第四章-分离变量法1.doc

第四章 分离变量法一、分离变量法的精神和解题要领1分离变量法的精神将未知函数按多个单元函数分开，如，令从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解2分离变量法的解题步骤用分离变量法求解偏微分方程分4步（1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界条件，得到相应的特值问题和其它常微分方程。（2）求解特征值问题（3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如）。（4）叠加（如）用初始条件和非齐次边界条件确定系数（即任意常数），从而得到偏微分方程定解问题的解。3特征值问题在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。常涉及到的几种特征值问题：（1）特征值 ，特征函数 （2）特征值 ，特征函数 （3）特征值 ，特征值函数（4）特征值为，特征值函数（5）特征值，特征函数4有界弦的自由振动解考虑长为l两端固定弦的自由振动1分离变量：令 则原偏微分方程化为：即 上面等式左端是t的函数，而右端是x的函数，而t和x是相互独立的，因此要上式成立，故只有两边都是常数，此等式才成立。即 代入边界条件由于是t的任意函数，它不可能恒为零，故只可能有2特征值问题考虑定解问题讨论：若=0，则（1）的解为 由得，由得 于是可见不能为零若0，则方程（1）的解为由边界条件得 解之得 c1=c2=0，于是 可见不能大于0。若0，记=-k2 则（1）的解为由边界条件有因为c2=0，故c1不能为零，故只能是 sinkl=0。这要求 kl=n n=0,1,2,但n不能为零，否则k=0，又得到零解，而且n给出的两个解只相差一个负号，即线性相关，故 n=1,2,综上，得到特征值为 n=1,2,其相应的特征值函数为 n=1,2,3关于T(t)的方程的通解将特征值 代入至于T(t)的方程得其通解为：其中和为任意常数故 4有界弦的自由振动解由叠加原理有 这恰好是的正弦展开，于是：令 而则： 这表明有界弦的振动是一系列以不同的固有频率，不同的初相位，不同的振幅振动的简谐振动的叠加。例1：求下解问题解：此题属于有界弦的振动，且于是有：其中： 更简单的方法： 且 由级数展开形式的唯一性知 例2：求定解问题解：没有现成的公式可套，直接采用分离变量法求解（1）分离变量：则有：即 于是原来的偏微分方程化为两个常微分方程由边界条件：得（2）求解特征值问题 则得 ，特征函数 （3）将代入得解之得 （4）叠加：代入初始条件 比较系数得：于是：（二）非齐次方程纯强迫振动考虑有界弦、杆的纯强迫振动由于方程中非齐次项的出现，故若直接以代入方程，不能实现变量分离，于是联想到非齐次线性常微分方程求解的常数变易方法。1对应齐次方程的特征函数通过分离变量，得到特征值值问题由此求得特征函数 n=1,2,2的方程的解仿常数变易法，令代入原方程得将上面等式右端至于变量x展开成Fourier级数有 其中 即 比较系数： 由初始条件 知 即：采用常数变易法，则有 n=1,2,3原方程的解为例3：求下列定解问题解：求对应齐次方程的特征值对应的齐次方程的特征值问题为：求解得特征值函数为： n=0,1,2令 代入方程得：比较两边Fourier展开的系数有： n=0 n=1,2, ； n=1,2, 例4：另外具有非零初始条件的处理例5：令 其中 满足满足（三）非齐次边界条件的处理前面两节讨论的问题都是齐次边界条件，但大多实际并非都是齐次的，因此需要讨论非齐次边界条件问题。例1边界条件的齐次化：为此引入新的未知函数和辅导函数，令若能找到函数，具备性质，则新函数其满足齐次边界条件2辅助函数的选取对于任意的t，在平面上，满足条件，即过两点的曲线有无穷多个，取最简单的直线令 得：故有 这样原方程化为：这是强迫振动问题，其求解方法前面已讲过。对于其它类型的非齐次边界条件问题：（1）则 （2）则 （3）对于则选 例：解：设 其中 满足 则可取 原方程变形为：上式的特征函数 其中 原问题的解为：（四）某些区域上二维方程的分离变量法一、矩形区域上方程的边值问题由于有一组边界条件是齐次的，故可以采用分离变量法。令，代入方程即得两上常微分方程：利用齐次边界条件有 得特征值为 特征函数为 而 利用叠加原理有：由另一组边界条件： 求出。二、圆域上方程的边值问题物理意义：一半径为的薄圆盘，上下两面绝热，若已知圆盘边缘上的温度，求圆盘上稳定的温度分布。利用极坐标 设代入方程即 根据