两角和差的正弦余弦正切教案.doc

两角和与差的正弦、余弦、正切（1）教学目的：1巩固平面上的两点间距离公式，并能运用两点间距离公式推导出两角和与差的余弦公式，会初步运用解决具体问题2初步理解解析法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力3培养探索和创新的能力和意识教学过程：xyoP1P2M1N1N2M2Q一、复习引入：平面上的两点间距离公式1数轴上两点间的距离公式 2平面内任意两点，间的距离公式从点，分别作x轴的垂线, 与x轴交于点 (,0), (,0) 再从点,分别作y轴的垂线, 与y轴交于点, 直线, 与相交于Q点则：Q=|-| Q= =|-|由勾股定理： 从而得，两点间的距离公式： 二、讲解新课： 1探究反例：问题：的关系？思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2探究：在坐标系中a、b角构造a+b角3探究：作单位圆，构造全等三角形4探究：写出4个点的坐标，5计算，=6探究 由=导出公式展开并整理得所以 可记为 7探究特征熟悉公式的结构和特点； 此公式对任意a、b都适用公式记号8探究 cos(a-b)的公式以-b代b得：公式记号三、讲解范例：例1 计算 cos105 cos15 coscos-sinsin解：cos105=cos(60+45)=cos60cos45-sin60sin45=cos15 =cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45=coscos-sinsin= cos(+)=cos=0 例2已知sina=，cosb=求cos(a-b)的值解：sina=0，cosb=0 a可能在一、二象限，b在一、四象限若a、b均在第一象限，则cosa=，sinb= cos(a-b)=若a在第一象限，b在四象限，则cosa=，sinb=- cos(a-b)=若a在第二象限，b在一象限，则cosa=-，sinb= cos(a-b)=若a在第二象限，b在四象限，则cosa=-，sinb=- cos(a-b)=例3已知cos(2-)=-,sin (-2)=,且,0,求cos(+)的值 即(2-)-(-2)=+由、角的取值范围，分别求出2-、-2角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解 解：, 2-,- -2, 由cos(2-)=-得，sin (2-)=; 由sin (-2)=得，cos(-2)= cos(+)=cos(2-)-(-2)=cos(2-)cos(-2)+sin (2-)sin (-2)=- += 评注：在三角变换中，首先应考虑角的变换如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的常用的变换角的方法有：=(+)-,+2=(+)+,=,课 题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（2）一、复习引入：1两角和与差的余弦公式: 2求cos75的值 解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=3计算：cos65cos115-cos25sin115解：原式= cos65cos115-sin65sin115=cos(65+115)=cos180=-14 计算：-cos70cos20+sin110sin20原式=-cos70cos20+sin70sin20=-cos(70+20)=05已知锐角a,b满足cosa= cos(a+b)=求cosb解：cosa= sina=又cos(a+b)=0 a+b为钝角 sin(a+b)=cosb=cos(a+b)-a=cos(a+b)cosa+sin(a+b)sina = 二、讲解新课： 两角和与差的正弦 1 推导sin(a+b)=cos-(a+b)=cos(-a)-b=cos(-a)cosb+sin(-a)sinb=sinacosb+cosasinb即： （Sa+b）以-b代b得： （Sa-b）三、讲解范例：例1不查表，求下列各式的值：1 sin75 2 sin13cos17+cos13sin17解：1原式= sin(30+45)= sin30cos45+cos30sin45= 2原式= sin(13+17)=sin30= 例2 求证：cosa+sina=2sin(+a)证一（构造辅助角）：左边=2(cosa+ sina)=2(sincosa+cos sina)=2sin(+a)=右边 证二：右边=2(sincosa+cos sina)=2(cosa+ sina)= cosa+sina=左边例3 已知sin(a+b)=,sin(a-b)= 求的值解： sin(a+b)= sinacosb+cosasinb= = sin(a-b)= sinacosb-cosasinb= +：sinacosb= -：cosasinb=四、练习 1 在ABC中，已知cosA =，cosB =，则cosC的值为（A）（A） （B） （C） （D）解：因为C = p - (A + B)， 所以cosC = - cos(A + B) 又因为A,B(0, p), 所以sinA = , sinB =, 所以cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =2已知，求sin(a + b)的值 解： 又 又 sin(a + b) = -sinp + (a + b) = 六、课后作业：1已知sina + sinb = ，求cosa + cosb的范围解：设cosa + cosb = t， 则(sina + sinb)2 + (cosa + cosb)2= + t22 + 2cos(a - b) = + t2 即 cos(a - b) = t2 -又-1cos(a - b)1 -1t2 -1 t2已知sin(a+b) =，sin(a-b) =，求的值解：由题设：从而： 或设：x = x = 即 = 课 题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（3）一、复习引入：1两角和与差的正、余弦公式 2求证：cosx+sinx=cos(x) 证：左边= (cosx+sinx)=( cosxcos+sinxsin) =cos(x)=右边又证：右边=( cosxcos+sinxsin)=(cosx+sinx) = cosx+sinx=左边2已知sina+sinb= ， cosa+cosb= ，求cos(a-b)解： 2: sin2a+2sinasinb+sin2b= 2: cos2a+2cosacosb+cos2b= +: 2+2(cosacosb+sinasinb)=1 即：cos(a-b)=二、讲解新课： 两角和与差的正切公式 Ta+b ,Ta-b1tan(a+b)公式的推导 cos (a+b)0tan(a+b)= 当cosacosb0时, 分子分母同时除以cosacosb得： 以-b代b得：其中都不等于2注意：1必须在定义域范围内使用上述公式即：tana，tanb，tan(ab)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解 2注意公式的结构，尤其是符号3引导学生自行推导出cot(ab)的公式用cota，cotb表示cot(a+b)= 当sinasinb0时,cot(a+b)=同理，得：cot(a-b)=三、讲解范例：例1求tan15，tan75及cot15的值：解：1 tan15= tan(45-30)= 2 tan75= tan(45+30)= 3 cot15= cot(45-30)= 例2 已知tana=，tanb=-2 求cot(a-b)，并求a+b的值，其中0a90, 90b180 解：cot(a-b)= tan(a+b)=且0a90, 90b180 90a+b270 a+b=135例3 求下列各式的值：1 2tan17+tan28+tan17tan28解：1原式= 2 tan17+tan28=tan(17+28)(1-tan17tan28)=1- tan17tan28 原式=1- tan17tan28+ tan17tan28=1 四、课堂练习： 已知（）求；（）求的值（其中） 分析：（）观察（）的结构，直接代入公式；若改求呢？（）由（）直接运用公式（）容易求出的值但由已知的三角函数值求角时，所得的解不唯一的因此，必须根据已知条件进行分析，这就要确定的范围 计算下列各式的值（） （）分析：观察探求的结构，可以逆用公式（）求解 计算的值分析：因为，所以原式可以看成是课 题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（4）一、复习引入：1两角和与差的正、余弦公式 二、讲解范例： 例1 化简解：原式=或解：原式=例2 已知，求函数的值域解： 函数y的值域是例3 已知 ， 求的值解： 即： 从而而例4 已知 求证tana=3tan(a+b)证：由题设：即 tana=3tan(a+b)例5 已知，求sin2a的值解： 又 sin2a=例7求证：tan20tan30tan30tan40tan40tan201选题意图：考查两角和与差的正切变形公式的应用证明：左端说明：可在ABC中证明+= =12 求证：证明: 3 求证：证明:七、课后记：1求值：（1）选题意图：考查两角和与差三角函数公式的应用和三角函数关系式的变形能力解：(1)原式 （2）原式说明：在三角函数关系式的变形过程中，要注意统一角、统一函数，要注意角与角之间的和、差、倍、半关系和特殊角之间的关系等2已知3sinsin（2）且tan1，求tan（）选题意图：考查两角和与差的三角函数公式的应用和三角函数关系式的变形能力解：由3sinsin（2）即3sin（）sin()得：3sin（）cos3cos（）sinsin（）coscos（）sin2sin（）cos4cos（）sintan（）2tan又tan1 tan（）2说明：本题解法的关键是要注意到（），2（）课 题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（5）一、复习引入：1两角和与差的正、余弦公式 二、讲解范例： 例1 在斜三角形ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证一：在ABC中，A+B+C=p A+B=p-C从而有 tan(A+B)=tan(p-C) 即：tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC 即：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证二：左边= tan(A+B)(1-tanAtanB) +tanC=tan(p-C) (1-tanAtanB) +tanC =-tanC+ tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=右边例2 求(1+tan1)(1+tan2)(1+tan3)(1+tan44)解： (1+tan1)(1+tan44)=1+tan1+tan44+tan1tan44=1+tan45(1- tan1tan44)+ tan1tan44=2 同理：(1+tan2)(1+tan43)=2 (1+tan3)(1+tan42)=2 原式=222例3 已知tanq和是方程 的两个根，证明：p-q+1=0 证：由韦达定理：tanq+=-p ，tanq=q p-q+1=0例4 已知tana=，tan(-b)=(tanatanb+m),又a,b都是钝角，求a+b的值 解：两式作差，得：tana+tanb=(1-tanatanb)即 又 a,b都是钝角 pa+b2p a+b 例5 已知tana，tanb是关于x的一元二次方程x2+px+2=0的两实根，求的值 解： tana，tanb是方程x2+px+2=0的两实根 例6 求的值解：原式= =三、课堂练习：1若tanAtanBtanAtanB1，则cos（AB）的值为( )2已知k（k）则（1tan）（1tan）的值为( )A1 B1 2 23若atan100