文科高中数学所有知识点(定稿)

精品文档 1欢迎下载 高中文科数学知识点高中文科数学知识点 必修必修 1 1 数学知识点数学知识点 集合 集合 1 1 集合的定义 一般地 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 也简称集 集合中的每个对象叫做 集合的定义 一般地 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 也简称集 集合中的每个对象叫做 这个集合中的元素这个集合中的元素 2 2 集合元素的特征 集合元素的特征 确定性确定性 互异性互异性 无序性无序性 3 3 集合的分类 集合的分类 有限集有限集 无限集无限集 空集 记作空集 记作 4 4 集合的表示法 集合的表示法 列举法列举法 描述法描述法 文氏图法文氏图法 特殊集合特殊集合 区间法区间法 常用数集及其记法 常用数集及其记法 自然数集 或非负整数集 记为自然数集 或非负整数集 记为 正整数集记为正整数集记为或或N N N 整数集记为整数集记为 实数集记为实数集记为 有理数集记为有理数集记为ZRQ 5 5 元素与集合的关系 元素与集合的关系 属于关系 用属于关系 用 表示 表示 不属于关系 用不属于关系 用 表示表示 6 6 集合间的关系 集合间的关系 包含 用包含 用 表示表示 真包含 用真包含 用 表示表示 相等相等 不相等不相等 7 7 集合的交 并 补 集合的交 并 补 交集的定义 由所有属于集合交集的定义 由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合 叫做且属于集合的元素组成的集合 叫做与与的交集 记作的交集 记作 AABBA 即即 BxAxxBA 且 并集的定义 由所有属于集合并集的定义 由所有属于集合或属于集合或属于集合的元素组成的集合 叫做的元素组成的集合 叫做与与的并集 记作的并集 记作 ABABBA 即即 BxAxxBA 或 8 8 全集与补集 对于一个集合 全集与补集 对于一个集合 由全集 由全集中不属于中不属于的所有元素组成的集合称为集合的所有元素组成的集合称为集合相对于集合相对于集合AUAA 的补集 记作的补集 记作 即 即UACU AxUxxACU 且 9 9 交集 并集 补集的运算 交集 并集 补集的运算 1 1 交换律 交换律 ABBAABBA 2 2 结合律结合律 CBACBACBACBA 3 3 分配律分配律 CABACBACABACBA 4 0 1 4 0 1 律 律 AAA UAA UAU 5 5 等幂律 等幂律 AAAAAA 6 6 求补律 求补律 AACCUCUCUACAACA UUUUUU 7 7 反演律 反演律 BCACBAC UUU BCACBAC UUU 1010 文氏图的应用 交集 并集 补集的文氏图表示 文氏图的应用 交集 并集 补集的文氏图表示 1111 重要的等价关系 重要的等价关系 BABBAABA 1212 一个由 一个由个元素组成的集合有个元素组成的集合有个不同的子集 其中有个不同的子集 其中有个非空子集 也有个非空子集 也有个真子集个真子集n n 212 n 12 n 函数 函数 1 1 映射 设 映射 设是两个集合是两个集合 如果按照某种对应法则如果按照某种对应法则 对于集合 对于集合中的任何一个元素中的任何一个元素 在集合 在集合BA fAa 中都有唯一的元素中都有唯一的元素和它对应和它对应 则这样的对应 包括集合则这样的对应 包括集合以及以及到到的对应法则的对应法则 BbBA ABf 叫做从集合叫做从集合到集合的映射 记作到集合的映射 记作 其中 其中叫做叫做的象 的象 叫做叫做的原象的原象ABAf baab 如果在这个映射下 对于集合如果在这个映射下 对于集合中的不同元素 在集合中有不同的象 而且中的不同元素 在集合中有不同的象 而且中的每一个元素中的每一个元素AB U CUA A AB A B A B 精品文档 2欢迎下载 都有原象 那么这个映射叫做都有原象 那么这个映射叫做到到上的一一映射上的一一映射AB 2 2 函数 设函数 设是两个非空数集 那么从是两个非空数集 那么从到到的映射的映射就叫做函数 记作就叫做函数 记作 其 其 BA ABBAf xfy 中中 叫做自变量叫做自变量 是是的函数值 自变量的取值集合的函数值 自变量的取值集合叫做函数的定义域 叫做函数的定义域 ByAx xyxA 函函 数值的集合数值的集合叫做函数的值域 值域叫做函数的值域 值域 函数三要素 定义域 值域 对应法则 函数三要素 定义域 值域 对应法则 两个函数相同 两个函数相同 CBC 定义域和对应关系都分别相同定义域和对应关系都分别相同 3 3 函数的表示方法 函数的表示方法 1 1 列表法 列表法 2 2 图象法 图象法 3 3 解析法 解析法 4 4 分段函数 分段函数 在自变量的不同取值范围内在自变量的不同取值范围内 其解析式不同其解析式不同 分段函数不是几个函数分段函数不是几个函数 是一个函数是一个函数 5 5 1 1 函数的定义域的常用求法 函数的定义域的常用求法 分式的分母不等于零分式的分母不等于零 偶次方根的被开方数大于等于零偶次方根的被开方数大于等于零 对数的真数大于零对数的真数大于零 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1 1 三角函数正切函数三角函数正切函数中中 余切函数 余切函数中中 tanyx 2 xkkZ cotyx Zkkx 如果函数是由实际意义确定的解析式 应依据自变量的实际意义确定其取值范围如果函数是由实际意义确定的解析式 应依据自变量的实际意义确定其取值范围 2 2 值域的求法 值域的求法 直接法直接法 分离常数法分离常数法 图象法图象法 换元法换元法 判别式法判别式法 不等式与对勾函不等式与对勾函 数数 6 6 求函数解析式的方法 求函数解析式的方法 直代直代 凑配法凑配法 换元法换元法 待定系数法待定系数法 列方程组法列方程组法 特殊值法特殊值法 7 7 增减函数的定义 对于函数 增减函数的定义 对于函数的定义域的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值内某个区间上的任意两个自变量的值 xfI 21 x x 若当若当时 都有时 都有 则说则说在这个区间上是增函数在这个区间上是增函数 21 xx 21 xfxf xf 若若当时 都有当时 都有 则说则说在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数 21 xx 21 xfxf xf 8 8 1 1 单调性的证明 讨论函数的增减性应先确定单调区间 单调性的证明 讨论函数的增减性应先确定单调区间 用定义证明函数的增减性用定义证明函数的增减性 有有 一设一设 二二 差差 三判断三判断 三个步骤三个步骤 2 2 函数单调性的常用结论 函数单调性的常用结论 若若均为某区间上的增 减 函数均为某区间上的增 减 函数 则则在这个区间上也为增 减 函在这个区间上也为增 减 函 f x g x f xg x 数数 若若为增 减 函数 则为增 减 函数 则为减 增 函数为减 增 函数 f x f x 若若与与的单调性相同 则的单调性相同 则是增函数 若是增函数 若与与的单调性不同 的单调性不同 f x g x yf g x f x g x 则则是减函数是减函数 即复合函数的单调性是即复合函数的单调性是 同增异减同增异减 yf g x 奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 9 9 1 1 奇 偶函数的定义 对于函数 奇 偶函数的定义 对于函数 xf 如果对于函数定义域内任意一个如果对于函数定义域内任意一个 都有 都有 那么函数 那么函数就叫做偶函数就叫做偶函数x xfxf xf 如果对于函数定义域内任意一个如果对于函数定义域内任意一个 都有 都有 那么函数那么函数就叫做奇函数就叫做奇函数x xfxf xf 注意 注意 函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称 是定义域上的恒等式是定义域上的恒等式 xfxfxfxf 或 若奇函数若奇函数在在处有意义 则处有意义 则 xf0 x0 0 f 奇函数的图像关于原点成中心对称图形 偶函数的图象关于奇函数的图像关于原点成中心对称图形 偶函数的图象关于轴成轴对称图形轴成轴对称图形 y 2 2 函数奇偶性的常用结论 函数奇偶性的常用结论 如果一个奇函数在如果一个奇函数在处有定义 则处有定义 则 如果一个函数 如果一个函数既是奇函数又是既是奇函数又是0 x 0 0f yf x 偶函数 则偶函数 则 反之不成立 反之不成立 0f x 两个奇 偶 函数之和 差 为奇 偶 函数 之积 商 为偶函数两个奇 偶 函数之和 差 为奇 偶 函数 之积 商 为偶函数 一个奇函数与一个偶函数的积 商 为奇函数一个奇函数与一个偶函数的积 商 为奇函数 两个函数两个函数和和复合而成的函数 只要其中有一个是偶函数 那么该复合复合而成的函数 只要其中有一个是偶函数 那么该复合 yf u ug x 函数就是偶函数 当两个函数都是奇函数时 该复合函数是奇函数函数就是偶函数 当两个函数都是奇函数时 该复合函数是奇函数 基本初等函数基本初等函数 精品文档 3欢迎下载 1 1 1 1 一般地 如果 一般地 如果 那么 那么叫做叫做的的次方根 其中次方根 其中axn xan Nnn 1 负数没有偶次方根负数没有偶次方根 0 0 的任何次方根都是的任何次方根都是 0 0 记作 记作00 n 当当是奇数时 是奇数时 当 当是偶数时 是偶数时 naa nn n 0 0 a a a a aa nn 我们规定 我们规定 1 1 2 2 mn m n aa 1 0 mNnma 0 1 n a a n n 2 2 对数的定义 设 对数的定义 设且且 对于数对于数 若能找到实数若能找到实数 使得使得 那么数那么数称为以称为以为为0 a1 a0 NbNab ba 底的底的的对数的对数 记作记作 其中其中叫做对数的底数叫做对数的底数 叫做真数叫做真数NNb a log aN 注 注 1 1 负数和零没有对数 因为 负数和零没有对数 因为 2 2 且且 0 b aN1log 01log a aa 0 a1 a 3 3 将 将代回代回得到一个常用公式得到一个常用公式 4 4 Nb a log Nab logaN aN xNNa a x log 3 3 幂函数的定义 一般地 我们把形如 幂函数的定义 一般地 我们把形如函数称为幂函数 其中函数称为幂函数 其中是自变量是自变量 是常数是常数 a xy x 2 2 1 1 Qsraaaa srsr 0 Qsraaa rs s r 0 Qrbabaab rr r 0 0 2 2 当 当时 时 0 0 1 0 NMaa NMMN aaa logloglog NM N M aaa logloglog MnM a n a loglog 换底公式 换底公式 利用换底公式推导下面的结论 利用换底公式推导下面的结论 a b b c c a log log log 0 1 0 1 0 bccaa 1 1 2 2 b m n b a n am loglog a b b a log 1 log 3 3 1 1 指数函数的定义 函数 指数函数的定义 函数叫做指数函数叫做指数函数 函数的定义域是实数集函数的定义域是实数集 1 0 aaay x R 2 2 对数函数的定义 一般把函数 对数函数的定义 一般把函数叫做对数函数叫做对数函数 它的自变量为它的自变量为 其定义其定义 10log aaxy a 且x 域是域是 底数 底数为常数为常数 0a 表表 1 1 指数函数指数函数 0 1 x yaaa 对数数函数对数数函数 log0 1 a yx aa 定义定义 域域 xR 0 x 值域值域 0 y yR 图象图象 过定点过定点 0 1 过定点过定点 1 0 减函数减函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数 精品文档 4欢迎下载 零点 二分法 零点 二分法 1 1 1 1 函数的零点 函数的零点 对于函数对于函数 我们把使 我们把使的实数叫做函数的实数叫做函数的零点的零点 xfy 0 xf xfy 方程方程有实根有实根函数函数的图象与的图象与轴有交点轴有交点函数函数有零点有零点0 xf xfy x xfy 如果函数如果函数在区间在区间上的图象是连续不断的一条曲线 并且上的图象是连续不断的一条曲线 并且 那 那0 xfy ba 0 bfaf 么函数么函数在区间在区间内有零点 即存在内有零点 即存在 使得 使得 这个 这个也就是方程也就是方程 xfy ba bac 0 cfc 的根的根0 xf 0 1 0 0 1 xy xy 时 时 0 0 1 0 1 xy xy 时 时 0 1 0 1 0 xy xy 时 时 0 1 0 1 0 xy xy 时 时 ab ab ab ab 表表 2 2幂函数幂函数 yxR p q 0 01 1 1 p q 为奇数 为奇数 奇函数奇函数 p q 为奇数 为偶数 p q 为偶数 为奇数 偶函数偶函数 第一象限性第一象限性 质质 减函数减函数增函数增函数过定点过定点01 精品文档 5欢迎下载 2 2 函数零点的求法 函数零点的求法 代数法 求方程 代数法 求方程的实数根的实数根0 xf 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数的图象联系起来 并利用函的图象联系起来 并利用函 xfy 数的性质找出零点数的性质找出零点 2 2 二分法 二分法 定义 对于在区间上连续不断且的函数 通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二 定义 对于在区间上连续不断且的函数 通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 高中数学必修高中数学必修 2 2 知识点知识点 立体几何初步立体几何初步 1 1 柱 锥 台 球的结构特征 柱 锥 台 球的结构特征 1 1 棱柱 定义 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 棱柱 定义 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面所围成的几何体由这些面所围成的几何体 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱 四棱柱 五棱柱等分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱 四棱柱 五棱柱等 表示 用各顶点字母表示 用各顶点字母 如五棱柱如五棱柱或用对角线的端点字母或用对角线的端点字母 如五棱柱如五棱柱 EDCBAABCDE AD 几何特征 两底面是对应边平行的全等多边形 侧面 对角面都是平行四边形 侧棱平行且相等 几何特征 两底面是对应边平行的全等多边形 侧面 对角面都是平行四边形 侧棱平行且相等 平行于底面的截面是与底面全等的多边形平行于底面的截面是与底面全等的多边形 2 2 棱锥定义 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几何体 棱锥定义 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几何体 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥 四棱锥 五棱锥等分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥 四棱锥 五棱锥等 表示 用各顶点字母 如五棱锥表示 用各顶点字母 如五棱锥 EDCBAP 几何特征 侧面 对角面都是三角形 平行于底面的截面与底面相似 其相似比等于顶点到截面距几何特征 侧面 对角面都是三角形 平行于底面的截面与底面相似 其相似比等于顶点到截面距 离与高的比的平方离与高的比的平方 3 3 棱台 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 截面和底面之间的部分 棱台 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 截面和底面之间的部分 分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态 四棱台 五棱台等分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态 四棱台 五棱台等 表示 用各顶点字母 如五棱台表示 用各顶点字母 如五棱台 EDCBAP 几何特征 几何特征 上下底面是相似的平行多边形上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点侧棱交于原棱锥的顶点 4 4 圆柱 定义 以矩形的一边所在的直线为轴旋转圆柱 定义 以矩形的一边所在的直线为轴旋转 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征 几何特征 底面是全等的圆底面是全等的圆 母线与轴平行母线与轴平行 轴与底面圆的半径垂直轴与底面圆的半径垂直 侧面展开图是一个矩形侧面展开图是一个矩形 5 5 圆锥 定义 以直角三角形的一条直角边为旋转轴 圆锥 定义 以直角三角形的一条直角边为旋转轴 旋转一周所成的曲面所围成的几何体旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征 几何特征 底面是一个圆底面是一个圆 母线交于圆锥的顶点母线交于圆锥的顶点 侧面展开图是一个扇形侧面展开图是一个扇形 6 6 圆台 定义 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 截面和底面之间的部分 圆台 定义 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 截面和底面之间的部分 几何特征 几何特征 上下底面是两个圆上下底面是两个圆 侧面母线交于原圆锥的顶点侧面母线交于原圆锥的顶点 侧面展开图是一个弓形侧面展开图是一个弓形 7 7 球体 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的几何体 球体 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征 几何特征 球的截面是圆球的截面是圆 球面上任意一点到球心的距离等于半径球面上任意一点到球心的距离等于半径 2 2 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图 精品文档 6欢迎下载 定义三视图 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影 定义三视图 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影 侧视图 从左向右 侧视图 从左向右 俯视图 从上向下 俯视图 从上向下 注 正视图反映了物体上下 左右的位置关系 即反映了物体的高度和长度注 正视图反映了物体上下 左右的位置关系 即反映了物体的高度和长度 俯视图反映了物体左右 前后的位置关系 即反映了物体的长度和宽度俯视图反映了物体左右 前后的位置关系 即反映了物体的长度和宽度 侧视图反映了物体上下 前后的位置关系 即反映了物体的高度和宽度侧视图反映了物体上下 前后的位置关系 即反映了物体的高度和宽度 3 3 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图 斜二测画法斜二测画法 斜二测画法特点 斜二测画法特点 原来与原来与 x x 轴平行的线段仍然与轴平行的线段仍然与 x x 平行且长度不变平行且长度不变 原来与原来与 y y 轴平行的线段仍然与轴平行的线段仍然与 y y 平行 长度为原来的一半平行 长度为原来的一半 4 4 柱体 锥体 台体的表面积与体积 柱体 锥体 台体的表面积与体积 1 1 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和 2 2 特殊几何体表面积公式 特殊几何体表面积公式 为底面周长 为底面周长 为高 为高 为斜高 为斜高 为母线 为母线 Ch h l chS 直棱柱侧面积 rhS 2 圆柱侧 2 1 chS 正棱锥侧面积 rlS 圆锥侧面积 2 1 21 hccS 正棱台侧面积 lRrS 圆台侧面积 lrrS 2 圆柱表 lrrS 圆锥表 22 RRlrlrS 圆台表 3 3 柱体 锥体 台体的体积公式 柱体 锥体 台体的体积公式 VSh 柱 2 VShr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 3 VSS SS h 台 22 11 33 VSS SS hrrRRh 圆台 4 4 球体的表面积和体积公式 球体的表面积和体积公式 3 R 3 4 球 V 2 R4S 球面 5 5 空间点 直线 平面的位置关系 空间点 直线 平面的位置关系 1 1 平面 平面 平面的概念 平面的概念 描述性说明描述性说明 平面是无限伸展的平面是无限伸展的 A B 平面的表示 通常用希腊字母平面的表示 通常用希腊字母表示 如平面表示 如平面 通常写在一个锐角内 通常写在一个锐角内 也可以用 也可以用 两个相对顶点的字母来表示 如平面两个相对顶点的字母来表示 如平面BC 点与平面的关系 点点与平面的关系 点在平面在平面内 记作内 记作 点 点不在平面不在平面内 记作内 记作A A A A 点与直线的关系 点点与直线的关系 点的直线的直线 上 记作 上 记作 点 点在直线在直线 外 记作外 记作AllA AllA 直线与平面的关系 直线直线与平面的关系 直线 在平面在平面内 记作内 记作 直线 直线 不在平面不在平面内 记作内 记作l ll l 2 2 公理 公理 1 1 如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 即直线在平面内 或者平面经过直线 即直线在平面内 或者平面经过直线 应用 检验桌面是否平 应用 检验桌面是否平 判断直线是否在平面内判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理用符号语言表示公理 1 1 Al Bl ABl 精品文档 7欢迎下载 3 3 公理 公理 2 2 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 推论 一直线和直线外一点确定一平面推论 一直线和直线外一点确定一平面 两相交直线确定一平面两相交直线确定一平面 两平行直线确定一平面两平行直线确定一平面 公理公理 2 2 及其推论作用 及其推论作用 它是空间内确定平面的依据它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据它是证明平面重合的依据 4 4 公理 公理 3 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号 平面符号 平面和和相交 交线是相交 交线是 记作 记作 符号语言 符号语言 aa PABABl Pl 公理公理 3 3 的作用 的作用 它是判定两个平面相交的方法它是判定两个平面相交的方法 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系 交线必过公共点它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系 交线必过公共点 它可以判断点在直线上 即证若干个点共线的重要依据它可以判断点在直线上 即证若干个点共线的重要依据 5 5 公理 公理 4 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 平行于同一条直线的两条直线互相平行 6 6 空间直线与直线之间的位置关系 空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义 不同在任何一个平面内的两条直线异面直线定义 不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质 既不平行 又不相交异面直线性质 既不平行 又不相交 异面直线判定 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线异面直线判定 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角 直线异面直线所成角 直线a a b b是异面直线 经过空间任意一点是异面直线 经过空间任意一点O O 分别引直线 分别引直线aa 则把直线 则把直线和和所成的锐角 或直角 叫做异面直线所成的锐角 或直角 叫做异面直线和和所成的角 两条异面直线所成的角 两条异面直线bb a b ab 所成角的范围是所成角的范围是 若两条异面直线所成的角是直角 我们就说这两条异面直线互相垂 若两条异面直线所成的角是直角 我们就说这两条异面直线互相垂 00 90 0 直直 说明 说明 1 1 判定空间直线是异面直线方法 判定空间直线是异面直线方法 根据异面直线的定义根据异面直线的定义 异面直线的判定定理异面直线的判定定理 2 2 在异面直线所成角定义中 空间一点 在异面直线所成角定义中 空间一点是任取的 而和点是任取的 而和点的位置无关的位置无关OO 3 3 求异面直线所成角步骤 求异面直线所成角步骤 A A 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶点选 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶点选 在特殊的位置上在特殊的位置上 B B 证明作出的角即为所求角 证明作出的角即为所求角 C C 利用三角形来求角 利用三角形来求角 7 7 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两角相等或互补 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两角相等或互补 8 8 空间直线与平面之间的位置关系 空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内直线在平面内 有无数个公共点有无数个公共点 三种位置关系的符号表示 三种位置关系的符号表示 aAaa 9 9 平面与平面之间的位置关系 平行 平面与平面之间的位置关系 平行 没有公共点 没有公共点 相交相交 有一条公共直线 有一条公共直线 b 6 6 空间中的平行问题 空间中的平行问题 1 1 直线与平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行 则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行 线线平行线线平行线面平行线面平行 线面平行的性质定理 线面平行的性质定理 如如果果一一条条直直线线和和一一个个平平面面平平行行 经经过过这这条条直直线线的的平平面面和和这这个个平平面面相相交交 那那么么这这条条直直线线和和交交线线平平行行 线面平行线面平行线线平行线线平行 2 2 平面与平面平行的判定及其性质 平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理两个平面平行的判定定理 1 1 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行那么这两个平面平行 线面平行线面平行面面平行 面面平行 2 2 如果在两个平面内 各有两组相交直线对应平行 那么这两个平面平行 如果在两个平面内 各有两组相交直线对应平行 那么这两个平面平行 线线平行 线线平行面面平行 面面平行 3 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理两个平面平行的性质定理 1 1 如果两个平面平行 如果两个平面平行 那么某一个平面内的直线与另一个平面平行 面面平行那么某一个平面内的直线与另一个平面平行 面面平行线面平行 线面平行 2 2 如果两个平行平面都和第三个平面相交 那么它们的交线平行 面面平行 如果两个平行平面都和第三个平面相交 那么它们的交线平行 面面平行线线平行 线线平行 7 7 空间中的垂直问题 空间中的垂直问题 1 1 线线 面面 线面垂直的定义 线线 面面 线面垂直的定义 两条异面直线的垂直 如果两条异面直线所成的角是直角 就说这两条异面直线互相垂直两条异面直线的垂直 如果两条异面直线所成的角是直角 就说这两条异面直线互相垂直 线面垂直线面垂直 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直 就说这条直线和这个平面垂直就说这条直线和这个平面垂直 平面和平面垂直 如果两个平面相交 所成的二面角 从一条直线出发的两个半平面所组平面和平面垂直 如果两个平面相交 所成的二面角 从一条直线出发的两个半平面所组 精品文档 8欢迎下载 成的图形 是直二面角 平面角是直角 成的图形 是直二面角 平面角是直角 就说这两个平面垂直 就说这两个平面垂直 2 2 垂直关系的判定和性质定理 垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理和性质定理 判定定理判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直这个平面如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直这个平面 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 面面垂直的判定定理和性质定理面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另 一个平面一个平面 8 8 空间角问题 空间角问题 1 1 直线与直线所成的角 直线与直线所成的角 两平行直线所成的角 规定为两平行直线所成的角 规定为 0 两条相交直线所成的角 两条直线相交其中不大于直角的角 叫这两条直线所成的角两条相交直线所成的角 两条直线相交其中不大于直角的角 叫这两条直线所成的角 两条异面直线所成的角 过空间任意一点两条异面直线所成的角 过空间任意一点 分别作与两条异面直线 分别作与两条异面直线平行的直线平行的直线 Oba 形成两条相交直线 这两条相交直线所成的不大于直 形成两条相交直线 这两条相交直线所成的不大于直ba 角的角叫做两条异面直线所成的角角的角叫做两条异面直线所成的角 2 2 直线和平面所成的角 直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角 规定为平面的平行线与平面所成的角 规定为 平面的垂线与平面所成的角 规定为平面的垂线与平面所成的角 规定为 0 90 平面的斜线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这平面的斜线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这 个平面所成的角个平面所成的角 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角 一作 二证 三计算一作 二证 三计算 在在 作角作角 时依定义关键作射影 由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线 在解题时 注意挖时依定义关键作射影 由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线 在解题时 注意挖 掘题设中两个主要信息 掘题设中两个主要信息 1 1 斜线上一点到面的垂线 斜线上一点到面的垂线 2 2 过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直 由面面垂直性质易得垂 过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直 由面面垂直性质易得垂 线线 3 3 二面角和二面角的平面角 二面角和二面角的平面角 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二 面角的面面角的面 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点 在两个面内分别二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点 在两个面内分别 作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫二面作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫二面 角的平面角角的平面角 直二面角 平面角是直角的二面角叫直二面角两相交平面如果所组成直二面角 平面角是直角的二面角叫直二面角两相交平面如果所组成 的二面角是直二面角 那么这两个平面垂直 反过来 如的二面角是直二面角 那么这两个平面垂直 反过来 如 果两个平面垂直 那么所成的二面角为直二面角果两个平面垂直 那么所成的二面角为直二面角 求二面角的方法求二面角的方法 定义法 在棱上选择有关点 过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射定义法 在棱上选择有关点 过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射 线得到平面角线得到平面角 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时 过两垂线作平面与两个垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时 过两垂线作平面与两个 面的交线所成的角为二面角的平面角面的交线所成的角为二面角的平面角 直线与方程直线与方程 1 1 直线的倾斜角 直线的倾斜角 定义 定义 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与轴平轴平 xx 行或重合时行或重合时 我们规定它的倾斜角为我们规定它的倾斜角为度 因此 倾斜角的取值范围是度 因此 倾斜角的取值范围是0 00 1800 2 2 直线的斜率 直线的斜率 定义 倾斜角不是定义 倾斜角不是的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率 0 90 常用常用表示 即表示 即 斜率反映直线与轴的倾斜程度 斜率反映直线与轴的倾斜程度ktank 当当时 时 当当时 时 当当时 时 不存在不存在 90 0 0 k 180 90 0 k 90 k 过两点的直线的斜率公式 过两点的直线的斜率公式 21 12 12 xx xx yy k 精品文档 9欢迎下载 注意下面四点 注意下面四点 1 1 当当时 公式右边无意义 直线的斜率不存在 倾斜角为时 公式右边无意义 直线的斜率不存在 倾斜角为 90 90 21 xx 2 2 与与的顺序无关的顺序无关 k 21 P P 3 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 4 4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 3 3 直线方程 直线方程 点斜式 点斜式 直线斜率直线斜率 且过点 且过点 11 xxkyy k 11 y x 注意 注意 当直线的斜率为当直线的斜率为时 时 直线的方程是 直线的方程是 o 00 k 1 yy 当直线的斜率为当直线的斜率为时 直线的斜率不存在 它的方程不能用点斜式表示 但因时 直线的斜率不存在 它的方程不能用点斜式表示 但因 上每一点的横上每一点的横 o 90l 坐标都等于坐标都等于 所以它的方程是 所以它的方程是 1 x 1 xx 斜截式 斜截式 直线斜率为 直线斜率为 直线在 直线在轴上的截距为轴上的截距为bkxy kyb 两点式 两点式 直线两点 直线两点 11 2121 yyxx yyxx 1212 xxyy 11 y x 22 y x 截矩式 截矩式 其中直线 其中直线与与轴交于点轴交于点 与与轴交于点轴交于点 即即与与轴 轴 轴的截距轴的截距1 xy ab lx 0 ay 0 blxy 分别为分别为 a b 一般式 一般式 不全为不全为 0 0 0 CByAxBA 注意 注意 各式的适用范围各式的适用范围 特殊的方程如 平行于特殊的方程如 平行于轴的直线 轴的直线 为常数 为常数 平 平xby b 行于行于轴的直线 轴的直线 为常数 为常数 yax a 4 4 两直线平行与垂直 两直线平行与垂直 当当 时 时 111 bxkyl 222 bxkyl 212121 bbkkll 1 2121 kkll 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 5 5 两条直线的交点 两条直线的交点 相交相交0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 交点坐标即方程组交点坐标即方程组的一组解的一组解 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 方程组无解方程组无解 方程组有无数解方程组有无数解与与重合重合 21 l l 1 l 2 l 6 6 两点间距离公式 设 两点间距离公式 设是平面直角坐标系中的两个点 是平面直角坐标系中的两个点 1122 A x yB xy 则则 22 2121 ABxxyy 7 7 点到直线距离公式 一点 点到直线距离公式 一点到直线到直线的距离的距离 00 y xP0 1 CByAxl 22 00 BA CByAx d 8 8 两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点 再转化为点到直线的距离进行求解 两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点 再转化为点到直线的距离进行求解 圆的方程圆的方程 1 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆 定点为圆心 定长为圆的半径 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆 定点为圆心 定长为圆的半径 2 2 圆的方程 圆的方程 1 1 标准方程 标准方程 圆心 圆心 半径为 半径为 2 22 rbyax ba r 2 2 一般方程 一般方程0 22 FEyDxyx 当当时 方程表示圆 此时圆心为时 方程表示圆 此时圆心为 半径为 半径为04 22 FED 2 2 ED FEDr4 2 1 22 当当时 表示一个点 当时 表示一个点 当时 方程不表示任何图形时 方程不表示任何图形04 22 FED04 22 FED 3 3 求圆方程的方法 求圆方程的方法 一般都采用待定系数法 先设后求 确定一个圆需要三个独立条件 若利用圆的标准方程 需一般都采用待定系数法 先设后求 确定一个圆需要三个独立条件 若利用圆的标准方程 需 求出求出 若利用一般方程 需要求出 若利用一般方程 需要求出 另外要注意多利用圆的几何性质 如 另外要注意多利用圆的几何性质 如rba FED 弦的中垂线必经过原点 以此来确定圆心的位置弦的中垂线必经过原点 以此来确定圆心的位置 精品文档 10欢迎下载 3 3 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有相离 相切 相交三种情况 基本上由下列两种方法判断 直线与圆的位置关系有相离 相切 相交三种情况 基本上由下列两种方法判断 1 1 设直线 设直线 圆 圆 圆心 圆心到到 的距离为的距离为0 CByAxl 2 22 rbyaxC baC l 则有 则有 22 BA CBbAa d 相离与Clrd 相切与Clrd 相交与Clrd 2 2 设直线 设直线 圆 圆 先将方程联立消元 得到一个 先将方程联立消元 得到一个0 CByAxl 2 22 rbyaxC 一元二次方程之后 令其中的判别式为一元二次方程之后 令其中的判别式为 则有 则有 相离与Cl 0 相切与Cl 0相交与Cl 0 注 如果圆心的位置在原点 可使用公式注 如果圆心的位置在原点 可使用公式去解直线与圆相切的问题 其中去解直线与圆相切的问题 其中 2 00 ryyxx 00 y x 表示切点坐标 表示切点坐标 表示半径表示半径r 3 3 过圆上一点的切线方程 过圆上一点的切线方程 圆圆 圆上一点为 圆上一点为 则过此点的切线方程为 则过此点的切线方程为 222 ryx 00 yx 2 00 ryyxx 圆圆 圆上一点为 圆上一点为 则过此点的切线方程为 则过此点的切线方程为 222 rbyax 00 yx 2 00 rbybyaxax 4 4 圆与圆的位置关系 通过两圆半径的和 差 圆与圆的位置关系 通过两圆半径的和 差 与圆心距 与圆心距 之间的大小比较来确定 之间的大小比较来确定d 设圆设圆 2 2 1 2 11 rbyaxC 2 2 2 2 22 RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和 差 两圆的位置关系常通过两圆半径的和 差 与圆心距 与圆心距 之间的大小比较来确定 之间的大小比较来确定d 当当时两圆外离 此时有公切线四条时两圆外离 此时有公切线四条rRd 当当时两圆外切 连心线过切点 有外公切线两条 内公切线一条时两圆外切 连心线过切点 有外公切线两条 内公切线一条rRd 当当时两圆相交 连心线垂直平分公共弦 有两条外公切线时两圆相交 连心线垂直平分公共弦 有两条外公切线rRdrR 当当时 两圆内切 连心线经过切点 只有一条公切线时 两圆内切 连心线经过切点 只有一条公切线rRd 当当时 两圆内含时 两圆内含 rRd 当当时 为同心圆时 为同心圆0 d 高一数学必修高一数学必修 3 3 算法初步算法初步 1 1 秦九韶算法 通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值 对于一个 秦九韶算法 通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值 对于一个次多项式 只要作次多项式 只要作次乘次乘 nn 法和法和次加法即可 表达式如下 次加法即可 表达式如下 n 12211 1 1 axaxxaxaxaaxaxa nnn n n n n 2 2 理解算法的含义 一般而言 对于一类问题的机械的 统一的求解方法称为算法 其意义具有广泛的理解算法的含义 一般而言 对于一类问题的机械的 统一的求解方法称为算法 其意义具有广泛的 含义含义 1 1 描述算法有三种方式 自然语言 流程图 程序设计语言 本书指伪代码 描述算法有三种方式 自然语言 流程图 程序设计语言 本书指伪代码 2 2 算法的特征 算法的特征 有限性 算法执行的步骤总是有限的 不能无休止的进行下去有限性 算法执行的步骤总是有限的 不能无休止的进行下去 确定性 算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切 而且必须有输出 输出可以是一确定性 算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切 而且必须有输出 输出可以是一 个或多个 没有输出的算法是无意义的个或多个 没有输出的算法是无意义的 可行性 算法的每一步都必须是可执行的 即每一步都可以通过手工或者机器在一定时可行性 算法的每一步都必须是可执行的 即每一步都可以通过手工或者机器在一定时 间内可以完成 在时间上有一个合理的限度间内可以完成 在时间上有一个合理的限度 3 3 算法含有两大要素 算法含有两大要素 操作 算术运算 逻辑运算 函数运算 关系运算等操作 算术运算 逻辑运算 函数运算 关系运算等 控制结构控制结构 顺序结构 选择结构 循环结构顺序结构 选择结构 循环结构 3 3 流程图 流程图 flowflow chartchart 是用一些规定的图形 连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种是用一些规定的图形 连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种 图图 形程序 它直观 清晰 易懂 便于检查及修改形程序 它直观 清晰 易懂 便于检查及修改 注意 注意 1 1 画流程图的时候一定要清晰画流程图的时候一定要清晰 用铅笔和直尺画用铅笔和直尺画 要养成有开始和结束的好习惯要养成有开始和结束的好习惯 精品文档 11欢迎下载 2 2 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程 反过来再检查 比如 遇到判断框时拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程 反过来再检查 比如 遇到判断框时 往往临界的范围或者条件不好确定 就先给出一个临界条件 画好大致流程 然后检查往往临界的范围或者条件不好确定 就先给出一个临界条件 画好大致流程 然后检查 这个条件是否正确 再考虑是否取等号的问题 这时候也就可以有几种书写方法了这个条件是否正确 再考虑是否取等号的问题 这时候也就可以有几种书写方法了 3 3 在输出结果时 如果有多个输出 一定要用流程线把所有的输出总结到一起 一起终结到在输出结果时 如果有多个输出 一定要用流程线把所有的输出总结到一起 一起终结到 结结 束框束框 4 4 算法结构 算法结构 顺序结构 选择结构 循环结构顺序结构 选择结构 循环结构 1 1 顺序结构 顺序结构 sequencesequence structurestructure 是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断 控制转移和 是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断 控制转移和 重复执行的操作 一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的重复执行的操作 一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的 2 2 选择结构 选择结构 selectionsele