第5届全国中学生物理竞赛预赛试题

第五届全国物理竞赛预赛第五届全国物理竞赛预赛 第一试第一试 试题试题 一 在月球上能看到地球的地方 以月球为参照系时 1 地球有无绕月球的公转 答 若有公转 周期大约是多少 答 2 地球有无自转 答 若有自转 周期大约是多少 答 3 在月球上观察 地球有无圆缺变化 答 若有圆缺变化 周期大约是多少 答 二 把本题中所有正确说法前的字母填写在题后的括号后内 有三个点电荷甲 乙 丙 甲带电 Q 乙带电 q 且 Q q 每一个电荷受其他两个电荷的电场 作用力的合力都为零 则 A 丙的位置一定在甲和乙的连线的延长线上 且距乙较近 B 丙一定是正电荷 C 丙所带的电量一定大于 q D 丙所带的电量一定小于 Q E 若将甲 丙固定 且限定乙只能在与甲连线方向上运动 则乙是不稳定平衡 F 若将甲 乙固定 且限定丙只能在与甲连线方向上运动 则丙是不稳定平衡 答案 三 用单色光作如图 5 1 所示的双缝 干涉实验时 位置的调节很难作的完全精 确 1 如果光源前狭缝 S 看作线光源 的位置向中线 OO 的一侧偏离了一个小 距离 则与调节精确时相比 观察屏 E 上 条纹间距 回答变大 变小 或不变 2 如果观察屏 E 垂直于图面 与它的正确位置成一个小角度 则与调节精确时相比 屏上条纹间距 回答变大 变小或不变 四 220V 100W 的白炽灯泡 A 和 220V 60W 的白炽灯泡 B 的伏安特性如图 5 2 所示 1 若将二灯泡并联接在 110V 的电源上 时 二灯泡实际消耗的电功率分别为 PA PB 2 若将二灯泡串联接在 220V 的电源上 时 二灯泡实际消耗的电功率分别为 PA PB A B 050100150200电压 V 电流 A 0 10 0 20 0 30 0 40 0 50 图 5 2 OS S1 S2 O E 图 5 1 五 图 5 3 中所示是一潜望镜壳体的侧视图 MN 为光线的入口 在上方 AB 处已放置一块与纸面垂直的平面镜 它和与纸面垂直的竖 直面之间的夹角为 45 眼睛在观察孔 S 处观察 在 CD 与竖直面 的夹角也是 45 处放置一块平面镜 今要使观察到的视场不受 CD 处的平面镜的限制 则平面镜 CD 至少要多大的线度才行 要求直接 在图上用作图法画出即可 但要说明作图的步骤 作图步骤 六 给你一把杆秤 带有它自己的秤砣 一个玻璃瓶 瓶的质 量比秤砣的质量小 一些细沙 一根细绳 要求只用这些器材测出 上述杆秤的秤砣的质量 试简要写出测量步骤 七 已知太阳光从太阳射到地球需要 3 分 20 秒 地球公转轨道可近似看成圆轨道 地球半 径约为 6 4 106米 试估算太阳质量 M 与地球质量 m 之比 M m 为多少 取 1 位有效数字即 可 八 一无限长均匀带电细线弯成如图 5 4 所示的平面图形 其中是半径为 R 的半圆弧 AB AA 平行于 BB 试求圆心处的电场强度 九 在水平放置的洁净的玻璃板上一些水银 由于重力与表面张力的影响 水银近似呈圆 饼形状 侧面向外突出 过圆饼轴线的竖直截面如图 5 5 所示 为了计算方便 水银和玻璃的 接触角可按 180 计算 已知水银的密度 水银的表面张力系数 33 10 6 13mkg 当圆饼的半径很大时 试估算其厚度 h 的数值大约是多少 取 1 位有效数mN 49 0 字即可 M N A B C D 图 5 3 A B O R A B 图 5 4 h 图 5 5 十 一个密闭容器内盛有水 未满 处于平衡状态 已知水在 14 时的饱和蒸气压为 12 0mmHg 柱高 设水蒸气分子碰到水面时都变成水 气体分子的平均速率与气体的热力学温度 的平方根成正比 试近似计算在 100 和 14 时 单位时间内通过单位面积水面的蒸发变成水 蒸气分子数之比 n100 n14等于多少 取一位有效数字即可 十一 欲测电阻 R 的阻值 现有几个标准电阻 一个电池和一只未经标定的电流计 联成如图 5 6 所示的电路 第一次与电流计并联的电阻 r 为 50 00 电流计示度为 3 9 格 第二次 r 改用 100 00 电流计示度为 5 2 格 第三次 r 改用 10 00 同时将待测电阻 R 换成一个 20 00k 的标准电阻 结果电流计的示度为 7 8 格 已知电流计的示度与所通过的电流成正比 求电阻 R 的阻值 十二 想用两个薄凸透镜 最后在物体所在处形成一个与物体大小相等的倒立的虚象 已 知靠近物体的那个透镜的焦距为 f1 物体与此透镜的距离为 u1 试求第二个透镜的焦距为 f2 及 它与第一个透镜间的距离 L 十三 1979 年 七颗人造卫星同时接收到来自远方的中子星发射的 射线 经分析确认 这些 光子是由电子 正电子湮没时放出的 即 其中 n 表示光子的数目 已知 nee 电子 正电子的静止质量 静止质量为 m0的粒子 其能量 E 和动量 P 满 214 0 102 8cJm 足 式中 c 表示光速 普朗克恒量 4 2 0 222 cmPcE sJh 34 1063 6 1 试证明 1 n 2 若电子 正电子的动量为零 n 2 求 光子的频率 十四 倔强系数为 k 的水平轻质弹簧 左端固定 右端系一质量为 m 的物体 物体可在有 摩擦的水平桌面上滑动 如图 5 7 弹簧为原长时物体位于 O 点 现在把物体沿弹簧长度方向 向右拉到距离 O 点为 A0的 P 点按住 放手后弹簧把物体拉动 设物体在第二次经过 O 点前 在 O 点左方停住 计算中可以 A R r 图 5 6 O P m 图 5 7 认为滑动摩擦系数与静摩擦系数相等 1 讨论物体与桌面间的摩擦系数 的大小应在什么范围内 2 求出物体停住点离 O 点的距离的最大值 并回答 这是不是物体在运动过程中所能达到的左方最远值 为什么 十五 有一质量及线度足够大的水平板 它绕垂直于水平板的竖直轴以匀角速度 旋转 在板的上方 h 处有一群相同的小球 可视为质点 它们以板的转轴为中心 R 为半径均匀的在 水平面内排成一个圆周 以单位长度内小球的个数表示其数线密度 现让这些小球同时从静止 状态开始自由落下 设每个球与平板发生碰撞的时间非常短 而且碰撞前后小球在竖直方向上 速度的大小不变 仅是方向反向 而在水平方向上则会发生滑动摩擦 摩擦系数为 1 试求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比值 1 2 如果 g 为重力加速度 且 试求这群小球第三次和第一次 2 gR 2 1 1 与平板碰撞时的小球数线密度之比值 2 第五届全国物理竞赛预赛第五届全国物理竞赛预赛 第一试第一试 参考解答参考解答 一一 1 无无 2 有有 24 小时小时 3 有有 一个月一个月 二二 A A B B C C E E F F 三三 1 1 不变不变 2 2 增大增大 四四 1 1 40 W 24 W 2 2 14 W 41 W 五 先作出 MN 在 AB 镜中的虚象 M N 再作出眼睛 在 CD 处镜中的虚象 S 将 S 与 M N 相连 与 CD 面 相交于 C D 处 C D 即为所求的结果 图 5 8 六 首先用细绳将玻璃瓶系住 挂在秤杆上零刻度处 然后向玻璃瓶内放一些细沙 增减瓶内细沙的质量 使秤杆 在水平位置达到平衡 最后以此充沙的玻璃瓶当作秤砣 将原来待测的秤砣放在秤钩上 用此杆秤称出秤砣的质量 即为所求 或用此杆秤称出充沙的玻璃瓶的质量 它就是原来待 测秤砣的质量 七 以 R 表示地球到太阳的距离 表示地球公转的角速度 由万有引力定律和牛顿运动 定律可知 1 2 2 mR R Mm G 以 r 表示地球半径 则地面处质量为 m 的物体所受地球的引力为 2 gm r mm G 2 由以上两式可得 3 gr R m M 2 23 而 4 105 1500103 118 mtcR 5 606024365 2 1 s 将 4 5 两式及 m s2代人 3 式 可得 mr 6 104 6 8 9 g 图 5 8 5 103 m M 八 设细线单位长度带正电荷 在半圆弧 AB 上任取小段孤 ab 可看作点电 R 荷 它在圆心 0 点处产生的电场强度的大小是 2 R k R R kE 方向如图 5 9 所示 延长 ao b0 分别交细线的直线部分于 a a b b 把 a b 也看作点电荷 带电 a b 距圆心 O 的距离用 r 表示 越小 以上考虑越准确 作 a a a 垂直于 ab 因而 但 OBbbaa sec aaba Rraa raa 故 2 Rrba 点电荷 a b 在 0 点产生的电场强度的大小是 E R k r ba kE 2 方向与 E 相反 因此 ab 弧与 a b 在 O 点产生 的场强之和为零 根据同样的分析可知 AB 弧 上各小段电荷与细线直线部分各小段电荷一一对应 地在 0 点产生的场强相消 故细线电荷在 0 点的电场强度为零 九 如图 5 10 所示 在圆饼的侧面处取宽度为 x 高为 h 的面积元 S 由于重力而产 生的水银对 S 的侧压力为 1 xghxhghspF 2 2 1 2 1 式中为水银对侧面的平均压强 由于 2 1 ghp 压力 F 使圆饼侧面向外凸出 因而使侧面的面积 增大 如图 但是 在水银与空气接触的表面层中 由于表面张力的作用使水银表面有收缩到尽可能小的趋势 上下两层的表面张力的合力的水平分力 F 是指向水银内部的 其方向与 F 的方向相反 设上表面处的表面张力 F 的方向与 水平方向成 角 则 F 的大小为 2 cos1 coscos 21 xxxFFF 当水银的形状稳定时 F F 由于圆饼半径很大 S 两侧的表面张力 F3 F4可认为方向相反 而抵消 因而 3 2 1 cos1 2 xghx 图 5 9 图 5 10 由 3 式解出 4 g h cos1 2 由于 的实际数值一定大于 0 小于 所以 2 2cos11 将 和 的数值代入 4 式 得到 5 cos10027 0 8 910 6 13 cos1 49 0 2 3 mh h 的取值范围是 33 107 24 1107 2 h 所以水银层的厚度的估算数值可取为 3 10 3或 4 10 3 3米 十 因为处于平衡态 水面上的蒸汽是饱和汽 所以单位时间内由水变为水蒸汽的分子数等于 由水蒸汽变为水的分子数 设用 n 表示单位时间内碰到水面单位面积上的水蒸汽分子数 n0表 示单位体积内的水蒸汽分子数 v 表示其平均速率 则有 1 vnn 0 由于我们只要求取一位有效数字 所以水蒸汽在平衡态时各参量之间的关系可以近似地用 理想气体状态方程来处理 因此 在热力学温度为 T 和 T 时 分别有 和 RTPNn 0 0 RTNPn 式中 N 为阿伏伽德罗常数 R 为摩尔气体恒量 可见 2 TPn 0 将 2 式和题中已知的 代入 1 式中可得 3 Tv TPn 因而 4 287 373 14100 14 100 PP n n 因为 P100 1 大气压 760 毫米汞高 且已知 P14 12 0 毫米汞高 代入 4 式可得 5 56 37312 287760 14 001 n n 十一 本题电流计读数只有两位有效数字 所以标准电阻的四位有效数字并无意义 答案 只有两位有效数字可靠 又因本题已知数据不足 故须进行近似计算 由第三次测量结果可知 当 R 用 20 千欧的电阻代替 而且 r 的电阻减小时 流过电流表的 电流明显增大 可见 R 的阻值一定比 20 千欧还要明显的大 因此电源内阻完全可以忽略不计 用 E 表示电源电动势 R0表示电流表的内阻 i0表示电流表偏转 l 格的电流 当用欧姆定律求 三次测量通过电流表的电流时 可得以下三式 0 9 3 1 50 50 50 50 I RR R R R R E gg g g g 0 2 5 1 100 100 100 100 I RR R R R R E gg g g g 0 8 7 1 10 10 20000 10 10 I RR R R R E gg g g g 同样因为 R 比 20000 欧还明显的大 而三次的 r 值以及电流表内阻 Rg都远小于 20000 欧 所以 上列三式可近似地变为 1 1 2 2 3 3 0 9 3 50 50 I RR E g 0 2 5 100 100 I RR E g 0 8 7 10 10 20000 I R E g 由 1 2 两式可解得 4 50 g R 将 4 式代入 2 3 式中消去 E 和 I0 可得 5 120 kR 十二 根据凸透镜成象的规律 如果第一次成象为虚像 此虚像必为放大正立虚像 位于 物体之后 它就是第二透镜之物 如再成虚像 必为进一步放大的正立虚像 这与题设不 符 如果第一次成象为放大的实像 则经过第二透镜所成同侧虚像必为进一步放大的虚像 不 可能与物体大小相等 亦与题设不符 所以第一次成象必为缩小的实像 如图 5 一 11 所示 由透镜成像的规律可知 1 11 11 1 fu uf v 2 l l fu f u v PQ QP 1 1 1 要使最后在 PQ 所在处形成与物等大的虚像 P Q 与第二透镜的距离应小于第二透镜的焦距 f2 且两透镜间的距离 L 与 u1 f2应满足下列两个条件 3 1 1111 11 11 11 1 11 1 ufLfu Luf fu uf L Lu fu f 图 5 11 4 Lu fu uf L f l 111 11 11 2 由 3 式可求得 5 11 11 2 2 fu uf L 将 5 式代人 4 式 可求得 6 1 2 11 1 2 2 f fu u f 十三 1 1 假设电子 正电子湮没时只产生一个光子 即 n 1 设正电子和电子的动量 分别为 P 和 P 湮没过程如图 5 12 所示 根据动量守恒定律有 1 0coscos 21 pp 2 chpp sinsin 21 根据能量守恒定律有 3 hcmcpcmcp 42 0 2242 0 22 由 2 3 两式可得 4 22 0 222 0 2 21 sinsincmpcmpPP 将 1 式和 4 式各自平方后相加并化简得 cos 2 21 p p 22 0 222 0 222 0 22cmpcmpcm 显然 这要求 设 2 21 2 21 则有 mSpp 2 22 0 222 0 222 0 22cmpcmpcm 此式右方显然大于 2P P 因而要求这是不可能的 所以 n 不能等于 l 产生的光子不1sin 能只是一个 2 由题设 P P 0 它们的总动量为零 因而产生的两个光子的动量必然是等值反向 从而使总动量为零 它们的能量也相同 根据能量守恒定律有 hvhcmcm 2 0 2 0 1024 1 106 6 102 8 20 34 142 0 Hz h cm 图 5 12 十四 1 物体在弹簧力与摩擦力作用下 在距离 0 点为 l 处停住不动的条件是 I 物体速度为零 弹性势能的减少等于物体克服滑动摩擦力所作的功 弹簧力 最大静摩擦力 据此对物体运动作如下分析 1 物体向左运动并正好停在 0 点的条件是 解得 1 0 2 0 2 1 mgAkA mgkA2 0 物体将滑过 0 点 设物体滑至 0 点左边mgkA2 2 0 如果 B 处 设 OB L1 时速度为零 如图 5 13 所示 则有 即 2 2 1 2 1 10 2 1 2 0 LAmgkLkA mgLAk 2 1 10 若物体能停住 则 故 应满足条件mgkL 1 3 mgkA3 0 3 3 如果 2 式能满足 但则物体不会停住在 B 处而要向右运动 值越小则往mgkA3 0 右滑动的距离越远 设物体正好停在 O 处 则有 4 1 2 1 2 1 mgLkL 由 2 4 两式可求得 gmkA 4 0 要求物体停住在 O 点左方 则相应地要求 5 mgkA4 0 综合以上分析结果 物体停住在 O 点左方而不第二次经过 O 点时 的数值的范围为 6 mgkAmgkA2 4 00 2 当 在 范围内时 物体向左滑动直至停住而不返回 由 2 mgkAmgkA2 3 00 式可求出最远停住点 设为 B1点 到 0 点的距离为 7 kmgAL 2 0 3 3 2 000 AmekAkmgA 当时 物体在 B1点 OB1 A0 3 的速度大于零 因此物体将继续向左运动 但它不mgkA3 0 可能停在 B1点的左方 因为与 B1点相应的 kA0 3mg L1 A0 3 如果停留在 B1点左方 则 物体在 B1点的弹力大于 KA0 3 而摩擦力 mg 小于 kA0 3 弹力大于摩擦力 所以物体不可 能停住而一定返回 最后停留在 0 和 B1之间 所以无论 值如何 物体停住点与 0 点的最大距离为 A0 3 但这不是物体在运动过程中 所能达到的左方最远值 图 5 13 十五 1 设小球总数为 N 第一次碰撞时小球数线密度为 N 2R 在这些小球中任取 一个 它与平板相碰前垂直向下的速率为 设碰撞过程历时 t 平均法向作用力ghv2 0 为 根据题设 碰撞后小球垂直向上的速度大小仍为 v0 据动量定理有 式中N 0 2mvtN m 为小球质量 小球与平板刚接触时尚无水平方向速度 而平板被碰点有切向速度 大小为 这样便会因相对滑动而使小球受到沿相对速度 u1方向的滑动摩擦力 f N 由于 N 很Ru 1 大 对小球作用的结果是使得小球在 t 内获得水平沿 u1方向的速度 其大小记为 vl 显然 v1 u1 因为一旦 v1达到 u1值 相对运动不再存在 滑动摩擦力也随之而消失 下面分两种情 况讨论 1 在 t 末尾时刻 v1仍小于 u1 即小球与平板被碰点之间的相对速度未能达到零值 那么 应有 式中为 t 时间内 f 的平均值 结合 以及Nf 1 mvtf f 0 2mvtN 可得 1 ghv2 0 ghvv222 01 1 式只有在 时才成立 Rgh 22 2 在 t 末尾或更早一些时刻 v1已达 u1值 即小球与平板被碰点已相对静止 则 f 不管取何值 碰撞后恒有 2 N fRuv 11 既然 所能提供的 v1自然不能超过在 时所能提供的值 因此 2 fN ffN gh22 式只能在的情况下发生 Rgh 22 第一次碰撞后小球以 v0为垂直方向速度 v1为水平方向速度作斜抛运动 很容易算得水平射程 为 当 时 3 8 h R