上海高中数学三角函数大题压轴题练习

三角函数大题压轴题练习 1 已知函数 cos 2 2sin sin 344 f xxxx 求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 f x 求函数在区间上的值域 f x 12 2 解 解 1 cos 2 2sin sin 344 f xxxx 13 cos2sin2 sincos sincos 22 xxxxxx 22 13 cos2sin2sincos 22 xxxx 13 cos2sin2cos2 22 xxx sin 2 6 x 2 T 2 周周 由2 6223 k xkkZxkZ 周 函数图象的对称轴方程为 3 xkkZ 2 5 2 12 2636 xx 因为在区间上单调递增 在区间上单调 sin 2 6 f xx 12 3 3 2 递减 所以 当时 取最大值 1 3 x f x 又 当时 取最小值 31 12222 ff 12 x f x 3 2 所以 函数 在区间上的值域为 f x 12 2 3 1 2 2 已知函数 的最小正周期为 2 sin3sinsin 2 f xxxx 0 求的值 求函数在区间上的取值范围 f x 2 0 3 解 1 cos23 sin2 22 x f xx 311 sin2cos2 222 xx 1 sin 2 62 x 因为函数的最小正周期为 且 f x 0 所以 解得 2 2 1 由 得 1 sin 2 62 f xx 因为 2 0 3 x 所以 7 2 666 x 所以 1 sin 21 26 x 因此 即的取值范围为 13 0sin 2 622 x f x 3 0 2 3 已知向量 m sinA cosA n m n 1 且 A 为锐角 3 1 求角 A 的大小 求函数的值域 cos24cossin f xxAx xR 解 由题意得 3sincos1 m nAA A 1 2sin 1 sin 662 AA 由 A 为锐角得 663 AA 由 知 1 cos 2 A 所以 22 13 cos22sin1 2sin2sin2 sin 22 f xxxxsx 因为 x R 所以 因此 当时 f x 有最大值 sin1 1x 1 sin 2 x 3 2 当时 有最小值 3 所以所求函数的值域是sin1x f x f x 3 3 2 4 已知函数 的最大值是 1 其图像经过点 sin 0 0 f xAxA x R 1 求的解析式 2 已知 且 1 3 2 M f x 0 2 3 5 f 求的值 12 13 f f 解析 1 依题意有 则 将点代入得1A sin f xx 1 3 2 M 而 故 1 sin 32 0 5 36 2 sin cos 2 f xxx 2 依题意有 而 312 cos cos 513 0 2 22 34125 sin1 sin1 551313 3124556 cos coscossinsin 51351365 f 5 已知函数 117 cos sin sin cos 112 t f tg xx fxx fx x t 将函数化简成 的形式 g xsin AxB 0A 0 0 2 求函数的值域 g x 解 本小题主要考查函数的定义域 值域和三角函数的性质等基本知识 考查三角恒等变换 代数式的化简变形和运算能力 满分 12 分 解 1 sin1 cos cossin 1 sin1 cos xx g xxx xx AA 22 22 1 sin 1 cos cossin cossin xx xx xx AA 1 sin1 cos cossin cossin xx xx xx AA 17 coscos sinsin 12 xxxxx 1 sin1 cos cossin cossin xx g xxx xx AA sincos2xx 2sin2 4 x 由得 17 12 x 周周 55 443 x 周 在上为减函数 在上为增函数 sint 53 42 35 23 又 当 5535 sinsin sinsin sin 34244 x 周周 17 2 x 即 2 1sin 222sin 23 424 xx 周周周周 故 g x 的值域为 22 3 6 本小题满分 12 分 在中 角所对应的边分别为 ABC A B C a b c2 3a tantan4 22 ABC 求及2sincossinBCA A B b c 解 由得tantan4 22 ABC cottan4 22 CC cossin 22 4 sincos 22 CC CC 1 4 sincos 22 CC 又 1 sin 2 C 0 C 5 66 CC 或 由得 2sincossinBCA 2sincossin BBBC 即 sin 0BC BC 6 BC 2 3 ABC 由正弦定理得 sinsinsin abc ABC 1 sin 2 2 32 sin3 2 B bca A 7 在中 内角对边的边长分别是 已知 ABC A B C a b c2 3 cC 若的面积等于 求 ABC 3 a b 若 求的面积 sinsin 2sin2CBAA ABC 说明 本小题主要考查三角形的边角关系 三角函数公式等基础知识 考查综合应用三角 函数有关知识的能力 满分 12 分 解析 由余弦定理及已知条件得 22 4abab 又因为的面积等于 所以 得 4 分ABC 3 1 sin3 2 abC 4ab 联立方程组解得 6 分 22 4 4 abab ab 2a 2b 由题意得 sin sin 4sincosBABAAA 即 8 分sincos2sincosBAAA 当时 cos0A 2 A 6 B 4 3 3 a 2 3 3 b 当时 得 由正弦定理得 cos0A sin2sinBA 2ba 联立方程组解得 22 4 2 abab ba 2 3 3 a 4 3 3 b 所以的面积 12 分ABC 12 3 sin 23 SabC 1 已知函数 sin sin cos 66 f xxxxa aR a 为常数 求函数的最小正周期 f x 若函数在 上的最大值与最小值之和为 求实数的值 f x 2 2 3a 解 2sin coscos 6 f xxxa 3sincosxxa 5 分2sin 6 xa 函数的最小正周期 7 分 f x2T 2 2 x 2 363 x 9 分 min 3 2 fxfa 11 分 max 2 3 fxfa 由题意 有 3 2 3aa 12 分31a 2 本小题 12 分 已知函数 2 1 4 2 3 0 2 3 cossincos2 2 ffxxbxaxf且 1 求的最小正周期 2 求的单调增区间 xf xf 解 1 由 得 3 分 2 1 4 2 3 0 f f 1 2 3 b a 6 分 3 2sin 2sin 2 1 2cos 2 3 2 3 cossincos3 2 xxxxxxxf 故最小正周期 T 2 由 2 2 3 2 2 2Zkkxk 得 1212 5 Zkkxk 故的单调增区间为 12 分 xf 12 12 5 Zkkk 3 已知 将的图象按向量平移后 xxaxxfcossin34cos4 2 xf 2 4 b 图象关于直线对称 12 x 求实数的值 并求取得最大值时的集合 a xfx 求的单调递增区间 xf 解 将的图象按向量平移22cos22sin32 xxaxf xf 2 4 b 后的解析式为 32 4 xfxgxax2cos322sin2 分 的图象关于直线对称 xg 12 x 有 即 解得 5 分 6 0 gg aa3332 1 a 则 62 6 2sin 422cos22sin32 xxxxf 分 当 即时 取得最大值 2 7 分 2 2 6 2 kx 3 kx xf 因此 取得最大值时的集合是 8 分 xfx 3 Zkkxx 由 解得 2 2 6 2 2 2 kxk 36 kxk 因此 的单调递增区间是 12 xf 3 6 kk Zk 分 4 已知向量 和 2 m sin cosn cos sin2 1 求的最大值 2 当 时 求的值 nm nm 5 28 cos 28 4 解 1 2 分 cossin2 cossinmn 2 2 cossin2 cossin mn 4 分 42 2 cossin 44cos 4 2 1 cos 4 2 1 4 9 44 5 4 cos max 2 6 分 nm 2 2 由已知 得 8 分 8 2 5 mn 7 cos 425 又 10 分 2 cos2cos 1 428 2 16 cos 2825 2 12 分 8 9 828 5 4 cos 285 5 已知 A B C 的坐标分别为 A 3 0 B 0 3 C sin cos 2 3 2 I 若求角的值 BCAC II 若的值 tan1 2sinsin2 1 2 求BCAC 5 解 1 3sin cos sin 3 cos BCAC cos610sin 3 cos 22 AC 22 cos sin3 106sinBC 由得 又 BCAC cossin 4 5 2 3 2 2 由 1 3 sinsincos 3 cos 1 得BCAC 3 2 cossin 又 cossin2 cos sin 1 cossin2sin2 tan1 2sinsin2 22 由 式两边平方得 9 4 cossin21 9 5 tan1 2sinsin2 9 5 cossin2 2 6 在 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 的对边 设 22222 4f xa xabxc 1 若 且 B C 求角 C 2 若 求角 C 的取值范围 1 0f 3 2 0f 6 解 1 由 f 1 0 得 a2 a2 b2 4c2 0 b 2c 1 分 又由正弦定理 得 b 2RsinB c 2RsinC 将其代入上式 得 sinB 2sinC 2 分 B C B C 将其代入上式 得 sin C 2sinC 3 分 3 3 3 sin cosC cos sinC 2sinC 整理得 4 分 3 3 CCcossin3 tanC 5 分 3 3 角 C 是三角形的内角 C 6 分 6 2 f 2 0 4a2 2a2 2b2 4c2 0 即 a2 b2 2c2 0 7 分 由余弦定理 得 cosC 8 分 ab cba 2 222 ab ba ba 2 2 22 22 cosC 当且仅当 a b 时取等号 10 分 ab ba 4 22 2 1 4 2 ab ab cosC 2 1 C 是锐角 又 余弦函数在 0 上递减 0 C 12 分 2 3 7 A B C 为 ABC 的三内角 且其对边分别为 a b c 若 cos sin m A 2 A 2 cos sin 且 1 求 A n A 2 A 2 m n 1 2 2 若 a 2 三角形面积 S 求 b c 的值 33 7 解 解 1 cos sin cos sin 且 m A 2 A 2 n A 2 A 2 m n 1 2 cos2 sin2 2 分 A 2 A 2 1 2 即 cosA 又 A 0 A 5 分 1 2 2 3 2 S ABC bc sinA b c sin bc 4 7 分 1 2 1 2 2 3 3 又由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos120 b2 c2 bc 10 分 16 b c 2 故b c 4 12 分 8 已知向量 sinB 1 cosB 且与向量 2 0 所成角为 其中 A B m n 3 C 是 ABC 的内角 1 求角 的大小 2 求 sinA sinC 的取值范围 本题满分 12 分 8 8 解 1 sinB 1 cosB 与向量 2 0 所成角为 m n 3 3 分 3 sin cos1 B B tan 6 分 3 3 2 32 03 2 CAB BB 即又 2 由 1 可得 3 sin cos 2 3 sin 2 1 3 sin sinsinsin AAAAACA 8 分 3 0 A 10 分 3 2 33 A sin A 1 sinA sinC 1 3 当且仅当 12 分1sinsin 6 CACA周 9 本题满分 12 分 在 ABC 中 已知 a b c a b c 3ab 且 2cosAsinB sinC 求证 ABC 为等边三角形 9 解 由已知得 即 22 3abcab 222 abcab 即 C 60 1 222 1 cos 22 abc C ab 又 C 180 A B sinC sin A B sinA cosB cosA sinB 由已知 sinC 2cosA sinB sinA cosB cosA sinB 0 即 sin A B 0 A B 为三角形内角 A B 180 180 A B 0 即 A B 2 由 1 2 可知 ABC 为等边三角形 10 12 分 已知中 边 AB BC 中点分别ABC CBCABABCACABAB 2 为 D E 1 判断的形状ABC 2 若 求0 AECDB2sin 10 解 1 由已知化简得CBCABCACABAB 即得 为直角三角形 6 分0 CBCAABC 2 设 A a 0 B 0 b 则 E 0 D 2 b 2 2 ba sinB 12 分0 42 22 ba AECD 3 3 22 ba a 3 22 2sin B 11 已知 ABC 内接于单位圆 且 1 tanA 1 tanB 2 1 求证 内角 C 为定值 2 求 ABC 面积的最大值 11 本题考查正切和角公式 正弦的和 差 角公式 三角形内角和定理 正弦定理 三 角函数最值等知识 1 证明 由 1 tanA 1 tanB 2tanA tanB 1 tanAtanB tan A B 1 3 A B 为 ABC 内角 A B 则 C 定值 6 4 4 3 2 解 已知 ABC 内接于单位圆 ABC 外接圆半径 R 1 由正弦定理得 8 2sin2 CRcAasin2 Bbsin2 则 ABC 面积 S Bacsin 2 1 BAsinsin2BB sin 4 sin 2 BBBsin sin cos BBB 2 sinsincos 10 2cos1 2 1 2sin 2 1 BB 2 1 4 2sin 2 2 B 0 B 4 4 3 4 2 4 B 故 当时 ABC 面积 S 的最大值为 12 8 B 2 12 12 设函数 f x m n 其中向量 m 2cosx 1 n cosx sin2x x R 3 1 求 f x 的最小正周期 2 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 f A 2 a b c 33 b c 求 b c 的长 12 1 f x 2cos x sin2x 1 2sin 2x f x 的最小正周期为 2 3 6 2 f A 2 即 1 2sin 2A 2 sin 2A 6 6 2 1 2A 2A 6 6 6 13 6 6 5 3 A 由 cosA 即 b c a 3bc 2 1 2 222 bc acb 22 bc 2 又 b c 3 b c 1 2 c b 13 已知 ABC 的面积为 1 tanB tanC 2 求