高中数学 13导数素材 新人教版

用心 爱心 专心1 概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结 十三十三 导导 数数 1 1 导数的背景 导数的背景 1 切线的斜率 2 瞬时速度 3 边际成本 如如一物体的运 动方程是 2 1stt 其中s的单位是米 t的单位是秒 那么物体在3t 时的瞬时速度 为 答 5 米 秒 2 2 导函数的概念 导函数的概念 如果函数 f x在开区间 a b 内可导 对于开区间 a b 内的 每一个 0 x 都对应着一个导数 0 fx 这样 f x在开区间 a b 内构成一个新的函 数 这一新的函数叫做 f x在开区间 a b 内的导函数 记作 0 lim x y fxy x 0 lim x f xxf x x 导函数也简称为导数 3 3 求 求 yf x 在在 0 x处的导数的步骤处的导数的步骤 1 求函数的改变量 00 yf xxf x 2 求平均变化率 00 f xxf xy xx A 3 取极 限 得导数 0 0 lim x y fx x A 4 4 导数的几何意义 导数的几何意义 函数 f x在点 0 x处的导数的几何意义 就是曲线 yf x 在 点 0 0 P x f x处的切线的斜率 即曲线 yf x 在点 0 0 P x f x处的切线的斜率是 0 fx 相应地切线的方程是 000 yyfxxx 特别提醒特别提醒 1 1 在求曲线的切 线方程时 要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线 还是过某点的切线区分所求切线是曲线上某点处的切线 还是过某点的切线 曲线上某点 处的切线只有一条 而过某点的切线不一定只有一条 即使此点在曲线上也不一定只有一 条 2 2 在求过某一点的切线方程时 要首先判断此点是在曲线上 还是不在曲线上 只 有当此点在曲线上时 此点处的切线的斜率才是 0 fx 如 如 1 1 P 在曲线 3 2 3 xxy上移动 在点 P 处的切线的倾斜角为 则 的取 值范围是 答 4 3 2 0 2 2 直线13 xy是曲线axy 3 的一条切线 则实数a的值为 答 3 或 1 3 3 已知函数mxxxf 23 2 1 2 m为常数 图象上 A处的切线与03 yx的夹角为 4 则A点的横坐标为 答 0 或 6 1 4 4 曲线1 3 xxy在点 3 1 处的切线方程是 答 410 xy 5 5 已知函数xaxxxf4 3 2 23 又导函数 xfy 的图象与x轴交于 0 2 0 0kkk 求a的值 求过点 0 0 的曲线 xfy 的切线方程 答 1 4yx 或 35 8 yx 5 5 导数的运算法则 导数的运算法则 1 常数函数的导数为 0 即0C C 为常数 2 1nn xnxnQ 与此有关的如下 1 1 2 2 111 2 xxx xxx 3 若 f x g x有导数 则 用心 爱心 专心2 f xg xfxg x C f xCfx A 如 如 1 1 已知函数 nm mxxf 的导数为 3 8 xxf 则 n m 答 1 4 2 2 函数 2 1 1 xxy的导数为 答 2 321yxx 3 3 若对任意xR 3 4 1 1fxxf 则 xf是 答 2 4 xxf 6 6 多项式函数的单调性 多项式函数的单调性 1 1 多项式函数的导数与函数的单调性 多项式函数的导数与函数的单调性 若 0fx 则 f x为增函数 若 0fx 则 f x为减函数 若 0fx 恒 成立 则 f x为常数函数 若 fx 的符号不确定 则 f x不是单调函数 若函数 yf x 在区间 a b 上单调递增 则 0fx 反之等号不成立反之等号不成立 若 函数 yf x 在区间 a b 上单调递减 则 0fx 反之等号不成立反之等号不成立 如 如 1 1 函数 cbxaxxxf 23 其中cba 为实数 当03 2 ba时 xf的单调性是 答 增函数 2 2 设0 a函数axxxf 3 在 1 上单调函数 则实数 a的取值范围 答 03a 3 3 已知函数bbxxxf 3 为常数 在区 间 1 0 上单调递增 且方程0 xf的根都在区间 2 2 内 则b的取值范围是 答 3 4 4 4 已知1 2 xxf 22 24 xxxg 设 xfxgx 试问是否存在实数 使 x 在 1 上是减函数 并且在 0 1 上是增函数 答 4 2 2 利用导数求函数单调区间的步骤 利用导数求函数单调区间的步骤 1 求 fx 2 求方程 0fx 的根 设根为 12 n x xx 3 12 n x xx 将给定区间分成 n 1 个子区间 再在每一个子区间 内判断 fx 的符号 由此确定每一子区间的单调性 如如设函数cxbxaxxf 23 在 1 1 x处有极值 且2 2 f 求 xf的单调区间 答 递增区间 1 1 递减 区间 1 1 7 7 函数的极值 函数的极值 1 1 定义 定义 设函数 f x在点 0 x附近有定义 如果对 0 x附近所有的点 都有 0 f xf x 就说是 0 f x函数 f x的一个极大值 记作y极大值 0 f x 如果对 0 x附近所有的点 都有 0 f xf x 就说是 0 f x函数 f x的一个极小值 记作 y极小值 0 f x 极大值和极小值统称为极值 2 2 求函数 求函数 yf x 在某个区间上的极值的步骤在某个区间上的极值的步骤 i 求导数 fx ii 求方 程 0fx 的根 0 x iii 检查 fx 在方程 0fx 的根 0 x的左右的符号 左正 右负 f x在 0 x处取极大值 左负右正 f x在 0 x处取极小值 特别提醒特别提醒 1 1 0 x是极值点的充要条件是 0 x点两侧导数异号 而不仅是 0 fx 0 0 fx 0 是 0 x为极值点的必要而不充分条件 2 2 给出函数极大 小 值的条件 一定要既考虑 0 0fx 又要考虑检验 左正右负 左负右正 的转化 否则条件没有用完 这 一点一定要切记 如 如 1 1 函数1 1 32 xy的极值点是 A 极大值点1 x B 极大值点0 x C 极小值点0 x D 极小值点1 x 答 C 2 2 已知函数 1 6 23 xaaxxxf有极大值和极小值 则实数a的取值范围是 答 6a 或3a 3 3 函数 322 1f xxaxbxax 在处有极小值 10 则 a b 的 值为 答 7 4 4 已知函数 32 f xxbxcxd 在区间 1 2 上是减函数 用心 爱心 专心3 O b a x y O b a O b a x y yfx x y O b a x y O b a x y B C D A 那么b c有最 值 答 大 15 2 8 8 函数的最大值和最小值 函数的最大值和最小值 1 1 定义 定义 函数 f x在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点 值中的 最大值 函数 f x在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端 点值中的 最小值 2 2 求函数 求函数 yf x 在在 a b 上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤 1 求函数 yf x 在 a b 内的极值 极大值或极小值 2 将 yf x 的各极值与 f a f b比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 如 如 1 1 函数 51232 23 xxxy在 0 3 上的最大值 最小值分别是 答 5 15 2 2 用总长 14 8m 的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作容器的底面的一边比另 一边长 0 5m 那么高为多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 答 高为 1 2 米 时 容积最大为 3 9 5 cm 特别注意特别注意 1 利用导数研究函数的单调性与最值 极值 时 要注意列表 2 要善于应用函数的导数 考察函数单调性 最值 极值 研究函数的性态 数