AR-MA-ARIMA模型介绍及案例分析

BOX JENKINS 预测法预测法 1 适用于适用于平稳时序平稳时序的三种基本模型的三种基本模型 1 模型 模型 Auto regression Model 自回归模型自回归模型 AR p 阶自回归模型 p 1 1 2 2 式中 为时间序列第 时刻的观察值 即为因变量或称被解释变量 为时序的滞后序列 这里作为自变量或称为解释变量 1 2 是随机误差项 为待估的自回归参数 1 2 2 模型 模型 Moving Average Model 移动平均模型移动平均模型 MA q 阶移动平均模型 q 1122ttttq t q yeeee 式中 为时间序列的平均数 但当序列在 0 上下变动时 显然 t y 0 可删除此项 为模型在第 期 第期 t e 1t e 2t e t q e t1t 第期的误差 为待估的移动平均参数 tq 1 2 q 3 模型模型 自回归移动平均模型 自回归移动平均模型 Auto regression Moving ARMA p q Average Model 模型的形式为 11221122tttptptttq t q ycyyyeeee 显然 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型 当 0 ARMA p qq 时 退化为纯自回归模型 当 0 时 退化为移动平均模型 AR pp MA q 2 改进的改进的 ARMA 模型模型 1 模型模型 ARIMA p d q 这里的是对原时序进行逐期差分的阶数 差分的目的是为了让某些非平d 稳 具有一定趋势的 序列变换为平稳的 通常来说的取值一般为 0 1 2 d 对于具有趋势性非平稳时序 不能直接建立模型 只能对经过平稳ARMA 化处理 而后对新的平稳时序建立模型 这里的平文化处理可以是 ARMA p q 差分处理 也可以是对数变换 也可以是两者相结合 先对数变换再进行差分 处理 2 模型模型 sARIMA p d q P D Q 对于具有季节性的非平稳时序 如冰箱的销售量 羽绒服的销售量 也同 样需要进行季节差分 从而得到平稳时序 这里的即为进行季节差分的阶数 D 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数 为季节周期的长度 P QS 如时序为月度数据 则 12 时序为季度数据 则 4 SS 在 SPSS19 0 中的操作如下 必须要先打开一个数据源 才可以定义日期 数据定义日期选择日期的起始点 此时变量栏中会出现日期变量 3 模型模型ARIMAX 在模型中 再加入除自身滞后时序变量以外的解释 sARIMA p d q P D Q 变量 X 3 模型的识别模型的识别 模型的识别的本质是确定中的以及与 sARIMA p d q P D Q p d q P D Q 的取值 借助于自相关函数 Auto correlation Function ACF 以及自相关分S 析图和偏自相关函数 Partial Correlation Function PACF 以及偏自相关分析图 来识别时序特性 并进一步确定 pqPQ 3 1 自相关函数自相关函数 自相关是时间序列诸项之间的简单相关 它的含义与相关分析中 12 t Y YY 变量之间的简单相关一样 只不过它所涉及的是同一序列自身 因而称作自相 关 自相关程度的大小 用自相关系数度量 k r 1 2 1 n k tt k t kn t t yyyy r yy 式中 为样本数据的个数 为滞后期 为样本数据平均值 nky 自相关系数 可看作自变量的函数 即自相关函数 它表示时间序列滞 k rk 后个时间段的两项之间相关的程度 如表示每相邻两项间的相关程度 k 1 r 表示每隔一项的两个观察值得相关程度 2 r 随机序列自相关系数的抽样分布 近似于以 0 为均值 为标准差的正1n 态分布 自相关系数的 95 置信区间为 此处 如果 1 96 1 96 1n 一个时间序列的自相关系数全部落入这个区间 则认为该序列是纯随机序列 将时间序列的自相关系数绘制成图 并标出一定的置信区间 通常采用 倍标准差作为置信区间的两个端点 被称作自相关分析图 2 SPSS19 0 中的操作 1 输入变量数据 定义时间序列日期 数据定义日期 2 分析预测自相关 如下 将要分析的变量从左侧移入右侧变量框中 3 勾选自相关 偏自相关 转换暂时不选 如果为非平稳序列 可勾选差分 自然对数转换 其中差分的阶数需要根据自相关图形来确定 通常为 0 1 2 未进行差分处理 由图可知几乎一半的自 相关系数未进入置信区间 说明该序列非平稳 此时需要进行差分处理 即在 重复第 2 步时 差分选项选择 1 或 2 3 2 偏自相关函数偏自相关函数 偏自相关函数是时间序列 在给定了的条件下 与 t Y 121 ttt k YYY t Y 之间的条件相关 由于它需要考虑排除其他滞后期的效应 因而被称为偏 t k Y 自相关 偏自相关系数计算公式如下 kk 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 k kkjkj kkj k kjkj j rk rr k r 偏自相关系数 可看作自变量的函数 即偏自相关函数 kk k11 kk 它用以测量当剔除其他滞后期 的干扰的条件下 与之1 2 3 1tk t Y t k Y 间相关的程度 与自相关系数类似 同样可以采用偏自相关分析图来对模型进 行识别 3 3 ARIMA 模型的参数确定模型的参数确定 Step1 判断时序是否平稳 若不平稳 经过若干次逐期差分或季节差分使 其平稳 则可确定和 对于社会经济现状 一般和的数值取 0 1 或 2 dDdD 若自相关系数 ACF 随着滞后期 一般设为 16 增大 而迅速趋于 0 则认 为该时序是平稳的 若自相关系数 ACF 随着滞后期增大 自相关系数 ACF 不趋于 0 则认为该 时序是非平稳的 更具体地说 若随着时滞的增大 自相关系数 ACF 缓慢减k 小 说明随着序列两项间隔的提前 相关程度变弱 则序列具有趋势性 若对 于季度数据或月度数据 当滞后期为 4 或 12 8 24 等时 自相关系数 ACF 显著地部位 0 即在随机区间之外 则意味着该时序具有季节性 如果时 序具有趋势性 那么需要进行逐期差分 由逐期差分的次数决定的取值 如d 果序列具有季节性 那么要进行季节差分 由季节差分次数决定的值 D 左侧图形为未经过差分处理的某城市农村居民收入的 ACF 图 可以看出自 相关系数并未迅速趋于 0 说明该时序是非平稳的 右侧为该序列的线性图 也正说明了该时序是有明显的上升趋势的 需要进行差分处理 Step2 经差分平稳后 确定时序所适合的模型 其依据如下表所示 序列特征表 ARMA p q 模型模型 AR p MA q ARMA p q 自相关函数 拖尾 指数衰减和 或 正弦衰减 截尾 拖尾 指数衰减和 或 正弦衰减 偏自相关函数截尾 阶 拖尾 指数衰减和 或 正弦衰减 拖尾 指数衰减和 或 正弦衰减 关于关于的取值的取值 p q 当不包括时滞 或 4 24 或 8 取落入随机区间之外的偏相关12k p 系数 PACF 的个数或与 0 有显著差异的 PACF 的个数 取落入随机区间之外q 的自相关系数 ACF 的个数或与 0 有显著差异的 ACF 的个数 当仅观察时滞 或 4 24 或 8 取显著不为 0 的 PACF 的个数 12k p 取显著不为 0 的季节自相关数目 q 4 案例分析案例分析 4 1 数据准备数据准备 某城市农村居民收入数据 1980 2015 年 单位 元 年份年份数据数据年份年份数据数据年份年份数据数据 1980261 001992792 1820044027 03 1981274 001993938 4520054465 99 1982291 0019941312 2420064845 35 1983312 0019951655 0020075623 24 1984344 0019961989 5720086627 26 1985362 0019972218 8920096627 00 1986382 0019982199 3820107182 53 1987421 0019992840 1020119104 00 1988504 0020002941 8020128864 85 1989557 0020012981 78201310013 03 1990659 0020023048 55201411547 00 1991685 7120033208 84201512736 00 对 36 年农村居民收入建立 B J 模型 并预测 2016 年的收入情况 4 2 时序分析时序分析 Step1 将数据输入到 SPSS19 0 中 并定义变量的精度为小数点后两位 Step2 定义日期 数据 定义日期 输入 1980 因为本次数据没有季节性 所以只需要选择年份为 1980 年 如下图 Step3 绘制其时序图 观察其是否平稳 分析 预测 序列图 此时可以看出该曲线有明显上升趋势 为非平稳序列 需要进行差分平稳 化 同时 也可以绘制自相关图形 操作 分析 预测 自相关 来观察 其趋势 如下图 由上面自相关系数图可知 随着延迟数目的增加 系数并没有显著的趋近随着延迟数目的增加 系数并没有显著的趋近 于于0 且许多数值较大的系数落在了置信区间之外 且许多数值较大的系数落在了置信区间之外 说明该时间序列并非平稳非平稳 的 4 3 差分平稳化差分平稳化 对时间序列进行差分平稳 并绘制相关系数图和偏自相关系数图如下 操作为 分析 预测 自相关 勾选 1 阶差分 从右侧图形可以看出 在滞后期 k 3 之后 自相关函数衰减 并且均在置 信区间范围之内 因此可以认为该序列平稳了 再观察变换后的序列的偏自相关函数图 如下图 其中 0 437 较大 其他并没有明显趋于 0 可以认为在 K 3 后拖尾 而 33 自相关函数可以看做是 K 3 后截尾 也可以看做为拖尾 自拖 偏拖 ARIMA模型 自截 偏拖 MA模型 因此 经过一阶差分变换后的农村 居民收入所选定的模型为或 分别对两个模型进行 3 1 3 ARIMA 0 1 3 ARIMA 拟合和预测 比较其精度 4 4 建立建立 ARIMA 模型模型 4 4 1 ARIMA 3 1 3 模型 模型 Step1 菜单栏 分析 菜单栏 分析 预测预测 创建模型创建模型 在变量栏中 将农村居民收入移入因变量框中 方法选择 ARIMA 模型 点 击右侧 条件 输入自回归 差分和移动平均数的值 Step2 确定输出的统计量和相关信息 确定输出的统计量和相关信息 其中拟合值和置信区间可备选 根据需要选择 如果需要预测下一年的数据值 必须要在变量栏中的时间变量下再加入一 个年份值 否则不会显示预测值 如下图 模型结果分析模型结果分析 可以看到模型的 R 平方为 0 990 平稳的 R 方为 0 493 说明模型的拟合效 果较好 预测值为 13387