高中数学抽象函数常见题型及解法教案

抽象函数常见题型及解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式 只给出了一些体现函数特征的 式子的一类函数 由于抽象函数表现形式的抽象性 使得这类问题是函数内容的 难点之一 其性质常常是隐而不漏 但一般情况下大多是以学过的常见函数为背 景 对函数性质通过代数表述给出 抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交 汇处设计 高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌 握情况 逻辑推理能力 抽象思维能力和数学后继学习的潜能 为了扩大读者的 视野 特就抽象函数常见题型及解法评析如下 函数的基本概念问题 1 抽象函数的定义域问题 1已知函数的定义域是 1 2 求的定义域 2 xf xf 解 由的定义域是 1 2 是指 1 x 2 所以 1 x 4 2 xf 2 即函数的定义域是 1 4 xf 评析 一般地 已知函数的定义域是 A 求的定义域问题 相当 fx xf 于已知中 x 的取值范围为 A 据此求的值域问题 fx x 2已知函数的定义域是 1 2 求函数的定义域 xf 3 log 2 1 xf 解 由的定义域是 1 2 意思是凡被作用的对象都在 1 2 中 xff 由此易得 1 log 3 x 2 3 x 1 x 2 1 2 1 2 2 1 1 4 11 函数的定义域是 1 3 log 2 1 xf 4 11 评析 这类问题的一般形式是 已知函数的定义域是 A 求函数 xf 的定义域 正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关 xf 键 一般地 若函数的定义域是 A 则 x 必须是 A 中的元素 而不能是 A 以 xf 外的元素 否则 无意义 因此 如果有意义 则必有 xA 所以 这 xf 0 xf 0 类问题实质上相当于已知的值域是 A 据此求 x 的取值范围 即由A x x 建立不等式 解出 x 的范围 例 2 和例 1 形式上正相反 2 抽象函数的值域问题 例 4 设函数 x 定义于实数集上 对于任意实数 x y x y x fff y 总成立 且存在 x x 使得 x x 求函数 x 的值域 f 1 2 f 1 f 2 f 解 令 x y 0 得 0 0 即有 0 0 或 0 1 ff 2 ff 若 0 0 则 x x 0 x 0 0 对任意 x R 均成立 这与fffff 存在实数 x x 使得 x x 成立矛盾 故 0 0 即 0 1 1 2 f 1 f 2 ff 由于 x y x y 对任意 x y R 均成立 因此 对任意 x R 有fff x 0 ff 2 x 2 x f 2 x f 2 x f 2 x 2 下面只需证明 对任意 x R 0 0 即可 f 设存在 x R 使得 x 0 则 0 x x x x 0 0 f 0 ff 00 f 0 f 0 这与 0 0 矛盾 因此 对任意 x R x 0 ff 所以 x 0 f 评析 在处理抽象函数的问题时 往往需要对某些变量进行适当的赋值 这 是一般向特殊转化的必要手段 3 抽象函数的解析式问题 例 5 设对满足 x 0 x 1 的所有实数 x 函数 x 满足 x fff x x1 1 x 求 x 的解析式 f 解 在 x 1 x 1 中以代换其中 x 得 ff x x1 x x1 f x x1 f 1 1 xx x 12 再在 1 中以 代换 x 得 x 1 1 x f 1 1 x f 1 2 x x 1 2 化简得 x f 1 2 1 23 x x xx 评析 如果把 x 和分别看作两个变量 怎样实现由两个变量向一个变量 x x1 的转化是解题关键 通常情况下 给某些变量适当赋值 使之在关系中 消失 进 而保留一个变量 是实现这种转化的重要策略 二 寻觅特殊函数模型问题 1 指数函数模型 例 6 设 定义于实数集 R 上 当 x 0 时 1 且对于任意实 xf xf 数 x y 有 x y 同时 1 2 解不等式 3x x 4 f xf yfff 2 联想 因为 a a a a 0 a 1 因而猜测它的模型函数为 yx xy xf a a 0 a 1 由 1 2 还可以猜想 2 x f xf x 思路分析 由 4 需解不等式化为 3x x 2 f 11 f 1 f 1 ff 2 这样 证明函数的 由 2 只证明单调递增 成了解题的突破 2 f xf xf x 口 解 由 x y x y 中取 x y 0 得 0 0 fffff 2 若 0 0 令 x 0 y 0 则 x 0 与 x 1 矛盾 0 0 ffff 即有 0 1 f 当 x 0 时 x 1 0 当 x 0 时 x 0 x 1 0 ff 而 x x 0 1 fff x 0 f 1 xf 又当 x 0 时 0 1 0 x R x 0 ff 设 x x 则 x x 0 x x 1 1 22 1 f 2 1 x x x x x x x x f 2 f 1 2 1 f 1 f 2 1 f 1 y x 在 R 上为增函数f 又 1 2 3x x 1 1 1 1 2 由 x 的单调ff 2 fffff 递增性质可得 3x x 2 解得 1 x 2 2 2 对数函数模型 例 7 已知函数满足 1 函数的值域是 1 1 在其 xff 2 1 定义域上单调递减 x y 对于任意正实数 x y 都成立 解不 f x f yf 等式 1 xf 1 1 1 x f 2 1 联想 因为 log x y log x log y 而 log 1 y log x 在其定义域 aaa 2 1 2 1 2 1 1 1 内为减函数 所以猜测它的模型函数为 log x 且的模型函 xf 2 1 1 xf 数为 1 xf 2 1 x 思路分析 由条件 知 的反函数存在且在定义域 1 1 上递减 xf 由 知 剩下的只需由的模型函数性质和运算法则去证明 1 1 f 2 1 1 xf 问题就能解决了 1 1 xf 2 1 xf 1 12 fxx 解 由已知条件 知 x 的反函数存在 且 1 又在定义域ff 1 2 1 1 1 上单调递减 设 y x y x 则有 x y x y 1 f 1 12 f 1 21 f 12 f 2 x x y y y y 即有 y y x x 12 f 1 f 2 f 1212 f 1 12 1 1 xf 2 1 xf 1 12 fxx 于是 原不等式等价于 x 0 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 x x x x f x xf 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x 故原不等式的解集为 0 解这类问题可以通过化抽象为具体的方法 即通过联想 分析 然后进行类 比猜测 经过带有非逻辑思维成份的推理 即可寻觅出它的函数模型 由这些函 数模型的性质 法则来探索此类问题的解题思路 3 幂函数模型 例 8 已知函数对任意实数 x y 都有 且 xf xyf xf yf 1 9 当 0 x 1 时 0 1 时 1 f 27 f xf 判断的奇偶性 xf 判断在 0 上的单调性 并给出证明 xf 若 a 0 且 求 a 的取值范围 1 af 3 9 联想 因为 x y 因而猜测它的模型函数为 由 9 n x n y n xf n x 27 f 还可以猜想 x xf 3 2 思路分析 由题设可知是幂函数 y x 的抽象函数 从而可猜想 xf 3 2 是偶函数 且在 0 上是增函数 xf 解 令 y 1 则 xf xf 1 f 1 即为偶函数 1 f xf xf xf 若 x 0 则 0 f x fxx fx fx fx 2 设 0 x x 则 0 1 12 2 1 x x 1 xf 2 2 1 x x x f 2 1 x x f 2 xf 当 x 0 时 0 且当 0 x 1 时 0 1 f x xf 0 1 故函数在 0 上是增函数 2 1 x x f 1 xf 2 xf xf 9 又 27 f 93 f 3 f 9 f 3 f 3 f 3 f 3 f 3 9 3 f 3 3 f 3 9 1 af 3 9 1 af 3 f a 0 a 1 3 0 函数在 0 上是增函数 a 1 3 即 a 2 又 a 0 故 0 a 2 三 研究函数的性质问题 1 抽象函数的单调性问题 例 9 设 x 定义于实数集上 当 x 0 时 x 1 且对于任意实数ff x y 有 x y x y 求证 x 在 R 上为增函数 ffff 证明 由 x y x y 中取 x y 0 得 0 ffff 0 2 f 若 0 0 令 x 0 y 0 则 x 0 与 x 1 矛盾 0 0 即ffff 有 0 1 f 当 x 0 时 x 1 0 当 x 0 时 x 0 x 1 0 ff 而 x x 0 1 x 0 ffff 1 xf 又当 x 0 时 0 1 0 x R x 0 ff 设 x x 则 x x 0 x x 1 1 22 1 f 2 1 x x x x x x x x f 2 f 1 2 1 f 1 f 2 1 f 1 y x 在 R 上为增函数 f 评析 一般地 抽象函数所满足的关系式 应看作给定的运算法则 而变量的 赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果 相关联 2 抽象函数的奇偶性问题 例 10 已知函数 x x R x 0 对任意不等于零实数 x x 都有f 1 2 x x x x 试判断函数 x 的奇偶性 f 12 f 1 f 2 f 解 取 x 1 x 1 得 1 1 1 1 0 1 2 ffff 又取 x x 1 得 1 1 1 1 0 1 2 ffff 再取 x x x 1 则有 x 1 x 即 x x 1 2 fffff x 为非零函数 x 为偶函数 ff 3 抽象函数的周期性问题 例 11 函数定义域为全体实数 对任意实数 a b 有 a b xff a b 2 a b 且存在 C 0 使得 0 求证 x 是周期函fff 2 Cff 数 联想 因为 cos a b cos a b 2cosacosb 且 cos 0 因而得出它的模 2 型函数为 y cosx 由 y cosx 的周期为 可猜想 2C 为的一个周期 2 xf 思路分析 要在证明 2C 为的一个周期 则只需证 而 xf 2 Cxf xf 由已知条件 0 和 a b a b 2 a b 知 必须选择好 a b 的 2 Cfffff 值 是得条件等式出现和 2 Cf xf 证明 令 a x b 代入 a b a b 2 a b 可得 2 C 2 C ffff x C x ff x 2C x C C x C x 即是以 2C 为周ffff xf 期的函数 评析 如果没有余弦函数作为模型 就很难想到 2C 就是所求函数的周期 解题思路是难找的 由此可见 寻求或构造恰当的模型函数 可以为思考与解题 定向 是处理开放型问题的一种重要策略 4 抽象函数的对称性问题 例 12 已知函数 y 满足 2002 求 xf xf xf 1 xf 的值 2002 1 xf 解 由已知 在等式 2b 中 a 0 b 2002 所以 函数 y xaf xaf 关于点 0 2002 对称 根据原函数与其反函数的关系 知函数 y xf 关于点 2002 0 对称 1 xf 0 1001 1 xf 0011 1 xf 将上式中的 x 用 x 1001 换 得 0 1 xf 2002 1 xf 评析 这是同一个函数图象关于点成中心对称问题 在解题中使用了下述命 题 即 设 a b 均为常数 函数 y 对一切实数 x 都满足 xf xaf xaf 2b 则函数 y 的图象关于点 a b 成中心对称图形 xf 四 抽象函数中的网络综合问题 例 13 定义在 R 上的函数满足 对任意实数 m n 总有 f x f mn 且当 x 0 时 0 1 f m f n f x 判断的单调性 f x 设 A x y B x y 1 aR 2 f x 2 f y 1 f 2 f axy 若 AB 试确定 a 的取值范围 解 在 中 令 m 1 n 0 得 因为 f mn f m f n 1 f 1 f 0 f 0 所以 1 1 f 0 f 在 中 令 m x n x f mn f m f n 当 x 0 时 0 1 f x 当 x 0 时 x 0 0 1 fx 而 x x 1 x 1 0 ff 0 ff 1 xf 又当 x 0 时 0 1 0 所以 综上可知 对于任意 x R 均有 x ff 0 设 x x 则 x x 0 0 x x 1 1 22 1 f 2 1 x x x x x x x x f 2 f 1 2 1 f 1 f 2 1 f 1