【初数】几何专题课程(共9讲)-第07讲-正方形与弦图-5月6日-周三-10点15-黄欣欣

初中数学专题课程 直角三角形 学生版 1 13 几 何 专 题 课 程AAAAA 第七第七讲 正方形与弦图讲 正方形与弦图 知识点睛知识点睛 一 正方形的弦图一 正方形的弦图 早在一千三百多年前 我国著名的数学家赵爽巧妙的借助面积 证明了勾股定理 下图 左 就 是赵爽证题时用到的图形 史称 弦图 此图不仅构造巧妙美观 而且还蕴含着不少 玄机 F G H A B D E C OP RQ 易知 AEF RFE DFG OGF BHE QEH PHG CGH 都全等 其中我们把正方形的弦图分为内弦图和外弦图 见下图 通常情况下 弦图中垂直往往对应着全 等 由全等得出对应边相等 对应角相等 由三角形全等 可知他们的面积相等 设它们的面积都为 a 则 4 EFGHOPRQ SaS 正方形正方形 于是可得出如下结论 8 ABCDOPQR Sa S 正方形正方形 1 2 EFGHABCDOPQR SSS 正方形正方形正方形 正方形的弦图可以推广延伸到矩形和平行四边形中去 见 右 图 易知 1 2 ABCDOPQREFGH SSS 矩形矩形四边形 F G H A B D E C OP R Q 初中数学专题课程 直角三角形 学生版 2 13 几 何 专 题 课 程AAAAA 例题精讲例题精讲 例 1 正方形 ABCD 中 点 P 是 CD 上一动点 连接 AP 分别过 B D 两点作 BE AP DF AP 垂足为 E F 如图 1 请你通过观察或测量 BE DF EF 的长度 然后猜想它们之间的数量关系 若点 P 在 DC 的延长线上 如图 这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系 若 P 在 DC 的反 向延长线上 如图 这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系 请分别直接写出结 论 2 请在 1 中的三个结论中任意选择一个加以证明 初中数学专题课程 直角三角形 学生版 3 13 几 何 专 题 课 程AAAAA 例 2 如图所示 四边形 EFGH 是由矩形 ABCD 的外角平分线围成的 求证 四边形 EFGH 是正方形 例 3 如图 E 是 BC 上的一点 且 Rt ABE Rt ECD 90BC 1 求证 AED 是等腰直角三角形 2 若 AED 的面积是 ABE 的面积是 6 求 ABE 的周长 25 2 初中数学专题课程 直角三角形 学生版 4 13 几 何 专 题 课 程AAAAA 例 4 如图 已知点 E F G H 分别在正方形 ABCD 的各边上 且 AEBFCGDH AF BG CH DE 分别相交于点 A B C D 求证 四边形是正方形 A B C D 例 5 如图 有 4 个动点 P Q E F 分别从正方形 ABCD 的 4 个顶点出发 沿着 AB BC CD DA 以同样的速度向 B C D A 各点移动 1 判定四边形 PQEF 的形状 2 PE 是否总是经过某一定点 并说明理由 3 四边形 PQEF 的顶点位于何处时 其面积最小 最大 各是多少 初中数学专题课程 直角三角形 学生版 5 13 几 何 专 题 课 程AAAAA 例 6 如图 1 已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方 BC 在直线 MN 上 E 是线段 BC 上一点 以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG 1 连接 GD 求证 ADG ABE 2 连接 FC 求证 并说明理由 45FCN 3 当 E 点在 CB 的延长线上时 如图 2 连接 FC 则 FCN 等于多少度 请说明理 由 初中数学专题课程 直角三角形 学生版 6 13 几 何 专 题 课 程AAAAA 例 7 1 如图 1 正方形 ABCD 中 AE BF 于点 G 试说明 AEBF 2 如果把线段 BF 变动位置如图 2 其余条件不变 1 中结论还成立吗 请说明理 由 3 如果把 AE 与 BF 变动位置如图 3 结论还成立吗 请说明理由 初中数学专题课程 直角三角形 学生版 7 13 几 何 专 题 课 程AAAAA 例 8 2009 威海 如图 1 在正方形 ABCD 中 E F G H 分别为边 AB BC CD DA 上的 点 连接 EG FH 交点为 O HAEBFCGD 1 如图 2 连接 EF FG GH HE 试判断四边形 EFGH 的形状 并证明你的结论 2 将正方形 ABCD 沿线段 EG HF 剪开 再把得到的四个四边形按图 3 的方式拼接成一 个四边形 若正方形 ABCD 的边长为 3cm cm 则图 3 中阴影部分的1HAEBFCGD 面积为 cm2 初中数学专题课程 直角三角形 学生版 8 13 几 何 专 题 课 程AAAAA 例 9 1 已知 ABC 是等腰直角三角形 现分别以它的直角边 BC 斜边 AB 为边向外作正方形 BCEF ABMN 如图甲 连接 MF 延长 CB 交 MF 于 D 试观测 DF 与 DM 的长度关系 你会发现 2 如果将 1 中的 ABC 改为非等腰的直角三角形 其余作法不变 如图乙 这时 D 点 还具有 1 的结论吗 请证明你的判断 3 如果将 1 中的 ABC 改为锐角三角形 仍以其中的两边分别向外作正方形 如图丙 则应在图中过 B 点作 ABC 的 线 它与 MF 的交点 D 恰好也具有 1 的结论 请证 明在你的作法下结论的正确性 初中数学专题课程 直角三角形 学生版 9 13 几 何 专 题 课 程AAAAA 例 10 如图 1 在 ABC 和 ADE 中 90BACDAE ABAC ADAE 1 求证 ABDACE SS 2 如图 2 AM 是 ACE 的中线 MA 的延长线交 BD 于 N 求证 MN BD 初中数学专题课程 直角三角形 学生版 10 13 几 何 专 题 课 程AAAAA 例 11 2005 河北 操作示例 对于边长为 a 的两个正方形 ABCD 和 EFGH 按图 1 所示的方式摆放 在沿虚线 BD EG 剪 开后 可以按图中所示的移动方式拼接为图 1 中的四边形 BNED 从拼接的过程容易得到结论 四边形 BNED 是正方形 ABCDEFGHBNED SSS 正方形正方形正方形 实践与探究 1 对于边长分别为 a b 的两个正方形 ABCD 和 EFGH 按图 2 所示的方式摆放 ab 连接 DE 过点 D 作 DM DE 交 AB 于点 M 过点 M 作 MN DM 过点 E 作 EN DE MN 与 EN 相交于点 N 证明四边形 MNED 是正方形 并用含 a b 的代数式表示正方形 MNED 的面积 在图 2 中 将正方形 ABCD 和正方形 EFGH 沿虚线剪开后 能够拼接为正方形 MNED 请 简略说明你的拼接方法 类比图 1 用数字表示对应的图形 2 对于 n n 是大于 2 的自然数 个任意的正方形 能否通过若干次拼接 将其拼接成为 一个正方形 请简要说明你的理由 初中数学专题课程 直角三角形 学生版 11 13 几 何 专 题 课 程AAAAA 例 12 阅读下列材料 小明遇到一个问题 如图 1 正方形 ABCD 中 E F G H 分别是 AB BC CD 和 DA 边 上靠近 A B C D 的 n 等分点 连接 AF BG CH DE 形成四边形 MNPQ 求四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比 用含 n 的代数式表示 小明的做法是 先取 如图 2 将 ABN 绕点 B 顺时针旋转 90 至 CBN 再将 ADM 绕点 D 逆时2n 针旋转 90 至 CDM 得到 5 个小正方形 所以四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比 是 1 5 请你参考小明的做法 解决下列问题 1 取 如图 3 四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比为 直接写出结果 3n 2 在图 4 中探究 时四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比为 在图 4 上画4n 图并直接写出结果 3 猜想 当 E F G H 分别是 AB BC CD 和 DA 边上靠近 A B C D 的 n 等分点 时 四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比为 用含 n 的代数式表示 4 图 5 是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图 请你将它剪成三块后再拼成正方形 在 图 5 中画出并指明拼接后的正方形 初中数学专题课程 直角三角形 学生版 12 13 几 何 专 题 课 程AAAAA 课后作业课后作业 作业 1 如图 已知在正方形 ABCD 中 E 为 DC 的中点 连接 BE 作 CF BE 于 P 交 AD 于 F 点 求证 F 是 AD 的中点 作业 2 已知 ABC 是等腰直角三角形 C 是直角 直线 NM 过点 C BP MN 于 P AQ MN 于 Q 求 PQ 的长 3BP 4AQ 初中数学专题课程 直角三角形 学生版 13 13