中考数学二轮复习 专题练习（下）几何问题—角的旋转 新人教版

2 2 旋转旋转 角角 1 如图 1 有一组平行线 正方形的四个顶点分别在 1234 llllaaa abcd1 l 2 l 上 过点且垂直于 于点 分别交 于点 4 l 3 l egd1 l e2 l 4 l fg 1efdg 2df 1 正方形的边长 ae abcd 2 如图 2 将绕点顺时针旋转得到 旋转角为 aeg aae d 点在直线上 以为边在左侧作菱 形 090 d 3 l ad e d ab c d 使点 分别在 上 b c 2 l 4 l 写出与的数量关系并给出证明 b ad 若 求菱形的边长 30 ab c d 解析 1 四边形是正方形 abcd90adc adcd 180adeadccdg 90adecde 90adeead cdeead 在和中 rt aedart dgca 90 adcd eadcdg aedcgd rt aedrt dgcaa 1aedg 22 adaeed 3edeffd 22 13 10ad 2 90b ad 证明 过点作于点 b 1 b hl h 由题意 1aeb h 四边形为菱形 ab c d adb a rt ad ert b ah aa ad eb ah 90ad ed ae 90b ahd ae 90b ad 90b ad 过点作于点 交于点 e 1 mnl m3 l n 1ae 30 1 2 me 15 3 22 e n 5 3 cos303 e n d e 22 2 21 3 adaed e 2 在中 平分交于 于 rt abca90acb bdabc acddeab e 以为中心旋转 对应边交直线于 对应边交直线于 cacb ac denb c ab m 1 如图 1 当逆时针旋转 且时 求 acb 1 tan 2 dbc 的数量关系 enbmdc 2 如图 2 当顺时针旋转 且 时 直接写出线段 acb 1 tan 3 dbc en 之间的数量关系 bmdc 3 如图 3 当顺时针旋转 且 时 设交于 acb 1 tan 2 dbc cmbdf 若 求的面积 6bc 45mcb efna 解析 1 90acbacb dcnbcm 又 90ndcmbca dncbmcaa 1 tan 2 dndc dbc bmbc 1 2 dnbm 平分 bdabc deab dcbc de dc endnde 1 2 enbmdc 2 1 3 enbmdc 理由如下 有旋转可得 又 dcnbcm 90mbcaadecdn dncbmcaa 1 tan 3 dncd dbc bmbc 1 3 dnbm 又 endneddc 1 3 enbmcd 3 作于 于 mgbc gfhde h 45mcb mgcg dedc 11 22 abd sab dead bc a ab dcad bc 1 tan 2 addc dbc abbc 2abad 设 则 ada 2aba 26aea 1 tan 2 dc dbc bc 6bc 3dedc 在中 rt adea 222 aedead 222 263aa 解得 舍去 1 3a 2 5a 5ad 264aea 易证 mbgadeaa bmbgmg addeae 534 bmbgmg 设 则 3bgm 5bmm 4mgmcg bc bgcg 346mm 6 7 m 30 7 bm 115 27 dnbm 1536 3 77 endedn deab fhde fhbea dfhdbedbc 1 tantan 2 dh dfhdbc fh 2fhdh bdbd dedc bebc 又 ebfcbf bfbf befbcfaa 45befmcb 45def 2ehfhdh 设 则 dhx 2ehfhx 23xx 1x 2fh 113636 2 2277 efn sen fh a 3 如图 1 梯形中 abcd adbca abadcd 120bad 将图 1 中的绕点按逆时针方向旋转角 60man man a 0120 边 分别交直线 于 两点 amanbccdef 1 当时 其他条件不变 如图 2 如图 3 所示 060 如图 2 判断线段 的数量关系 并直接写出结论 bedfef 如图 3 中的结论是否依然成立 若不成立 新结论是什么 2 当时 其他条件不变 直接图形中线段 的数量 60120 bedfef 关系 解析 1 be dfef 理由 如图 2 延长至 使 连接 fdgdgbe ag adbcaadbca 120adcbad 180dabb 60adg 60b adgb 在和中 aebaagda abad badg bedg aebagd sasaa aeag baedag 且 120baedafeaf 60man 60baedaf 60gaddaf 即 60gaf eafgaf 在和中 aefaagfa aeag eafgaf afaf aefagf sasaa efgf gfgddf gfbedf efbedf 的结论仍然成立 bedfef 理由 如图 3 延长至 使 连接 fdgdgbe ag adab abcd 120adcbad 180dabb 60adg 60b adgb 在和中 aebaagda abad badg bedg aebagd sasaa aeag baedag 且 120baedafeaf 60man 60baedaf 60gaddaf 即 60gaf eafgaf 在和中 aefaagfa aeag eafgaf afaf aefagf sasaa efgf gfgddf gfbedf efbedf 2 当时 60120 beefdf 理由 如图 4 延长至 使 连接 dfgdgbe ag adbca abcd 120adcbad bc 180dabb 60adg 60bc adgb 在和中 aebaagda abad badg bedg aebagd sasaa aeag baedag 作 交于 ahcda bch 60ahbc 60bah 60dah 60man dahman 22dahman 即 31 31baedag 60bahgaf eafgaf 在和中 aefaagfa aeag eafgaf afaf aefagf sasaa efgf gdgfdf gdefdf beefdf 4 如图 1 在中 为边上一点 连接 以 为 abcaabbc pabcppapc 邻边作 与相交于点 已知 apcdaacpde 090 abcaep 1 证明 eapepa 2 是否为矩形 apcda 3 如图 2 为中点 连接 将绕点顺时针旋转适当的角度 得 fbcfpaep e 到 点 分别是的两边与 延长线的交点 猜想线段 men mnmen bafp 与之间 的数量关系 emen 解析 1 证明 在和中 abcaaepa abcaep baceap acbape 在中 abcaabbc acbbac eapepa 2 答 是矩形 apcda 四边形是平行四边形 apcd 2acae 2pdpe 由 1 知 epaeap aepe acpd 是矩形 apcda 3 答 em en aepe 1 90 2 eapepa 11 18018090 0 9 22 eameap 由 2 知 是的中点 90cpb fbcfpfb fpbabc 11 9090 22 epnepaapnepafpb eamepn 绕点顺时针旋转适当的角度 得到 aep emen aepmen 即 aepaenmenaen meanep eamepnaa emen 5 如图 1 在中 为的平分线 abcaacab adbac abad 交的延长线于点 cead ade 1 求 acabde 2 如图 2 将绕点逆时针旋转 使得的一边落在上 在 bad abad abac 另一边旋转后得到的射线上截取 连接 若 adafac cf7ae 6cf 求点到的距离 eab 解析 1 延长交的延长线于点 ceabh 为的平分线 adbac haecae cead 90aehaec 又 aeae aehaecaa ahac hece ahabbh acabbh 取中点 连接 bcgge 则是的中位线 gecbha gebha 1 2 gebh egdabd 2acabge abad abdadb egdadbedg gede 2acabde 2 过作于 ccmaf m baddaccaf cmce 90cmacea amcaecaa 7amae 设 则 mfx 7acafx 22222 cmacamcfmf 解得 2 222 776xx 2x 9ac 22 974 2ce 过作于 于 eenac nepab p 11 22 aec sac enae ce a 974 2en 28 2 9 en baddac 28 2 9 epen 即点到的距离为 eab 28 2 9 6 已知四边形中 abcd abad bccd abbc 120abc 60mbn 绕点旋转 它的两边分别交 或它们的延长线 于 mbn baddcef 1 当绕点旋转到时 如图 1 线段有怎样 mbn baecf aecfef 的数量关系 2 当绕点旋转到时 在图 2 这种情况下 上述结论是否成立 mbn baecf 若成立 请给予证明 若不成立 线段 又有怎样的数量关系 请写出你 aecfef 的猜想 并给予证明 3 当绕点旋转到图 3 这种情况下 上述结论是否成立 若成立 请给予证 mbn b 明 若不成立 线段 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想 不需证 aecfef 明 解析 证明 1 和中 rt abeart cbfaabbc cfae tantancbfabe bfbe cbfabe 120abc 60mbn 是等边三角形 30cbf befa 2bfcf bfef 2efcfaecf 2 如图 2 将顺时针旋转 rt abea120 abbc 120abc 点与点重合 ac bgbe fgcgcfaecf 120abc 60mbn abecbg 60gbf 在和中 gbfaebfa 60 bgbe gbfebf bfbf gbfebf sasaa fgef efaecf 3 不成立 新结论为 efae cf 理由 如图 3 将顺时针旋转 rt abea120 abbc 120abc 点与点重合 acabecbg bgbe fgcgcfaecf 120abcabecbe 120cbgcbegbe 60mbn 60gbf 在和中 bfgabfea 60 bgbe gbfebf bfbf gbfebf sasaa fgef efaecf 7 已知 正方形中 绕点顺时针旋转 它的两边 abcd45man man a 分别交 或它们的延长线 于点 当绕点旋转到 cbdcmnman a 时 如图 1 易证 bmdn bmdnmn 1 当绕点旋转到时 如图 2 线段 和 man abmdn bmdn 之间有怎样的数量关系 mn 2 当绕点旋转到如图 3 的位置时 线段 和之间又有怎 man abmdnmn 样的数量关系 解析 1 成立 bmdnmn 证明 如图 把绕点顺时针旋转 adnaa90 得到 则可证得 三点共线 图形画正确 abeaebm 90904545eamnam 又 45nam 在与中 aemaanma aean eamnam amam aemanm sasaa memn mebebmdnbm dnbmmn 2 dn bmmn 在线段上截取 dn dqbm 在与中 adqa abma adab adqabm dqbm adqabm sasaa daqbam qanman 在和中 amna aqna aqam qanman anan amnaqn sasaa mnqn dnbmmn 8 1 如图 1 已知 平分 是上一点 120eof omeof aom 且与 分别相交于点 则的数量关系为 60bac ofoebcabac 2 如图 2 在如上的 1 中 当绕点逆时针旋转使得点落在的反 bac abof 向延长线上时 1 中的结论是否还成立 若成立 给出证明 若不成立 新结论是什么 3 如图 3 已知 求证 是等边三角 60aocbocbac abca 形 ocoaob 解析 1 证明 过作于 于 aagof gahoe h 则 90ahoago 120eof 60hagbac hagbahbacbah bagcah 平分 omeof agof ahoe agah 在和中 bagacaha agbahc agah bagcah bagcah asaaa abac 2 结论还成立 证明 过作于 于 aagof gahoe h 与 1 证法类似根据证 asabagcah asaaa 则 abac 3 证明 如图 18012060foa 6060120foc 即平分 omcof 由 2 知 acab 60cab 是等边三角形 abca 在上截取 连接 oconbo bn 60cob 是等边三角形 bona onob 60obn 是等边三角形 abca 60abcnbo 都减去得 abn abocbn 在和中 aobacnba bcab cbnoba bnob aobcnb sasaa ncoa oconcnoboa 即 ocoaob 9 如图 1 射线 在的内部 且 ocodaob 150aob 30cod 射线 分别平分 omonaod boc 1 求的大小 mon 2 如图 2 若 将绕点以每秒的速度逆时针旋 15aoc cod ocod x 转秒钟 此时 如图 3 所示 求的值 10 7 11aombon x 解析 1 由题意可知 150aob 30cod 分别平分 omonaod boc monmodnoccod 11 22 aodboccod 1 2 aodboccod 1 2 aobcodcod 11 22 aobcodcod 7515 60 即可得出 60mon 2 由题意 10510bodx 1510aocx 所以 13510bocx 4510aodx 又因为 且 分别平分 7 11aombon omonaod boc 所以 即 解之得 7 11aodboc 4510135107 11xx 2 5x 10 1 如图 1 圆内接中 为的半径 abcaabbcca odoeoa 于点 于点 则 阴影部分四边形的面积与 odbc foeac gofcg 的面积之比为 abca 2 如图 2 若保持角度不变 doe 120 求证 当绕着点旋转时 由两条半径和的两条边围成的图形 图中阴 doe oabca 影部分 面积与的面积之比为 abca 答案 1 3 1 3 解析 1 如图 1 连接 oaoc 是等边三角形 abca acbc 点是等边三角形的外心 oabc 1 2 cfcgac 90ofcogc 在和中 rt ofcart ogca cfcg ococ rt ofcrt ogcaa 同理 rt ogcrt ogaaa rt ofcrt ogcrt ogaaaa oacofcg ss a四边形 1 3 oacabc ss aa 即 1 3 abcofcg ss a四边形 1 3 abcofcg ss a四边形 2 证法一 连接 和