二次根式及一元二次方程复习及练习

1 15 二次根式小结与复习基础盘点二次根式小结与复习基础盘点 1 二次根式的定义 一般地 我们把形如 0 的式子叫做二次根式 aa 称为二次根式 定义诠释定义诠释 1 二次根式的定义是以形式界定的 如是二次根式 4 2 形如 0 的式子也叫做二次根式 aba 3 二次根式中的被开方数 可以是数 也可以是单项式 多项式 aa 分式 但必须满足 0 a 2 二次根式的基本性质 1 0 0 2 0 3 aa 2 aa aa 2 0 0 a a 4 0 0 5 ab ab 0 0 a b ab 3 最简二次根式必须满足的条件为 1 被开方数中不含 2 被开方数 中所有因式的幂的指数都 4 二次根式的乘 除法则 1 乘法法则 0 0 2 除法法则 abab 0 0 a b ab 复习提示复习提示 1 进行乘法运算时 若结果是一个完全平方数 则应利用 进行化简 即将根号内能够开的尽方的数移到根号外 aa2 0 0 aa aa 2 进行除法运算时 若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数 应 运用积的算术平方根的性质将其进行化简 5 同类二次根式 几个二次根式化成 后 如果 相同 这几个二次根 式就叫做同类二次根式 6 二次根式的加减法则 二次根式加减时 可以先将二次根式化成 然后 把 进行合并 复习提示复习提示 1 二次根式的加减分为两个步骤 第一步是 第二步是 在合并时 只需将根号外的因式进行加减 被开方数和根指数不变 2 15 2 不是同类二次根式的不能合并 如 53 8 3 在求含二次根式的代数式的值时 常用整体思想来计算 7 二次根式的混合运算 1 二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致 也是先 再 最后 有括号的先 内的 复习提示复习提示 1 在运算过程中 有理数 式 中的运算律 在二次根式中仍然 适用 有理数 式 中的乘法公式在二次根式中仍然适用 2 二次根式的运算结果可能是有理式 也可能是二次根式 若是二次根 式 一定要化成最简二次根式 8 二次根式的实际应用 利用二次根式的运算解决实际问题 主要从实际问题中列出算式 然后根 据运算的性质进行计算 注意最后的结果有时需要取近似值 1 1 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件 例例 1 1 若式子在实数范围内有意义 则 的取值范围是 43 xx A B C D x 3 4 x 3 4 x 4 3 x 4 3 方法总结方法总结 判断含有字母的二次根式是否有意义 就是看根号内的被开方数是 不是非负数 如果是 就有意义 否则就没有意义 当二次根式含有分母时 分母不能为 0 2 2 二次根式的性质二次根式的性质 例例 2 2 下列各式中 正确的是 A B C D 33 2 332 33 2 332 方法总结方法总结 成立的条件是 0 而在化简时 先要判断 的正负 aa 2 a 2 aa 情况 3 3 二次根式的非负性二次根式的非负性 例例 3 3 已知 则的值为 32552 xxyxy2 A 15 B 15 C D 2 15 2 15 方法总结方法总结 二次根式 0 具有双重非负性 即 0 0 aaaa 4 4 最简二次根式最简二次根式 例例 4 4 下列二次根式中 最简二次根式是 A B C D 5 1 5 0550 方法总结方法总结 在进行二次根式化简时 一些同学不知道化到什么程度为止 切记 一定要化到最简二次根式为止 5 5 二次根式的运算二次根式的运算 3 15 适用能因式分解 的方程 适用无一次项的 方程 例例 5 5 计算 1824 3 1 方法总结方法总结 二次根式的加减运算 一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式 可以合并 除法运算先化为乘法再运算 混合运算时要正确使用运算法则 6 6 二次根式的化简求值二次根式的化简求值 例例 6 6 若 则的值是 12014 2013 m 345 20132mmm 方法总结方法总结 解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用 一元二次方程一元二次方程 1 一元二次方程 一元二次方程 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程 例 1 1 下列方程中是一元二次方程是 A B C D 2 1 2x x 267x 22 5xy 2 3520 xx 2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式 2 0 0 axbxca 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 例 2 1 方程 x x 4 8x 12 的一般形式是 二次项是 一次项是 常数项是 2 关于x的一元二次方程是一元二次方程 则满足 22 120axx a A B C D 为任意实数1a 1a 1a 3 若方程是关于 x 的一元二次方程 则 013 2 mxxm m A B m 2 C m 2 D 2 m2 m 4 下列方程中 常数项为零的是 A x2 x 1 B 2x2 x 12 12 C 2 x2 1 3 x 1 D 2 x2 1 x 2 3 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法 1 因式分解法 移项 使方程右边为 0 因式分解 将方程左边因式分解 方法 一提 二套 三十字 四分组 由 A B 0 则 A 0 或 B 0 解两个一元一次方程 2 直接开平方法 0 2 aax axax 21 0 2 aabx 解两个一元一次方程 abx 4 15 a acbb x 2 4 2 3 配方法 移项 左边只留二次项和一次项 右边为常数项 移项要变号 同除 方程两边同除二次项系 每项都要除 配方 方程两边加上一次项系数一半的平方 开平方 注意别忘根号和正负 方程 解两个一元一次方程 4 公式法 将方程化为一般式 写出 a b c 求出 acb4 2 若 b2 4ac 0 则原方程无实数解 若 b2 4ac 0 则原方程有两个不相等的实数根 代入公式 求解 2 4 x 2 bbac a 若 b2 4ac 0 则原方程有两个相等的实数根 代入公式 求解 2 b x a 例 4 1 若关 X 的一元二次方程有实数根 则实数 k 的取值范036 1 2 xxk 围 A k 4 且 k 1 B k 4 且 k 1 C k 4 D k 4 2 已知一元二次方程已知一元二次方程 若 则0 2 cbxax0 cba 该方程一定有一个根为 A 0 B 1 C 1 D 2 3 关于x的一元二次方程x2 kx 1 0 的根的情况是 A 有两个不相等的同号实数根 B 有两个不相等的异号实数根 C 有两个相等的实数根 D 没有实数根 4 关于的一元二次方程的一个根是 0 则值为 x 22 110axxa a A B C 或 D 11 11 1 2 5 若关于 y 的一元二次方程 ky2 4y 3 3y 4 有实根 则 k 的取值范围是 A k B k 且 k 0 C k D k 且 k 0 7 4 7 4 7 4 7 4 例 5 1 利用因式分解法解下列方程 x 2 2 2x 3 2 3 1 33x xx 016585 2 xx 5 15 2 利用开平方法解下列方程 5 1 12 2 1 2 y 4 x 3 2 25 24 23 2 x 3 利用配方法解下列方程 01263 2 xx 2 5 220 xx 4 利用公式法解下列方程 3x 2 22x 24 0 2x x 3 x 3 3x2 5 2x 1 0 5 根与系数的关系 根与系数的关系 2 0 0 axbxca 12 b xx a 12 c xx a 例 5 1 已知x x 12 是方程xx 2 210 的两个根 则 11 12 xx 等于 2 已知一元二次方程的两根为 则 0132 2 xx 1 x 2 x 21 xx 3 已知 是方程的两实数根 则的值为 1 x 2 x 2 630 xx 21 12 xx xx 4 已知方程两根的平方和比两根的积大 21 求的值 22 2 2 40 xmxm m 03992 2 xx 6 15 6 一元二次方程的应用 要注意实际问题不能取负数 一元二次方程的应用 要注意实际问题不能取负数 1 二次三项式的因式分解 若一元二次方程的两个实数根为 x1 x2 则二次三项式 0 0 2 acbxax 在实数范围内可分解因式写成 0 2 acbxax 21 2 xxxxacbxax 当 0 二次三项式在实数范围内分解因式为 acb4 2 21 2 xxxxacbxax 当 0 二次三项式在实数范围内分解因式为 acb4 2 2 1 2 xxacbxax 当 0 二次三项式在实数范围内不能分解因式acb4 2 2 一元二次方程的实际应用 二 典型例题精讲与练习 1 填空题 1 写一个有两个不相等的实数根的一元二次方程 这个方程可以是 2 已知方程的一个根为 2 则 m 它的另一个根是0622 2 mxx 3 已知关于 x 的方程有两个不相等的实数根 则 k 的取0112 21 2 kxxk 值范围是 2 在实数范围内将下列二次三项式分解因式 1 2 352 2 xx 22 253yxyx 3 5 2 3 2 2 2 yxyx 3 已知关于 x 的一元二次方程没有实数根 试判断关于 x 的一元二次012 2 axx 方程根的情况 并说明理由 1 2 aaxx 7 15 4 已知关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根 求 k 的值02 2 2 2 kxkx 及这时方程的根 5 已知 m n 为实数 且 求及20 1 2222 nmnm 2 3 mn 2 nm 的值 2 nm 6 求证 不论 k 为何值 关于 x 的方程总有两个不相等的实数03 12 2 kxkx 根 7 一元二次方程有一个解为 0 求的值 011 22 mxxm12 m 8 一元二次方程的实际应用 例 6 1 某厂去年 3 月份的产值为 50 万元 5 月份上升到 72 万元 这两个月平均每月 增长的百分率是多少 若设平均每月增长的百分率是 则列出的方程是 x A B 72150 x 72150150 2 xx C D 722150 x 72150 2 x 2 原价元的某商品经过两次降价后 现售价元 如果每次降价的百分比都为ab 8 15 那么下列各式中正确的是 x bxaA 21 bxaB 2 1 axbC 21 axbD 2 1 3 某种电脑病毒传播非常快 如果一台电脑被感染 经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染 请你用学过的知识分析 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑 若病 毒得不到有效控制 3 轮感染后 被感染的电脑会不会超过 700 台 4 某种商品经过两次连续降价 每件售价由原来的 90 元降到了 40 元 求平均每 次降价率是多少 5 关山超市销售某种电视机 每台进货价为 2500 元 经过市场调查发现 当销售 价为 2900 元时 平均每天能售出 8 台电视机 而当销售价每降低 50 元时 平均每天就能 多售出 4 台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到 5000 元 每台电视机的定价应为多 少元 1 一种笔记本电脑 原来的售价是 15 000 元 经过连续两年的降价 今天每台售价为 12 150 元 每年降价的百分率相同 1 求每年降价的百分率是多少 2 如果吴云是在 去年购买这种笔记本电脑的 那么与今年的售价相比 她多付了多少元 9 15 6 某通讯公司每位员工都向本公司的其他员工发出了 1 条祝贺元旦的短信 已知全公司 共发出短信 870 条 求该公司员工的人数 7 如图 某单位需要建一个面积为 1 200 平方米飞矩形仓库 计划利用一段 50 米长的 旧墙 新墙只围三边 已知每建造 1 米新墙需要用 500 元 建造顶棚等其他费用为 1 万元 设当被利用的旧墙长度为 米时 仓库的总建设费用为万元 1 求关于的函数解析xyyx 式及其定义域 2 当建设费用为 6 万元时 求被利用的旧墙的长度是多少米 8 今年来由于受到国际石油市场的影响 汽油的价格不断上涨 请你根据下列两位的对话 帮助小明计算一下 2006 年 5 月份汽油每升的价格 2006 年 5 月份的汽油价格四 2005 年 5 月份汽油价格的 1 6 倍 用 150 元给汽车加的油量比 2005 年少 18 75 升 2006 年 5 元份的汽油每升价格是多少元呢 二次根式 一元二次方程的解法综合练习二次根式 一元二次方程的解法综合练习 一 选择题 1 下列各式一定是二次根式的是 A B C D 7 x2 22 yx 3 6 2 下列根式中属最简二次根式的是 10 15 A B C D 2 1a 1 5 827 3 下列计算正确的是 A B C D 532 2333 23222 224 4 下列计算 错误 的是 A B C D 1477 2 6052 3 9258aaa 22 2 1 5 下列方程为一元二次方程的是 A A B B 0 2 3 3 1 2 2 xx052 2 yx C C D D 12 22 xxx 07 1 4 2 x x 6 式子的取值范围是 1 2 x x A x 1 且 X 2 B x 1 且 x 2 C x 2 D x 1 7 方程的左边配成完全平方式后所得的方程为 2 650 xx A B C D 以上答案都不对 2 3 14x 2 3 14x 2 1 6 2 x 8 若是关于 x 的一元二次方程 则 0 1 2 cbxxa A a 0 B a 1 C a 1 D a 1 9 下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题 其中答对的是 A 若x2 4 则x 2 B 若3x2 6x 则x 2 C 的一个根是1 则k 20 2 kxx D 若分式 的值为零 则x 2或x 0 x xx2 10 关于 x 的一元二次方程的根的情况是 2 20 xx A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 无实数根 D 无法判断 11 一元二次方程有两个相等的实数根 则等于 0624 2 mxxm 11 15 A 2 B 3 C 4 D 5 12 某厂今年一月份的产量为 20 吨 第一季度的总产量共 85 吨 设平均每月增 长率是x 根据题意所列的方程为 A 20 x 2 85 B 20 1 x 85 C 20 1 x 2 85 D 20 20 1 x 20 1 x 2 85 13 摄影兴趣小组的学生 将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张 全 组共互赠了 182 张 若全组有 x 名学生 则根据题意列出的方程是 A x x 1 182 B x x 1 182 C 2x x 1 182 D x x 1 182 1 2 14 方程 x2 9x 18 0 的两个根是等腰三角形的底和腰 则这个三角形的周长 为 A 12 B 12 或 15C 15 D 不能确定 15 如图 一只蚂蚁从长 宽都是 4 高是 6 的长方体纸箱 的 A 点沿纸箱爬到 B 点 那么它所行的最短路线的长是 A 9 B 10 C D 24172 16 三角形的两边长分别是 3 和 6 第三边是方程的解 则这个 086 2 xx 三角形的周长是 A 11 B 13 C 11 或 13 D 11 和 13 17 若 则 82 2222 baba 22 ba A 2 B 4 C 4 或 2 D 4 或 2 二 填空题 1 计算 12 3 2 方程化为一般形式为 一次项系数是 2 213xx 3 如果最简二次根式与是同类根式 那么 a 124 aa 4 若 2 化简的正确结果是 xxx 3 2 2 A B 12 15 5 比较大小 填 或 3 2 2 3 6 方程的解是 方程的解是xx3 2 032 xx 7 在实数范围内分解因式 2 5x 8 已知是方程的一个根 则 1 x02 2 xaxa 9 已知方程x2 4x 3 0 的两根分别为x1 x2 则x1 x2 12 x x 10 若 x y 为实数 且 则的值为 x2y20 2010 x y 11 22 3 xxx 12 已知关于 x 的一元二次方程 1 2k x2 x 1 0 有实数根 则 k 的取 值范围是 13 观察分析下列数据 寻找规律 0 3 2 3 363152 那么第 10 个数据应是 14 把一元二次方程 3x2 2x 3 0 化成 3 x m 2 n 的形式是 若多项式 x2 ax 2a 3 是一个完全平方式 则 a 15 当 x 时 既是最简二次根式 被开方数又相同 153 2 xxx与 三 解答题 1 计算 1 2 1021 3 2 2 x x x x 1 2 4 69 3 2 13 15 3 2 3 2 2 4 32 2 331