高中数学极值点偏移问题

极值点偏移问题极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组 赵拥权沈阳市第十一中学数学组 赵拥权 一 极值点偏移 俗称峰谷偏 问题的定义 对于可导函数在区间 a b 上只有一个极大 小 值点 方程 f x m 的 0 0 解分别为且 b 1 2 1 0 0左 2 则称函数 f x 在区间 a b 上极值点偏移 1 2 2 0 0右 二 极值点偏移的判定定理 对于可导函数在区间 a b 上只有一个极大 小 值点 方程 0 的解分别为且 b 0 1 2 1 2 1 若则即函数 f x 在区间 a b 上极大值点右偏 1 2 0 2 1 2 2 0 0 即峰偏右 2 若则即函数 f x 在区间上 a b 极小值点左偏 即 1 0 0 谷偏左 3 若则即函数 f x 在区间上 a b 极大值点左偏 即 1 2 0 2 1 2 2 0 0 峰偏左 4 若则即函数 f x 在区间上 a b 极小值点右偏 即 1 2 0 2 1 2 2 0 0 谷偏右 x x 1 2 2 1 2 2 y m x y f x x x 0 0 拓展 1 若 则的图象关于直线对称 特别地 若 xbfxaf xf 2 ba x 或 f x f 2a x 则的图象关于直线对称 xafxaf xfax 2 若函数 f x 满足有下列之一成立 0 f x 在递增 在 a 2a 递减 且 f a x f a x f x f 2a x 0 f x 在 0 a 递减 在 a 2a 递增 且 f a x f 2a x 则函数 f x 在 0 2a 的图象关于直线 x a 偏移 偏对称 俗称峰谷偏函数 其中 极大值左 偏 或右偏 也称峰偏左 或右 极小值偏左 或偏右 也称谷偏左 或右 性质 1 的图象关于直线对称若则 xfax 1 2 0 2 1 2 0 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 0 2 已知函数是满足条件的极大值左偏 峰偏左 若则则 1 2 0 2 1 2 1 2 及 1 2 2 1 2 2 0 极值点偏移解题步骤 求函数 f x 的极值点 0 构造函数 F x f x f F x f f F x f x f F x f x f 0 0 0 0 2 0 确定 F x 单调性 2 0 结合 F 0 0 F 0 F 判断 F x 符号从而确定 f x f f x 与 f 0 0 0 0 0 2 0 f x 与 f 的大小关系 2 0 答题模式 已知函数 y f x 满足 为函数 y f x 的极值点 求证 1 2 0 1 2F 0 0 从而得到 x 0 时 f x f 上 0 0 1 2016 年全国 I 高考 已知函数有两个零点 设 x1 x2是 的两个零点 证明 x21 时 f x g x 如果且证明 12 xx 12 f xf x 12 2xx 证明 由题意可知 g x f 2 x 得 g x 2 x 2x e 令 F x f x g x 即 2 2 xx F xxexe 于是 22 1 1 xx F xxee 当 x 1 时 2x 2 0 从而 x 0 从而函数 F x 在 2x 2 e10 0 F x e 又所以 1 是增函数 又 F 1 F x F 1 0 即 f x g x 1 1 ee0 所以x 1时 有 证明 1 若 121212 1 1 0 1 xxxxxx 12 由 及f xf x则与矛盾 2 若 121212 1 1 0 xxxxxx 12 由 及f xf x得与矛盾 根据 1 2 得 1212 1 1 0 1 1 xxxx 不妨设 由 可知 则 所以 从而 2 f x 2 g x 2 g x 2 f 2 x 2 f x 2 f 2 x 因为 所以 又由 可知函数 f x 在区间 1 f x 2 f 2 x 2 1x 2 21x 1 内事增函数 所以 即 2 1 x 2 2x 12 xx 3 已知函数xaaxxxf 2 ln 2 I 讨论 xf的单调性 II 设0 a 证明 当 a x 1 0 时 1 1 x a fx a f III 若函数 xfy 的图像与 x 轴交于 A B 两点 线段 AB 中点的横坐标为 x0 证明 f x0 0 解 I 0 f x 的定义域为 1 21 1 2 2 xax fxaxa xx i 若0 0 0 afxf x 则所以在单调增加 ii 若 1 0 0 afxx a 则由得 且当 11 0 0 0 xfxxfx aa 时当时 所以 1 0 f x a 在单调增加 在 1 a 单调减少 II 设函数 11 g xfxfx aa 则 32 22 ln 1 ln 1 2 2 2 111 g xaxaxax aaa x g xa axaxa x 当 1 0 0 0 0 0 xg xgg x a 时而所以 故当 1 0 x a 时 11 fxfx aa 8 分 III 由 I 可得 当0 ayf x 时函数的图像与 x 轴至多有一个交点 故0a 从而 f x的最大值为 11 0 ff aa 且 不妨设 121212 1 0 0 0 0 A xB xxxxx a 则 由 II 得 111 211 0 fxfxf x aaa 从而 12 210 21 2 xx xxx aa 于是 由 I 知 0 0 fx 4 已知函数 m若 f x 有两个极值点且求证 1 2 2 1 2 1 2 5 已知函数 a若 f x 有两个不同零点且其极值点为求证 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 已知函数 a 其图象与轴交于 A B 两点且求 1 0 2 0 1 2 证 1 2 1 1 2 1 2 求证 1 2 0 7 已知函数 a若 f x 有两个不同零点且求证 1 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 8 已知函数 f 求证 1 2 且0 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 9 已知函数 a若 f x 有两个不同零点且 R 1 2 1 2 10 已知函数 f 求证 0 1 2 0且 1 2 1 2 11 已知函数 a若 f x 有两个不同零点且求证 1 2 1 2 1 2 0 13 已知函数 a 2 R 令g x 在 0 3 单调递增求 a 范围 当 a 2 时 函数 h x f x mx 的图象与轴交于 A B 且又是 h x 导 1 0 2 0 0 1 0 0且 1 1 2 1时讨论 的单调性 并确定其极值 若对都有 f x 求 k 范围 2 4 若且 f 证明 1 2 1 2 1 2 0 讨论 的单调性 f x 的极值点为若存在且求证 1 2 0 1 2 1 2 2 16 已知函数 a 2 1 1 讨论 的单调性 若 f x 存在两个极值点 证明 1 2 1 2 1 17 已知函数与 g x 3 在 1 1 处有相同切线 若 y 2 x n 与 y f x 图象有两个交点 求 n 范围 若两个极值点 证明 3 2 2 2 有 1 2 1 2 2 2 1 18 已知函数 a 2 2 讨论 的单调性 若 f x g x a 1 有两个不同零点 证明 2 2 1 2 1 2 2 0 19 已知函数 a 2 讨论 的单调性 若 f x lng x a 与 y m m图象有两个交点 A B 线段 A B 中点为证明 2 0 20 已知函数图象的一条切线为 x 轴 3 2 2 3 求 a 值 令 g x 若存在满足证明 不同 1 2 1 2 1 2 1 21 已知函数 F x 与 f x lnx 关于直线 y x 对称 若 xf x 对恒成立 求 a 最大值 1 0 设 f x 在 1 的实根 若在区间 1 为 1 1 上存在求证 1 2 1 2 2 22 已知函数 a 1 2 2 若函数 f x 的图象在 x 0 处的切线方程为 y 2x b 求 a b 的值 若函数 f x 在 R 上单调递增 求实数 a 的取值范围 如果函数 g x f x a 恰有两个不同的极值点证明 1 2 2 1 2 1 2 2 2 23 已知函数 a 2 x alnx a 2 讨论 的单调性 设函数若使得成立求实数 a 取值范 3 2 2 4 0 0 24 已知