(教案)高中数学抛物线_高考经典例题

1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物线的焦点 定直 线 l 叫做抛物线的准线 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头抛物线的图形和性质 顶点是焦点向准线所作垂线段中点 焦准距 FKp 通径 过焦点垂直于轴的弦长为 2p 顶点平分焦点到准线的垂线段 2 p OFOK 焦半径为半径的圆 以 P 为圆心 FP 为半径的圆必与准线相切 所有这样的圆过定点 F 准线是公切线 焦半径为直径的圆 以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切 所有这 样的圆过定点 F 过顶点垂直于轴的直线是公切线 焦点弦为直径的圆 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与准线相切 所有这样的圆的公切线是 准线 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头抛物线标准方程的四种形式 pxypxy22 22 pyxpyx22 22 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头抛物线 的图像和性质 pxy2 2 焦点坐标是 0 2 p 准线方程是 2 p x 焦半径公式 若点是抛物线上一点 则该点到抛物线的焦点的距离 称为 00 yxPpxy2 2 焦半径 是 0 2 p PFx 焦点弦长公式 过焦点弦长 1212 22 pp PQxxxxp 抛物线上的动点可设为 P或或 Ppxy2 2 2 2 y p y 2 2 2 Pptpt pxyyx2 2 中中 5 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头一般情况归纳 方程图象焦点准线定义特征 k 0 时开口向右 y2 kx k0 时开口向上 x2 ky k0 求它的焦点坐标和准线方程 4 求经过P 4 2 点的抛物线的标准方程 分析 这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题 解题时首先分清属哪类标准型 再录求P值 注意p 0 特 别是 3 题 要先化为标准形式 则 4 题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条 因此有两y m x 1 2 m p 1 2 解 答案 1 2 x2 12y 3 4 y2 x或x2 8y 0 2 5 F 2 5 x m F 4 1 0 m y 4 1 例例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线 x 2y 4 0 上 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 分析 从方程形式看 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数 p 从实际分析 一般需确定 p 和确定开口方向两 个条件 否则 应展开相应的讨论 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 1 设所求的抛物线方程为 y2 2px 或 x2 2py p 0 过点 3 2 4 2p 3 或 9 2p 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 p 或 p 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 2 4 9 所求的抛物线方程为 y2 x 或 x2 y 前者的准线方程是 x 后者的准线方程是 y 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 4 2 9 3 1 8 9 2 令 x 0 得 y 2 令 y 0 得 x 4 抛物线的焦点为 4 0 或 0 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当焦点为 4 0 时 4 2 p p 8 此时抛物线方程 y2 16x 焦点为 0 2 时 2 2 p p 4 此时抛物线方程为 x2 8y 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 所求的抛物线的方程为 y2 16x 或 x2 8y 对应的准线方程分别是 x 4 y 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 常用结论 过抛物线 y2 2px 的焦点 F 的弦 AB 长的最小值为 2p 设 A x1 y 1B x2 y2 是抛物线 y2 2px 上的两点 则 AB 过 F 的充要条件是 y1y2 p2 设 A B 是抛物线 y2 2px 上的两点 O 为原点 则 OA OB 的充要条件是直线 AB 恒过定点 2p 0 例例 5 5 过抛物线y2 2px p 0 的顶点O作弦OA OB 与抛物线分别交于A x1 y1 B x2 y2 两点 求证 y1y2 4p2 分析 由OA OB 得到OA OB斜率之积等于 1 从而得到x1 x2 y1 y2之间的关系 又A B是抛物线上的点 故 x1 y1 x2 y2 满足抛物线方程 从这几个关系式可以得到y1 y2的值 证 由OA OB 得 即y1y2 x1x2 又 所以 即1 2 2 1 1 x y x y KK OBOA p y x 2 2 1 1 p y x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 4p yy xx 而y1y2 0 所以y1y2 4p2 2 2 2 2 1 21 4p yy yy 弦的问题弦的问题 例例 1 A B 是抛物线 y2 2px p 0 上的两点 满足 OA OB O 为坐标原点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头求证 1 A B 两点的横坐标之积 纵坐标之积为 定值 2 直线 AB 经过一个定点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 作 OM AB 于 M 求点 M 的轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 1 设 A x1 y1 B x2 y2 则 y12 2px1 y22 2px2 y12y22 4p2x1x2 OA OB x1x2 y1y2 0 由此即可解得 x1x2 4p2 y1y2 4p2 定值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 直线 AB 的斜率 k 12 12 xx yy p y p y yy 22 2 1 2 2 12 21 2 yy p 直线 AB 的方程为 y y1 x 21 2 yy p p y 2 2 1 即 y y1 y2 y1y2 2px 由 1 可得 y x 2p 21 2 yy p 直线 AB 过定点 C 2p 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 解法 1 设 M x y 由 2 知 y x 2p i 21 2 yy p 又 AB OM 故两直线的斜率之积为 1 即 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ii 21 2 yy p x y 由 i ii 得 x2 2px y2 0 x 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法 2 由 OM AB 知点 M 的轨迹是以原点和点 2p 0 为直径的圆 除去原点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 立即可求出 例例 2 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2 x 上移动 AB 的中点为 M 求点 M 到 y 轴的最短距离 并求此时点 M 的坐标 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 如图 设 A x1 y1 B x2 y2 M x y 则 x y 2 21 xx 2 21 yy 又设点 A B M 在准线 x 1 4 上的射影分别为 A B M MM 与 y 轴的交点为 N l 则 AF AA x1 BF BB x2 4 1 4 1 x x1 x2 AF BF AB 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 5 等号在直线 AB 过焦点时成立 此时直线 AB 的方程为 y k x 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 1 由得 16k2x2 8 k2 2 x k2 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 xy xky 2 4 1 依题意 AB x1 x2 3 2 1k 2 1k 2 16k 2 2 1 k k k2 1 2 此时 x x1 x2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 2 2 162 2 8 k k 4 5 y 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头即 M N 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 2 4 5 2 2 4 5 2 2 例例 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头设一动直线过定点 A 2 0 且与抛物线 相交于 B C 两点 点 B C 在轴上的射影分别为 P 是线段 BC2 2 xyx 11 C B 上的点 且适合 求的重心 Q 的轨迹方程 并说明该轨迹是什么图形 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 1 CC BB PC BP POA 解析 设 002211 yxPyxCyxB yxQ 2 1 1 1 y y CC BB PC BP 21 21 2 1 2 2 1 1 0 2 1 yy yy y y y y y y y 由得 2 2 2 xky xy 06 4 222 kykky 4 12 4 62 2 2 0 k k kk k y 又代入 式得 k x y 2 0 0 44 00 xy 由得 代入 式得 3 3 2 0 0 y y x x yy xx 3 23 0 0 04312 yx 由得或 又由 式知关于是减函数且0 624 k624 k 0 yk12 0 y 且64126412 0 y 3 64 4 3 64 4 y4 y 所以 Q 点轨迹为一线段 抠去一点 04312 yx 且 3 64 4 3 64 4 y4 y 例例 4 已知抛物线 焦点为 F 一直线 与抛物线交于 A B 两点 且 且 AB 的垂直平分线恒过 2 2 0 ypxp l8 BFAF 定点 S 6 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求抛物线方程 求面积的最大值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ABS 解 设 AB 中点 2211 yxByxA 00 yxM 由得8 BFAF 2 4 8 021 p xpxx 又 得 2 2 2 1 2 1 2 2 pxy pxy k p yxxpyy 021 2 2 2 1 2 所以 依题意 2 4 k pp M 1 6 2 4 k p k p 4 p 抛物线方程为 xy8 2 由及 2 0 yM 0 4 y kl 2 4 0 0 x y yylAB 令得0 y 2 0 4 1 2yxK 又由和得 xy8 2 2 4 0 0 x y yylAB01622 2 00 2 yyyy 162 44 4 1 4 2 1 2 1 2 0 2 0 2 012 yyyyyKSS ABS 6 9 64 3 64 8 2 232 16 24 1 32 0 2 0 yyS ABS 例例 5 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2 x 上移动 AB 的中点为 M 求点 M 到 y 轴的最短距离 并求此时点 M 的坐标 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 如图 设 A x1 y1 B x2 y2 M x y 则 x y 2 21 xx 2 21 yy 又设点 A B M 在准线 x 1 4 上的射影分别为 A B M MM 与 y 轴的交点为 N l 则 AF AA x1 BF BB x2 4 1 4 1 x x1 x2 AF BF AB 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 5 等号在直线 AB 过焦点时成立 此时直线 AB 的方程为 y k x 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 1 由得 16k2x2 8 k2 2 x k2 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 xy xky 2 4 1 依题意 AB x1 x2 3 2 1k 2 1k 2 16k 2 2 1 k k k2 1 2 此时 x x1 x2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 2 2 162 2 8 k k 4 5 y 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头即 M N 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 2 4 5 2 2 4 5 2 2 综合类综合类 几何几何 例例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P Q 通过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于点 M 如何证明直线 MQ 平行于抛物线的对称轴 解 解 思路一 求出 M Q 的纵坐标并进行比较 如果相等 则 MQ x 轴 为此 将方程联立 2 2 2 p xkypxy 解出 11 2 11 2 2 22 k kp k kp P 11 2 11 2 2 22 k kp k kp Q 直线 OP 的方程为即 11 11 2 22 2 x k kk y 11 2 2 x k k y 令 得 M 点纵坐标得证 2 p x QM y k kp y 11 2 由此可见 按这一思路去证 运算较为繁琐 思路二 利用命题 如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交 两上交点的纵坐标为 那pxy2 2 1 y 2 y 么 来证 2 21 pyy 设 并从及中消去 x 得到 则有结 11 yxP 22 yxQ 33 yxMpxy2 2 2 p xky 02 22 kppyky 论 即 2 21 pyy 1 2 2 y p y 又直线 OP 的方程为 得 x x y y 1 1 2 p x 1 1 3 2x py y 因为在抛物线上 所以 11 yxP p y x 2 1 1 2 从而 2 1 2 2 1 1 1 1 3 2 y y p y p py x py y 这一证法运算较小 思路三 直线 MQ 的方程为的充要条件是 o yy 2 2 0 2 0 0 y p y Qy p M 将直线 MO 的方程和直线 QF 的方程联立 它的解 x y 就是点 P 的坐标 消去 p y y 0 2 2 2 2 2 0 p x py py y o 的充要条件是点 P 在抛物线上 得证 这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维 运算量也较小 o y 说明说明 本题中过抛物线焦点的直线与 x 轴垂直时 即斜率不存在 容易证明成立 例例 2 已知过抛物线的焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A B 两点 点 R 是含抛物线顶点 O 的弧 AB 0 2 2 ppxy 上一点 求 RAB 的最大面积 分析 分析 求 RAB 的最大面积 因过焦点且斜率为 1 的弦长为定值 故可以为三角形的底 只要确定高的最大值即AB 可 解 解 设 AB 所在的直线方程为 2 p xy 将其代入抛物线方程 消去 x 得pxy2 2 02 22 ppyy pyyyyyyAB44 22 21 2 2121 当过 R 的直线 l 平行于 AB 且与抛物线相切时 RAB 的面积有最大值 设直线 l 方程为 代入抛物线方程得bxy 022 2 pbpyy 由得 这时 它到 AB 的距离为 084 2 pbp 2 p b 2 p p Rph 2 2 RAB 的最大面积为 2 2 2 1 phAB 例例 3 直线过点 与抛物线交于 两点 P 是线段的中点 直线过 P 和抛物线的焦点 1 l 0 1 Mxy4 2 1 P 2 P 1 P 2 P 2 l F 设直线的斜率为 k 1 l 1 将直线的斜率与直线的斜率之比表示为 k 的函数 2 l 1 l kf 2 求出的定义域及单调区间 kf 分析 分析 过点 P 及 F 利用两点的斜率公式 可将的斜率用 k 表示出来 从而写出 由函数的特点求得 2 l 2 l kf kf 其定义域及单调区间 解 解 1 设的方程为 将它代入方程 得 1 l 1 xkyxy4 2 0 42 2222 kxkxk 设 则 222111 yxPyxPyxP 2 2 2 2 21 2 24 k k x k k xx 将代入得 即 P 点坐标为 2 2 2 k k x 1 xky k y 2 2 2 2 2 kk k 由 知焦点 直线的斜率xy4 2 0 1 F 2 l 2 2 2 2 1 1 2 2 k k k k k k 函数 2 1 1 k kf 2 与抛物线有两上交点 且 2 l0 k04 42 422 kk 解得或01 k10 k 函数的定义域为 kf 1001 kkk或 当时 为增函数 0 1 k kf 例例 4 如图所示 直线 l 过抛物线的焦点 并且与这抛物线相交于 A B 两点 求证 pxy2 2 对于这抛物线的任何给定的一条弦 CD 直线 l 不是 CD 的垂直平分线 分析 分析 本题所要证的命题结论是否定形式 一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论 别一方面也可以根据 l 上任 一点到 C D 距离相等来得矛盾结论 证法一证法一 假设直线 l 是抛物线的弦 CD 的垂直平方线 因为直线 l 与抛物线交于 A B 两点 所以直线 l 的斜率存在 且不为零 直线 CD 的斜率存在 且不为 0 设 C D 的坐标分别为与 则 2 2 1 2 1 ptpt 2 2 2 2 2 ptpt 21 1 tt kCD l 的方程为 2 21 p xtty 直线 l 平分弦 CD CD 的中点在直线 l 上 21 2 2 2 1 ttpttp 即 化简得 2 2 2 2 12121 p ttpttttp 0 2 1 2 2 2 121 ttttp 由知得到矛盾 所以直线 l 不可能是抛物线的弦 CD 的垂直平分线 0 21 ttp0 2 1 2 2 2 1 tt 证法二证法二 假设直线 l 是弦 CD 的垂直平分线 焦点 F 在直线 l 上 DFCF 由抛物线定义 到抛物线的准线的距离相等 2211 yxDyxC 2 p x 2121 yyxx CD 的垂直平分线 l 与直线 l 和抛物线有两上交点矛盾 下略 0 y 例例 5 设过抛物线的顶点 O 的两弦 OA OB 互相垂直 求抛物线顶点 O 在 AB 上射影 N 的轨迹方程 0 2 2 ppxy 分析 分析 求与抛物线有关的轨迹方程 可先把 N 看成定点 待求得的关系后再用动点坐标来表 00 yx 00 yx yx 示 也可结合几何知识 通过巧妙替换 简化运算 解法一 解法一 设 002211 yxNyxByxA 则 2 2 21 2 1 2 2pxypxy 2 2 2 2 1 21 4p yy xx 即OBOA 1 OBOA kk0 2121 yyxx 0 4 21 2 2 2 2 1 yy p yy 0 21 yy 2 21 4pyy 把 N 点看作定点 则 AB 所在的直线方程为 显然 0 0 0 0 xx y x yy 0 0 x 代入化简整理得 0 2 00 x yxyy x 2 2 pxy 0 22 2 0 2 00 2 0 yxpypyyx 0 0 x 0 2 0 2 0 21 2 x yxp yy 由 得 化简得 0 2 0 2 0 2 2 4 x yxp p 0 02 00 2 0 2 0 xpxyx 用 x y 分别表示得 00 yx 0 02 22 xpxyx 解法二 解法二 点 N 在以 OA OB 为直径的两圆的交点 非原点 的轨迹上 设 则以 OA 为直径的圆方程为 2 2 2 ptptA 242222 ttpptyptx 022 222 ptyptyx 设 OA OB 则 2 2 1 2 1 ptptB t tt t 1 1 11 在求以 OB 为直径的圆方程时以代 可得 t 1 1 t 022 222 ptypxyxt 由 得 0 2 1 222 pxyxt 0 02 22 xpxyx 例例 6 如图所示 直线和相交于点 M 点 以 A B 为端点的曲线段 C 上的任一点到的距离与到点 1 l 2 l 1 l 2 l 1 lN 2 l N 的距离相等 若 AMN 为锐角三角形 且 建立适当的坐标系 求曲线段 C 的方程 7 AM3 AN6 BN 分析 分析 因为曲线段 C 上的任一点是以点 N 为焦点 以为准线的抛物线的一段 所以本题关键是建立适当坐标系 确 2 l 定 C 所满足的抛物线方程 解 解 以为 x 轴 MN 的中点为坐标原点 O 建立直角坐 1 l 标系 由题意 曲线段 C 是 N 为焦点 以为准线的抛物线的一 2 l 段 其中 A B 分别为曲线 段的两端点 设曲线段 C 满足的抛物线方程为 0 0 2 2 yxxxppxy BA 其中 为 A B 的横坐标 A x B x 令则 pMN 0 2 0 2 p N p M 3 17 ANAM 由两点间的距离公式 得方程组 92 2 172 2 2 2 AA AA px p x px p x 解得或 1 4 A x p 2 2 A x p AMN 为锐角三角形 则 A x p 2 4 p1 A x 又 B 在曲线段 C 上 426 2 p BNxB 则曲线段 C 的方程为 0 41 8 2 yxxy 例例 7 7 如图所示 设抛物线与圆在x轴上方的交点为A B 与圆 10 2 2 ppxy9 5 22 yx 在x由上方的交点为C D P为AB中点 Q为CD的中点 1 求 2 求 ABQ面积的最大值 27 6 22 yxPQ 分析 分析 由于P Q均为弦AB CD的中点 故可用韦达定理表示出P Q两点坐标 由两点距离公式即可求出 PQ 解 解 1 设 2211 yxQyxPyxDyxCyxByxA DDCCBBAA 由得 pxy yx 2 9 5 2 22 016 5 2 2 xpx P xx x BA 5 2 1 2 1 9 8 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 pp p p xxxx p xx pyy y BABA BA BA 由得 pxy yx 2 27 6 2 22 09 6 2 2 xpx p xx x DC 6 2 2 2 2 2 2DC DC xx pyy y 同类似 1 y 2 2 9ppy 则 0 1 2121 yyxx1 PQ 2 BABAAPQABQ xx P yyPQSSS BPQ 2 2 2 1 1 8210 2 2 ppp P 当时 取最大值 10 p 2 1 p ABQ S 2 1 例例 8 已知直线 过原点 抛物线的顶点在原点 焦点在轴的正半轴上 且点和点关于直线 的lCx 0 1 A 8 0 Bl 对称点都在上 求直线 和抛物线的方程 ClC 分析 分析 设出直线 和抛物线的方程 由点 关于直线 对称 求出对称点的坐标 分别代入抛物线方程 或设lCABl 利用对称的几何性质和三角函数知识求解 OxB 解法一 解法一 设抛物线的方程为 直线 的方程为 Cpxy2 2 0 plkxy 0 k 则有点 点关于直线 的对称点为 0 1 A 8 0 Bl 11 yxA 22 yxB 则有解得 1 1 2 1 2 1 1 11 k x y x k y 1 2 1 1 2 1 2 2 1 k k y k k x 解得 1 8 22 8 2 2 22 k x y x k y 1 1 8 1 16 2 2 2 2 2 k k y k k x 如图 在抛物线上 A B 1 16 2 1 1 64 1 1 2 1 4 222 22 2 2 22 2 k k p k k k k p k k 两式相除 消去 整理 得 故 p01 2 kk 2 51 k 由 得 把代入 得 0 p0 k 2 51 k 2 51 k 5 52 p 直线 的方程为 抛物线的方程为 lxy 2 51 Cxy 5 54 2 解法二 解法二 设点 关于 的对称点为 ABl 11 yxA 22 yxB 又设 依题意 有 OxB 1 OAOA8 OBOB 故 cos8 2 x sin8 2 y 由 知 90BOA 90 OA B sin 90cos 1 x cos 90sin 1 y 又 故为第一象限的角 0 1 x0 2 x cos sin A sin8 cos8 B 将 的坐标代入抛物线方程 得 A B cos16sin64 sin2cos 2 2 p p 即从而 33 cossin8 2 1 tan 5 5 sin 5 52 cos 得抛物线的方程为 5 52 pCxy 5 54 2 又直线 平分 得 的倾斜角为 lOBB l 45 22 90 2 51 sin1 cos 90cos 1 90sin 45 2 tan k 直线 的方程为 lxy 2 51 说明 说明 1 本题属于点关于直线的对称问题 解法一是解对称点问题的基本方法 它的思路明确 但运算量大 若不仔细 沉 着 难于解得正确结果 解法二是利用对称图形的性质来解 它的技巧性较强 一时难于想到 2 本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程 在已知曲线的类型求曲线方程时 这种方法是最常规方法 需要 重点掌握 例例 9 如图 正方形的边在直线上 两点在抛物线上 求正方形的面ABCDAB4 xyl CDxy 2 ABCD 积 分析 分析 本题考查抛物线的概念及其位置关系 方程和方程组的解法和数形结合的思想方法 以及分析问题 解决问题 的能力 解 解 直线 设的方程为 且 4 xyAB CDAB CDbxy 11 yxC 22 yxD 由方程组 消去 得 于是 bxy xy2 x0 2 byy 其中 1 21 yybyy 2121 2 1 1yy k CD 1 k 41 24 2 21 2 21 byyyyCD 由已知 为正方形 ABCDADCD 可视为平行直线与间的距离 则有CDABCD 于是得 2 4b CD 2 4 41 2 b b 两边平方后 整理得 或 0128 2 bb6 b2 b 当时 正方形的面积 6 bABCD50 241 2 2 CDS 当时 正方形的面积 2 bABCD18 81 2 2 CDS 正方形的面积为 18 或 50 ABCD 说明 说明 运用方程 组 的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的 贯穿始终的方法 本题应充分考虑正 方形这一条件 例例 10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行 地球恰好位于抛物线轨道的焦点处 当此彗星离地球为 4 10 d 时 经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 求这彗星与地球的最短距离 km 30 分析 分析 利用抛物线有关性质求解 解 如图 设彗星轨道方程为 焦点为 pxy2 2 0 p 0 2 p F 彗星位于点处 直线的方程为 00 yxPPF 2 3 3p xy 解方程组得 2 3 3 2 2 p xy pxy 2 347 p x 故 2 347 0 p x p ppp xPF 324 22 347 3 32 2 3 32 0 故 得 dp 324 dp 2 32 由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点 所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点 焦点到抛物线顶点的距离为 所以彗星与地球的最短距离为或 点在点的左边与右边时 d p 4 32 2 4 10 4 32 dkm 4 10 4 32 dkmPF 所求距离取不同的值 说明 说明 1 此题结论有两个 不要漏解 2 本题用到抛物线一个重要结论 顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点 其证明如下 设为抛物线 00 yxP 上一点 焦点为 准线方程为 依抛物线定义 有 当时 pxy2 2 0 2 p F 2 p x 22 0 p x p PF 0 0 x0 0 x 最小 故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点 PF 例例 11 如图 抛物线顶点在原点 圆的圆心是抛物线的焦点 直线 过抛物线的焦点 且斜率为 2 直xyx4 22 l 线 交抛物线与圆依次为 四点 求的值 lABCDCDAB 分析 分析 本题考查抛物线的定义 圆的概念和性质 以及分析问题与解决问题的能力 本题的关键是把转化CDAB 为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题 解 解 由圆的方程 即可知 圆心为 半径为 2 又由抛物线焦点为已知圆的圆xyx4 22 4 2 22 yx 0 2 F 心 得到抛物线焦点为 设抛物线方程为 0 2 Fxy8 2 BCADCDAB 为已知圆的直径 则 BC4 BC4 ADCDAB 设 而 在抛物线上 11 yxA 22 yxDFDAFAD AD 由已知可知 直线 方程为 于是 由方程组l 2 2 xy 消去 得 2 2 8 2 xy y y046 2 xx6 21 xx 因此 1046 AD6410 CDAB 说明 说明 本题如果分别求与则很麻烦 因此把转化成是关键所在 在求ABCDCDAB 4 ADBCAD 时 又巧妙地运用了抛物线的定义 从而避免了一些繁杂的运算 AD 11 已知抛物线 y2 2px p 0 过焦点 F 的弦的倾斜角为 0 且与抛物线相交于 A B 两点 1 求证 AB 2 sin 2p 2 求 AB 的最小值 1 证明 证明 如右图 焦点 F 的坐标为 F 0 2 p 设过焦点 倾斜角为 的直线方程为 y tan x 与抛物线方程联立 消去 y 并整理 得 2 p tan2 x2 2p ptan2 x 0 4 tan 22 p 此方程的两根应为交点 A B 的横坐标 根据韦达定理 有 x1 x2 2 2 tan tan2pp 设 A B 到抛物线的准线 x 的距离分别为 AQ 和 BN 根据抛物线的定义 有 AB AF FB AQ BN x1 x2 p 2 p 2 sin 2p 2 解析 解析 因 AB 的定义域是 0 0 的一