高考数学（精讲+精练+精析）专题6_2 等差数列与等比数列试题 理（含解析）.doc

专题6.2 等差数列与等比数列【三年高考】1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,则 （ ）（A）100 （B）99 （C）98 （D）97【答案】C2【2016年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )（参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30）（ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年【答案】B【解析】设第年的研发投资资金为，则，由题意，需，解得，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.3【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，则_.【答案】6【解析】是等差数列，故填：64【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 an的最大值为 【答案】5【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 .【答案】【解析】由得，因此6. 【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=（）A、-1 B、0 C、1 D、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得，选B.7.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 .【答案】【解析】由题意，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和 .8.【2015江苏高考，20】设是各项为正数且公差为d的等差数列（1）证明：依次成等比数列；（2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由.（3）假设存在，及正整数，使得，依次构成等比数列，则，且分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），则，且将上述两个等式两边取对数，得，且化简得，且再将这两式相除，化简得（）令，则令，则令，则令，则由，知，在和上均单调故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立所以不存在，及正整数，使得，依次构成等比数列9.【2015高考天津，理18】已知数列满足，且成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设，求数列的前项和. (II) 由(I)得，设数列的前项和为，则，两式相减得，整理得所以数列的前项和为.10. 【2014高考广东卷理第13题】若等比数列的各项均为正数，且，则 .【答案】.【解析】由题意知，所以，因此，因此.11【2014高考安徽卷理第12题】数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则_.【答案】12【2014高考四川第16题】设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）.（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前 项和.【解析】据题设可得.（1），所以.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对等差数列和等比数列的考查，主要以等差数列和等比数列为素材，围绕着等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式和前n项和公式的运用设计试题，而等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性，是高考必考内容，着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，题型不仅有选择题、填空题、还有解答题，题目难度中等【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 ,对于等差与等比数列的综合考查也频频出现考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上在解答题中，有的考查等差数列、等比数列通项公式和求和知识，属于中档题，有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大等差数列和等比数列的判定，可能会在解答题中的第一问，或者渗透在解题过程中.等差数列、等比数列的通项公式，以小题形式或者在解答题中考查，是解决等差数列和等比数列的瓶颈，要熟练掌握.等差数列和等比数列性质的运用，主要以选择或者填空的形式考查，难度较低对等差数列、等比数列前n项和的考查，直接考查或者通过转化为等差数列、等比数列后的考查在2017年对数列的复习，除了加强“三基”训练，同时要紧密注意与函数、不等式、解析几何结合的解答题故预测2017年高考可能以等差数列与等比数列的基本性质为主要考查点，重点考查学生基本运算能力以及转化与化归能力，试题难度中等.【2017年高考考点定位】高考对等差数列和等比数列的考查有四种主要形式：一是考察等差数列和等比数列的判定，主要以定义为主；二是考察通项公式，直接求或者转化为等差数列和等比数列后再求；三是对等差数列和等比数列的性质的考查；第四是求和【考点1】等差数列和等比数列的判定【备考知识梳理】1等差数列的判定：（为常数）；（为常数）；（为常数）其中用来证明方法的有2.等比数列的判定：（）；（）；其中用来证明方法的有【规律方法技巧】判断等差数列和等差数列的判断方法：判断等差数列和等比数列，可以先计算特殊的几项，观察其特征，归纳出等差数列或者等比数列的结论，证明应该首先考虑其通项公式，利用定义或者等差中项、等比中项来证明，利用通项公式和前n项和只是作为判断方法，而不是证明方法，把对数列特征的判定渗透在解题过程中，可以帮助拓展思维和理思路【考点针对训练】1. 【2016年安徽淮北高三考前质量检测】如图，已知点为的边上一点，为边的一列点，满足，其中实数列中，则的通项公式为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为，所以，设，因为，所以，所以，所以，所以，又，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，故选D2. 【2016届石家庄市高三二模】设是数列的前项和，且，则使取得最大值时的值为（ ）A. B. C. D.【答案】D【考点2】等差数列和等比数列的通项公式与前n项和【备考知识梳理】1等差数列的通项公式： ，2等比数列的通项公式：，3等差数列前n项和公式：Sn= Sn=4.等比数列前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q1时，Sn= Sn=5.当公差时，等差数列递增；当时，等差数列递减；当时，等差数列为常数列6. 对于等比数列：an=a1qn1.可用指数函数的性质来理解.当a10，q1或a10，0q1时，等比数列是递增数列；当a10，0q1或a10，q1时，等比数列an是递减数列.当q=1时，是一个常数列.当q0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.【规律方法技巧】1 等差数列和等比数列通项公式有两个，一个表示的是项与首项关系和；另一个表示的是数列任意两项的关系和，有时候选择后组，可以很快求出答案2 满足或者的数列为等差数列；满足或者的数列为等比数列3 等差（或等比）数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素（或）、，“知三求二”是等差（等比）的基本题型，通过解方程的方法达到解题的目的【考点针对训练】1. 【2016年河南郑州高三第二次联考】设数列满足，且，则的值是（ ）A B C D【答案】D.2. 【2016届淮南市高三.二模】 已知数列满足：，且，则前10项和等于（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意得，则，即数列为公比为的等比数列，又，所以，所以前项和等于，故选B【考点3】等差数列和等比数列的性质【备考知识梳理】1等差数列an中，若m+n=p+q，则2等比数列an中，若m+n=p+q，则3等差数列an的任意连续m项的和构成的数列、仍为等差数列4等比数列an的任意连续m项的和构成的数列仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外）5两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列6两个等比数列an与bn的积、商、倒数的数列anbn、仍为等比数列7.等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列8等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列9等差中项公式：A= （有唯一的值）10. 等比中项公式：G= （ab0，有两个值）【规律方法技巧】1. 等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的2. 在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形3. “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果【考点针对训练】1. 【2016届河北省衡水中学高三下练习五】在等比数列中，若，则（ ）A B C D【答案】C2. 【2016届福建福州三中高三最后模拟】在等比数列中，则（ ）A18 B24 C32 D34【答案】D【解析】设等比数列的公比为，因为，所以或；若，则；若，则，故选D【应试技巧点拨】1等差、等比数列的判定与证明方法：(1)定义法：(为常数) 是等差数列； (为非零常数) 是等比数列；(2)利用中项法： ()是等差数列； ()是等比数列(注意等比数列的，)；(3)通项公式法：(为常数) 是等差数列；(为非零常数) 是等比数列；(4)前项和公式法： (为常数) 是等差数列；(为常数，) 是等比数列；(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可2等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含(或)，与这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个其中 (或)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现易错提示等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量3.等差数列前项和的最值问题对于等差数列前项和的最值问题，取决于首项和公差的正负即：，时，有最大值；，时，有最小值.常用下面两个方法去解决：(1)若已知，可用二次函数最值的求法（）；(2)若已知，则最值时的值（）可如下确定或.4.利用等比数列求和公式注意的问题在利用等比数列前n项和公式求和时，如果公比未知，且需要利用求和公式列方程时，一定要对公比分两种情况进行讨论. 二年模拟1. 【2016届邯郸市一中高三十研】已知等比数列的前项和为，且，则（ ）A B C D【答案】D2. 【2016年九江市三模】设是等差数列的前项和，若，则（ ）A B C D【答案】C【解析】由,得，3. 【2016届高三江西师大附中、鹰潭一中联考】设为等差数列，公差d=2，为其前n项和，若，则( )A18 B20 C22 D24【答案】B【解析】由得,即.由于,所以.故B正确.4. 【2016河南省八市重点高中质检】5个数依次组成等比数列，且公比为-2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（ ）A B-2 C D【答案】C【解析】由题意可设这5个数分别为故奇数项和与偶数项和的比值为.故选C5. 【2016河北省石家庄市高三二模】设为等差数列的前项和，若，公差，则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】C6. 【2016年安庆市高三二模】数列满足：（,且）,若数列是等比数列,则的值等于（ ）A B C D【答案】D【解析】由,得.由于数列是等比数列,所以,得.故选D.7. 【2016年河南六校高三联考】已知正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，则（ ）A B C D1【答案】A.【解析】由题意得，又是等差数列，且公差相同，故选A8. 【河南商丘市高2016年高三三模】在等差数列中，首项，公差，若，则（ ）A B C D【答案】A【解析】,所以9【2016年江西九江市高三三模】已知数列满足.（）求证：数列是等比数列；（）求数列的前项和.10. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知等差数列的前项和为，公差为，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）设（），求数列的前项和 11. 【2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】各项均为正数的等差数列中，则前12项和的最小值为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选D.12.【2015届北京市西城区高三二模】数列为等差数列，满足，则数列前项的和等于（ ）A B21 C42 D84【答案】B【解析】等差数列，故选B13.【2015届福建省泉州五中高三模拟】已知数列为递增等比数列，其前项和为若，则A B C D【答案】C【解析】由于数列是递增的等比数列，代入得，整理得，数列是递增的等比数列，故答案为C14.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟】设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为( )A.1006 B.1007 C.1008 D.1009【答案】C15.【2015届山东省实验中学高三6月份模拟】数列的前n项和记为 ，等差数列的各项为正，其前n项和为，且，又 成等比数列（）求 ，的通项公式；（）求证：当n 2时，【解析】（）由，得，两式相减得，所以 ，所以 ，又所以，从而 ，而，不符合上式，所以 ，因为为等差数列，且前三项的和，所以，可设，由于，于是，因为成等比数列，所以，或（舍），所以 （）因为，所以，当时 .拓展试题以及解析1.已知在等差数列中，前项的和为，且，则 （ ）A B CD【答案】D【入选理由】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题.2.在等比数列中，且数列的前项和，则此数列的项数等于（ ）A4 B5 C6 D7【答案】B【解析】在等比数列中有，又，或.当时，得，再由得，解得.当时，同理可得.【入选理由】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，等比数列的性质等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题.3. 设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则（ ） A B C7 D14【答案】C.【解析】根据等差数列的性质，化简得，故选C.【入选理由】本题考查等差数列的通项公式及其前项和，等差数列的性质等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题.4.已知等比数列的前项和为，满足，且，则 的值为【答案】【入选理由】本题考查等比数列的通项公式及其前项和，等比数列的性质等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题.5. 已知数列中，则数列的前20项和为 .【答案】1123【解析】由题知数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列是首项为1，公差为2的等差数列，故数列的前20项和为=1123. 【入选