二次函数达标检测·基础过关

1 达标检测达标检测 基础过关基础过关 二次函数与一元二次方程的关系 1 2015 潍坊中考 已知二次函数 y ax2 bx c 2 的图象如图所示 顶点为 1 0 下列结论 abc2 4a 2b c 0 其中正确结论的个数是 A 1B 2C 3D 4 解析 选 B 抛物线开口向上 a 0 对称轴在 y 轴左边 b 0 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方且大于 2 c 2 2 c 0 abc 0 结论 不正确 二次函数 y ax2 bx c 2 的图象与 x 轴只有一个交点 0 即 b2 4a c 2 0 结论 不正确 对称轴 x 1 b 2a b 2 b2 4a c 2 0 4a2 4ac 8a 0 c a 2 c 0 a 2 结论 正确 对称轴是 x 1 而且 x 0 时 y 2 x 2 时 y 2 4a 2b c 2 2 4a 2b c 0 结论 正确 综上 正确结论的个数是 2 个 2 2 2015 咸宁中考 如图是二次函数 y ax2 bx c 的图象 下列结论 二次三项式 ax2 bx c 的最大值为 4 4a 2b c 0 一元二次方程 ax2 bx c 1 的两根之和为 1 使 y 3 成立的 x 的取值范围是 x 0 其中正确的个数有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 解析 选 B 抛物线的顶点坐标为 1 4 二次三项式 ax2 bx c 的最大值为 4 正确 x 2 时 y 0 4a 2b c0 方程 ax2 bx c 3 有两个相等的实 数根 抛物线与 x 轴的另一个交点是 1 0 当 1 x 4 时 有 y2 y1 其中正确 的是 3 A B C D 解析 选 C 对于抛物线 y1 ax2 bx c a 0 对称轴 x 1 2a b 0 是 b 2 对的 由抛物线图象可知 a0 b 0 又 c 0 abc 0 是错的 由于 b 2 抛物线 y1 ax2 bx c a 0 图象与 y 3 只有一个交点 方程 ax2 bx c 3 有两 个相等的实数根是对的 由抛物线的对称性可知 设另一根为 x2 1 x2 2 抛 4 2 2 物线与 x 轴的另一个交点是 2 0 错误 通过函数图象可直接得到 当 1 x 4 时 有 y20 abc2 其中 正确结论的个数是 A 0B 1 C 2D 3 解析 选 D 由图象可知 抛物线与 x 轴有两个交点 所以 b2 4ac 0 抛物线开 口向下 a0 对称轴在 y 轴右侧且 a0 所以 abc2 4 5 2015 三明中考 已知二次函数 y x2 2x m 1 如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点 求 m 的取值范围 2 如图 二次函数的图象过点 A 3 0 与 y 轴交于点 B 直线 AB 与这个二次函 数图象的对称轴交于点 P 求点 P 的坐标 解析 1 二次函数的图象与 x 轴有两个交点 22 4m 0 m 1 2 二次函数的图象过点 A 3 0 0 9 6 m m 3 二次函数的解析式为 y x2 2x 3 令 x 0 则 y 3 B 0 3 设直线 AB 的解析式为 y kx b 解得 0 3 3 k 1 3 直线 AB 的解析式为 y x 3 抛物线 y x2 2x 3 的对称轴为 x 1 把 x 1 代入 y x 3 得 y 2 P 1 2 利用二次函数的图象求一元二次方程的根 5 1 2016 渭南月考 下表是二次函数 y ax2 bx c 的自变量 x 的值与函数 y 的对 应值 判断方程 ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 的一个解的范围是 x6 176 186 196 20 y ax2 bx c 0 03 0 010 020 04 A 6 x 6 17B 6 17 x 6 18 C 6 18 x 6 19D 6 19 x 6 20 解析 选 C 由图表知 当 6 17 x 6 20 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 6 18 时 y 0 010 6 18 x 6 19 变式训练 先阅读下列表格 x 1 11 21 31 4 y x2 12x 15 0 59 0 84 2 29 3 76 表格可知方程 x2 12x 15 0 的正根的十分位是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 选 B 由表中数据知 方程的根在 1 1 和 1 2 之间且偏向于 1 1 2 2015 苏州中考 若二次函数 y x2 bx 的图象的对称轴是经过点 2 0 且平行 于 y 轴的直线 则关于 x 的方程 x2 bx 5 的解为 A x1 0 x2 4B x1 1 x2 5 C x1 1 x2 5D x1 1 x2 5 解析 选 D 由题意得 二次函数的对称轴为直线 x 2 6 所以由对称轴公式得 2 b 2 即 b 4 代入一元二次方程得 x1 1 x2 5 3 二次函数 y ax2 bx c 的部分图象如图所示 则方程 ax2 bx c 0 的另一根介于 哪两个整数之间 A 1 和 0B 0 和 1 C 1 和 2D 2 和 3 解析 选 B 由图象知 抛物线的对称轴为 x 1 故抛物线与 x 轴两个交点关于直线 x 1 对称 抛物线与 x 轴另一个交点在 0 和 1 之间 方程 ax2 bx c 0 的另一根在 0 和 1 之间 4 2016 北京西城区月考 已知二次函数 y x2 4x m 的部分图象如图 则关于 x 的一元二次方程 x2 4x m 0 的解是 解析 根据图象知 二次函数 y x2 4x m 的对称轴为 x 2 与 x 轴的一个交点 为 5 0 根据抛物线的对称性知 抛物线与 x 轴的另一个交点与点 5 0 关于对称轴对称 则另一交点坐标为 1 0 7 则当 x 1 或 x 5 时 函数值 y 0 即 x2 4x m 0 故关于 x 的一元二次方程 x2 4x m 0 的解为 x1 1 x2 5 答案 x1 1 x2 5 5 利用函数的图象 求方程 x2 2x 3 0 的解 解析 作出函数 y x2 2x 3 的图象 由图象知 抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴的交 点坐标为 3 0 和 1 0 方程 x2 2x 3 0 的解为 x1 3 x2 1 一题多解 在同一直角坐标系中画出函数 y x2和 y 2x 3 的图象如图 得到 它们的交点 3 9 1 1 则方程 x2 2x 3 0 的解为 x1 1 x2 3 互动探究 若利用函数图象求方程 2x2 4x 3 0 的解 则应画哪两个函数的图 象 提示 方程 2x2 4x 3 0 可变形为 2x2 4x 3 所以应画二次函数 y 2x2和一次函数 y 4x 3 的图象 8 综合练 1 2015 济南中考 如图 抛物线 y 2x2 8x 6 与 x 轴交于点 A B 把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1 将 C1向右平移得 C2 C2与 x 轴交于点 B D 若 y x m 与 C1C2共有 3 个不同的交点 则 m 的取值范围是 A 2 m B 3 m 1 8 7 4 C 3 m 2D 3 m 15 8 解析 选 D y 2x2 8x 6 x 1 2x 6 A 1 0 B 3 0 D 5 0 C2 y 2x2 16x 30 由 y 2x2 16x 30 y x m 得 2x2 15x 30 m 0 225 4 2 30 m 0 m 15 8 把 B 3 0 代入 y x m 得 0 3 m m 3 y x m 与 C1 C2共有 3 个不同的交点 9 3 m 15 8 2 2015 甘南州中考 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 bx c 经过 2 3 A 0 4 B x1 0 C x2 0 三点 且 x2 x1 5 1 求 b c 的值 2 在抛物线上求一点 D 使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形 3 在抛物线上是否存在一点 P 使得四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形 若存 在 求出点 P 的坐标 并判断这个菱形是否为正方形 若不存在 请说明理由 解析 1 抛物线 y x2 bx c 经过点 A 0 4 2 3 c 4 又 由题意可知 x1 x2是方程 x2 bx 4 0 的两个根 2 3 x1 x2 b x1x2 6 3 2 由已知得 x2 x1 2 25 又 x2 x1 2 x2 x1 2 4x1x2 b2 24 9 4 b2 24 25 9 4 解得 b 当 b 时 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧 不合题意 舍去 14 3 14 3 10 b 14 3 2 四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形 根据菱形的性质 点 D 必在抛物线 的对称轴上 又 y x2 x 4 2 3 14 3 2 3 7 2 2 25 6 抛物线的顶点即为所求的点 D 7 2 25 6 3 四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形 点 B 的坐标为 6 0 根据菱形的