高中数学必修1-函数的最大(小)值-教案

函数的最大 小 值 教学目的 1 理解函数的最大 小 值及其几何意义 2 学会运用函数图象理解和研究函数的性质 教学重点 函数的最大 小 值及其几何意义 教学难点 利用函数的单调性求函数的最大 小 值 教学过程 一 引入课题 画出下列函数的图象 并根据图象解答下列问题 说出 y f x 的单调区间 以及在各单调区间上的单调性 1 指出图象的最高点或最低点 并说明它能体现函数的什么特征 2 1 2 32 xxf32 xxf 2 1 x 3 4 12 2 xxxf12 2 xxxf 2 2 x 二 新课教学 一 函数最大 小 值定义 1 最大值 一般地 设函数 y f x 的定义域为 I 如果存在实数 M 满足 1 对于任意的 x I 都有 f x M 2 存在 x0 I 使得 f x0 M 那么 称 M 是函数 y f x 的最大值 Maximum Value 思考 仿照函数最大值的定义 给出函数 y f x 的最小值 Minimum Value 的定 义 学生活动 注意 函数最大 小 首先应该是某一个函数值 即存在 x0 I 使得 f x0 M 1 函数最大 小 应该是所有函数值中最大 小 的 即对于任意的 x I 都有 f x 2 M f x M 2 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值的方法 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最大 小 值 1 利用图象求函数的最大 小 值 2 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值 3 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递增 在区间 b c 上单调递减则函数 y f x 在 x b 处有最大值 f b 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递减 在区间 b c 上单调递增则函数 y f x 在 x b 处有最小值 f b 二 典型例题 例 1 教材 P36例 3 利用二次函数的性质确定函数的最大 小 值 解 略 说明 对于具有实际背景的问题 首先要仔细审清题意 适当设出变量 建立适当的 函数模型 然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大 小 值 巩固练习 如图 把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料 如果矩形一边长为 x 面积为 y 试将 y 表示成 x 的函数 并画出 函数的大致图象 并判断怎样锯 才能使得截面面积最大 例 2 新题讲解 旅旅 馆馆 定定 价价 一个星级旅馆有 150 个标准房 经过一段时间的经营 经理得到一些定价和住房 率的数据如下 房价 元 住房率 16055 14065 12075 10085 欲使每天的的营业额最高 应如何定价 解 根据已知数据 可假设该客房的最高价为 160 元 并假设在各价位之间 房 价与住房率之间存在线性关系 设为旅馆一天的客房总收入 为与房价 160 相比降低的房价 因此当房价为yx 元时 住房率为 于是得 160 x 10 20 55 x 150 y 160 x 10 20 55 x 由于 1 可知 0 90 10 20 55 x x 因此问题转化为 当 0 90 时 求的最大值的问题 xy 将的两边同除以一个常数 0 75 得 1 2 50 17600 yyxx 由于二次函数 1在 25 时取得最大值 可知也在 25 时取得最大值 此时yxyx 房价定位应是 160 25 135 元 相应的住房率为 67 5 最大住房总收入为 13668 75 元 所以该客房定价应为 135 元 当然为了便于管理 定价 140 元也是比较合理的 例 3 教材 P37例 4 求函数在区间 2 6 上的最大值和最小值 1 2 x y 解 略 注意 利用函数的单调性求函数的最大 小 值的方法与格式 巩固练习 教材 P38练习 4 三 归纳小结 强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断 再利用定义证明 画函数图象通常借助计算机 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域 单调性的证明一般分五步 取 值 作 差 变 形 定 号 下结论 四 作业布置 1 书面作业 课本 P45 习题 1 3 A 组 第 6 7 8 题 提高作业 快艇和轮船分别从 A 地和 C 地同时开出 如下图 各沿箭头方向航行 快艇和轮船的速度分别是 45 km h 和 15 km h 已知 AC 150km 经过多少时间后 快艇和轮船之间的距离最短 课题 2 1 1 指数 教学目的 1 掌握根式的概念 2 规定分数指数幂的意义 3 学会根式与分数指数幂之间的相互转化 4 理解有理指数幂的含义及其运算性质 5 了解无理数指数幂的意义 教学重点 分数指数幂的意义 根式与分数指数幂之间的相互转化 有理指数幂的运算性 质 教学难点 根式的概念 根式与分数指数幂之间的相互转化 了解无理数指数幂 教学过程 五 引入课题 1 以折纸问题引入 激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性 2 由实例引入 了解指数指数概念提出的背景 体会引入指数的必要性 3 复习初中整数指数幂的运算性质 nnn mnnm nmnm baab aa aaa 4 初中根式的概念 如果一个数的平方等于 a 那么这个数叫做 a 的平方根 如果一个数的立方等于 a 那么这个数叫做 a 的立方根 六 新课教学 一 指数与指数幂的运算 1 根式的概念 一般地 如果 那么叫做的次方根 n th root 其中 1 且 axn xannn N 当是奇数时 正数的次方根是一个正数 负数的次方根是一个负数 此时 nnn 的次方根用符号表示 an n a 式子叫做根式 radical 这里叫做根指数 radical exponent 叫做被开方数 n ana radicand 当是偶数时 正数的次方根有两个 这两个数互为相反数 此时 正数的正的nna 次方根用符号表示 负的次方根用符号 表示 正的次方根与负的次方根n n an n ann 可以合并成 0 n aa 由此可得 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0 记作 00 n 思考 课本 P58探究问题 一定成立吗 学生活动 nn aa 结论 当是奇数时 naa nn 当是偶数时 n 0 0 a a a a aa nn 例 1 教材 P58例 1 解 略 巩固练习 教材 P58例 1 2 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定 1 0 nNnmaaa nm n m 1 0 11 nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 指出 规定了分数指数幂的意义后 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数 那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂 3 有理指数幂的运算性质 1 r a srr aa 0 Qsra 2 rssr aa 0 Qsra 3 srr aaab 0 0 Qrba 引导学生解决本课开头实例问题 例 2 教材 P60例 2 例 3 例 4 例 5 说明 让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用 巩固练习 教材 P63练习 1 3 4 无理指数幂 结合教材 P62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义 指出 一般地 无理数指数幂是一个确定的实数 有理数指数 0 是无理数 aa 幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 思考 教材 P63练习 4 巩固练习思考 教材 P62思考题 例 3 新题讲解 从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出升 然后用水填满 再倒出升 3 1 3 1 又用水填满 这样进行 5 次 则容器中剩下的纯酒精的升数为多少 解 略 点评 本题还可以进一步推广 说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题 七 归纳小结 强化思想 本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算 分数指数幂是根式的另一种表 示形式 根式与分数指数幂可以进行