2010高三数学高考《平面向量》专题学案：平面向量的数量积

用心 爱心 专心 第第 3 课时课时 平面向量的数量积平面向量的数量积 1 两个向量的夹角 已知两个非零向量a和b 过 O 点作OA a OB b 则 AOB 0 180 叫做向量a与b的 当 0 时 a与b 当 180 时 a与b 如果a与b的夹角是 90 我们说a与b垂直 记作 2 两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b 它们的夹角为 则数量 叫做a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b 规定零向量与任一向量的数 量积为 0 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 3 向量的数量积的几何意义 b cos 叫做向量b在a方向上的投影 是向量a与b的夹角 a b的几何意义是 数量a b等于 4 向量数量积的性质 设a b都是非零向量 e是单位向量 是a与b的夹角 e a a e a b 当a与b同向时 a b 当a与b反向时 a b cos a b 5 向量数量积的运算律 a b a b a b a b c 例例 1 已知 a 4 b 5 且a与b的夹角为 60 求 2a 3b 3a 2b 解解 2a 3b 3a 2b 4 典型例题典型例题 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 变式训练变式训练 1 已知 a 3 b 4 a b 5 求 2a 3b 的值 解解 56 例例 2 已知向量a sin 1 b 1 cos 22 1 若 a b 求 2 求 a b 的最大值 解 解 1 若ba 则0cossin 即1tan 而 2 2 所以 4 2 4 sin 223 cos sin23 ba 当 4 时 ba 的最大值为12 变式训练变式训练 2 已知 cos sin a cos sin b 其中0 1 求证 ab 与ab 互相垂直 2 若ka b与a k b的长度相等 求 的值 k为非零的常数 证明 证明 222222 cossin cossin 0ababab ab 与ab 互相垂直 2 k a coscos sinsin bkk a k coscos sinsin bkk 2 12 cos k a bkk 2 1 2 cos a kbkk 而 22 12 cos 12 cos kkkk cos 0 2 例例 3 已知 O 是 ABC 所在平面内一点 且满足 OB OC OB OC 2OA 0 判断 ABC 是哪类三角形 解解 设 BC 的中点为 D 则 OCOB OAOCOB2 0 2BC AD 0 BC AD ABC 是等 腰三角形 变式训练变式训练 3 若 1 2 2 3 2 5 ABC 则 ABC 的形状是 用心 爱心 专心 解解 直角三角形 提示 1 1 3 3 0 ABACAB ACABAC 例例 4 已知向量m cos sin 和n 2 sin cos 2 且 nm 5 28 求 cos 82 的值 解解 nm cos sin 2 cos sin 由已知 cos sin 2 2 cos sin 2 25 128 化简 cos 25 7 4 又 cos2 25 16 2 4 cos 1 82 2 cos 25 16 2 4 cos 1 82 0 cos 25 16 2 4 cos 1 82 5 4 变式训练变式训练 4 平面向量 13 3 1 22 ab 若存在不同时为0的实数k和t 使 2 3 xatb ykatb 且xy 试求函数关系式 kf t 解 解 由 13 3 1 22 ab 得0 2 1a bab 22 222 3 0 3 3 0atbkatbkata bk ta bt tb 333 11 430 3 3 44 kttkttf ttt 1 运用向量的数量积可以解决有关长度 角度等问题 因此充分挖掘题目所包含的几何意 义 往往能得出巧妙