 30000=10000 解之得： 0， 0 答：玩具销售单价为 50元或 80元时，可获得 10000元销售利润， （ 3）根据题意得 解之得： 44x46 ， w= 10300x 30000= 10（ x 65） 2+12250， a= 10 0，对称轴是直线 x=65， 当 44x46 时， w 随 当 x=46时， W 最大值 =8640（元） 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640元 3.（ 2016 天津市南开区 一模） 某商店以 40 元 /千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量 y（千克）与销售单价 x（元 /千克）之间的函数关系如图所示 （ 1）根据图象求 y与 （ 2）商店想在销售成 本不超过 3000元的情况下，使销售利润达到 2400元，销售单价应定为多少？ 【考点】一次函数的应用；一元二次方程的应用 【分析】（ 1）根据图象可设 y=kx+b，将（ 40， 160），（ 120， 0）代入，得到关于 k、 方程组即可； （ 2）根据每千克的利润 销售量 =2400元列出方程，解方程求出销售单价，从而计算销售量，进而求出销售成本，与 3000元比较即可得出结论 【解答】解：（ 1）设 y与 y=kx+b， 将（ 40， 160），（ 120， 0）代入， 得 ，解得 ， 所以 y与 y= 2x+240（ 40x120 ）； （ 2）由题意得（ x 40）（ 2x+240） =2400， 整理得， 160x+6000=0， 解得 0， 00 当 x=60时，销售单价为 60 元，销售量为 120千克，则成本价为 40120=4800 （元），超过了 3000元，不合题意，舍去； 当 x=100时，销售单价为 100元，销售量为 40 千克，则成本价为 4040=1600 （元），低于 3000元，符合题意 所以销售单价为 100元 答：销售单价应定为 100元 【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，利用待定系数法求出 y与 4 (2016重庆巴南 一模）为了尽快的适应中招体考项目，现某校初二（ 1）班班委会准备筹集 1800元购买 A、 （ 1）班委会决定，购买 种跳绳资金的 2倍，问最多用多少资金购买 （ 2）经初步统计，初 二（ 1）班有 25人自愿参与购买，那么平均每生需交 72元初三（ 1）班了解情况后，把体考后闲置的跳绳赠送了若干给初二（ 1）班，这样只需班级共筹集 1350元经初二（ 1）班班委会进一步宣传，自愿参与购买的学生在 25人的基础上增加了 4a%则每生平均交费在 72元基础上减少了 求 a 的值 【分析】（ 1）设购买 购买 1800 x）元，利用“购买种跳绳资金的 2倍”，列出不等式求解即可； （ 2）根据“自愿参与购买的学生在 25 人的基础上增加了 2a%则每生平 均交费在 72 元基础上减少了 列出方程求解即可 【解答】解：（ 1）设用于购买 购买 1800 x）元， 根据题意得： 2（ 1800 x） x， 解得： x 1200， 200 时， 1800 00， 答：最多用 600元购买 （ 2）根据题意得： 25（ 1+4a%） 72（ 1 =1350， 令 a%=m， 则整理得： 406m 1=0， 解得： m= 或 a= （舍去）， a=25 所以 5 5.(2016四川峨眉 二模）先化简，再求值： 2224442x x，其中 x 的值是方程2 0 的根 . 答案： 解：原式 = 2224 4 4() 2x x xx x x x = 2 4 4 ( 2 ) ( 2 )( 2 )x x x xx x x = 2 4 4 ( 2 )x x = 2( 2)2g= 2x x 的值是方程 2 0 的根，且 0x 1x 当 1x 时， 原式 = 12 = 1 6. (2016郑州二模 )（ 9 分）已知：关于 x 的一 元二次方程 022 两个不相等的实数根 （ 1）求 （ 2）当 合适的方法求该方程的解 【解答】 解：（ 1） 关于 x 的一元二次方程 2 20x x k 有两个不相等的实数根， 22 4 0k 解得 1k (2) 1k ， 符合条件的最大整数 0k ， 此时方程为 2 2 ( 2) 120, 7. （ 2016江苏常熟一模） 解方程： （ 1） =3（ x+1）；（ 2） 24x+1=0 【考点】 解一元二次方程 一元二次方程 【专题】 方程思想 【分析】 （ 1）可先对方程进行去括号、移项、化简，然后提取公因式，再根据 “ 两式相乘值为 0，这两式中至少有一式值为 0” 来解题 （ 2）观察原方程，可用公式法进行求解，首先确定 a， b， c，再判断方程的解是否存在，若存 在代入公式即可求解 【解答】 解：（ 1） x 2+3=3（ x+1）， x 2+3=3x+3， x 2 3x=0， x （ x 3） =0， x 1=0， ； （ 2） a=2， b= 4， c=1， 46 8=8 0， x= ； x 1= ， 【点评】 本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 8.（ 2016江苏丹阳市丹北片一模） （ 1）解方程 ： 2 3 2 0 1602 （ 2）解不等式组 ： 2 3 1,12 ( 1) 答案： （ 1） 21 ， x= 检验） （ 2） x 5 9.（ 2016河南洛阳一模） （ 9分）已知关于 m+2) x+ (2=0 (1)求 证 ：方程一定有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是 1，请求出方程的另 一 个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长 . （ 1）证明： =（ m 2） 2 4（ 2m 1） =（ m 2） 2 4， 在实数范围内， m 2） 2+4 4 0，即 0. 关于 m 2） x（ 2m 1） =0恒有两个不相等的实数根 . （ 2） 此方程的一个根是 1， 12 1（ m 2）（ 2m 1） =0，解得， m=2， 则方程的另一根为： m 2 1=2+1=3. 该直角三角形的两直角边是 1、 3时，由勾股定理得斜边的长度为 10 ，该直角三角形的周长为 1 3 10 =4 10 . 当该直角三角形的直角边和斜边分别是 1、 3 时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为 22；则该直角三角形的周长为 1 3 22=4 22. 10 （ 2016 湖南省岳阳市十二校联考 一模） 学校去年年底的绿化面积为 5000平方米，预计到明年年底增加到 7200平方米，求这两年的年平均增长率 【考点】 一元二次方程的应用 【专题】 增长率问题 【分析】 设这两年的年平均增长率为 x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果 【解答】 解：设这两年的年平均增长率为 x， 根据题意得： 5000（ 1+x） 2=7200，即（ 1+x） 2= 开方得： 1+x=x+1= 解得： x=0%，或 x= 去） 答：这两 年的年平均增长率为 20% 【点评】 考查了一元二次方程的应用，本题为增长率问题，一般形式为 a（ 1+x） 2=b， 11.（ 2016湖北襄阳 一模） 某省为 解决农村困难 户住危房的问题，决定实行精准扶贫。省财政部门共投资 10 亿元对各市的“危房改造”予以一定比例的补助 2013 年， 00 万元用于“危房改造”，计划以后每年以相同的增长率投资， 2015年该市计划投资“危房改造” 864万元 （ 1）求 房改造”费用的年平均增长率； （ 2）从 2013年到 2015年， 房改造”多少万元？ 答案：解：（ 1）设 求 房改造”费用的年平均增长率为x，得， 864)1(600 2 x，x（不合题意，舍去） %答： 房改造”费用的年平均增长率为 20%. （ 2）由题意得， 600 600（ 1x） 864 600 600 120%+864 2184(万元 ) 答：从 2013年到 2054年， 房改造” 2184万元 . 12.（ 2016广东深圳一模） 据媒体报道，我国 2009年公民出境旅游总人数约 5000万人次， 2011年公民出境旅游总人数约 7200万人次，若 2010年、 2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （ 1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （ 2）如果 2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2012年我国公民出境旅游总人数约多少 万人次？ 【考点】 一元二次方程的应用 【专题】 增长率问题 【分析】 （ 1）设年平均增长率为 x根据题意 2010年公民出境旅游总人数为 5000（ 1+x）万人次， 2011年公民出