2011高考数学萃取精华试题（18）新人教A版

用心 爱心 专心 1 y x 0 M F1F2 P N 20112011 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 1818 1 1 揭阳一模揭阳一模 19 本题满分 本题满分 14 分 分 已知如图 椭圆方程为 22 2 1 16 xy b 40 b P 为椭圆上的动点 F1 F2为椭圆的两焦点 当点 P 不在 x 轴上时 过 F1作 F1PF2的外角 平分线的垂线 F1M 垂足为 M 当点 P 在 x 轴上时 定义 M 与 P 重合 1 求 M 点的轨迹 T 的方程 2 已知 0 0 O 2 1 E 试探究是否存在这样的点Q Q是轨迹 T 内部的整点 平 面内横 纵坐标均为整数的点称为整点 且 OEQ 的面积2 OEQ S 若存在 求出点 Q 的 坐标 若不存在 说明理由 19 解 1 当点 P 不在 x 轴上时 延长 F1M 与 F2P 的延长线相交于点 N 连结 OM 1 NPMMPF 1 NMPPMF PNM 1 PFM M 是线段 1 NF的中 点 1 PNPF 2 分 OM 2 1 NF2 PNPF 2 2 1 12 2 1 PFPF 点 P 在椭圆上 21 PFPF 8 OM 4 4 分 当点 P 在 x 轴上时 M 与 P 重合 M 点的轨迹 T 的方程为 222 4xy 6 分 2 连结 OE 易知轨迹 T 上有两个点 A 4 0 B 4 0 满足2 OEAOEB SS 分别过 A B 作直线 OE 的两条平行线 1 l 2 l 同底等高的两个三角形的面积相等 符合条件的点均在直线 1 l 2 l上 7 分 1 2 OE k 直线 1 l 2 l的方程分别为 1 4 2 yx 1 4 2 yx 8 分 设点 Q x y x yZ Q在轨迹 T 内 22 16xy 9 分 用心 爱心 专心 2 分别解 22 16 1 4 2 xy yx 与 22 16 1 4 2 xy yx 得 2 42 5 x 与 2 24 5 x 11 分 x yZ x为偶数 在 2 4 2 5 上2 0 2x 对应的1 2 3y 在 2 2 4 5 上2 0 2x 对应的3 2 1y 13 分 满足条件的点Q存在 共有 6 个 它们的坐标分别为 2 1 0 2 2 3 2 3 0 2 2 1 14 分 20 本题满分 本题满分 14 分 分 设函数 1 ln f xx xm g xx 1 当1m 时 求函数 yf x 在 0 m上的最大值 2 记函数 p xf xg x 若函数 p x有零点 求m的取值范围 20 解 1 当 0 1 x 时 1 f xxxm 22 11 24 xxmxm 当 1 2 x 时 max 1 4 f xm 2 分 当 1 xm 时 1 f xx xm 22 11 24 xxmxm 函数 yf x 在 1 m上单调递增 2 max f xf mm 4 分 由 2 1 4 mm 得 2 1 0 4 mm 又1m 12 2 m 当 12 2 m 时 2 max f xm 当 12 1 2 m 时 max 1 4 f xm 6 分 2 函数 p x有零点即方程 1 ln0f xg xx xxm 有解 即ln 1 mxx x 有解 7 分 令 ln 1 h xxx x 用心 爱心 专心 3 当 0 1 x 时 2 lnh xxxx 1 212 210h xx x 9 分 函数 h x在 0 1 上是增函数 1 0h xh 10 分 当 1 x 时 2 lnh xxxx 1 21h xx x 2 21 1 21 xxxx xx 0 12 分 函数 h x在 1 上是减函数 1 0h xh 13 分 方程ln 1 mxx x 有解时0m 即函数 p x有零点时0m 14 分 21 本题满分 本题满分 14 分 分 已知 12 x x 12 xx 是方程 2 650 xx 的两根 且 1n n n x y x 21 1 5 nn n xx y 1 求 123 y yy的值 2 设 1nnn zy y 求证 1 26 n i i zn 3 求证 对nN 有 2 2 11 625 26 nn n yy w w 21 解 1 解方程 2 650 xx 得 1 1x 2 5x 1 分 2 1 1 5 x y x 2 分 32 1 1 5 26xx y 3 2 2 26 5 x y x 3 分 nN 用心 爱心 专心 4 43 2 1 5 135xx y 4 3 3 135 26 x y x 4 分 2 由 21 1 5 nn n xx y 得 2 1 1 5 n nn x xy 即 1 1 5 n n y y 1 51 nnn yyy 6 分 当2n 时5 n y 于是 112 26 zy y 1nnn zy y 51 n y 26 2n 12 1 26 n in i zzzzn 9 分 3 当1n 时 21 1 25 yy 2526 625625 结论成立 10 分 当2n 时 有 1 11 11 111 5 5 26 nn nnnn nnnn yy yyyy yyy y 12 2 1 26 nn yy 21 1 1 26n yy 1 11 25 26n 12 分 22212122221 nnnnnnnnn yyyyyyyyy 212122221 nnnnnnnn yyyyyyyy 12322 1111 25 262626 nnn 1 12 11 1 126111 2626 1 25625 26625 26 1 26 nn nn 对nN 有 2 2 11 625 26 nn n yy nN 14 分 2 2 徐州一模徐州一模 17 本小题满分 15 分 设常数0a 函数 2 ln2 ln1f xxxax 1 令 g xxfx 0 x 求 g x的最小值 并比较 g x的最小值与 0 的大小 2 求证 f x在 0 上是增函数 3 求证 当1x 时 恒有 2 ln2 ln1xxax 用心 爱心 专心 5 17 解 ln ln 2 ln1f xxxxax 0 x 112 1 ln ln a fxxx xxx 2ln2 1 xa xx 2 分 2ln2g xxfxxxa 0 x 22 1 x g x xx 令 0g x 得2x 4 分 列表如下 x 0 2 2 2 g x 0 g x A 极小值 2 g A g x在2x 处取得极小值 2 22ln22ga 即 g x的最小值为 2 22ln22ga 6 分 2 2 1 ln2 2ga ln21 1 ln20 又0a 2 0g 8 分 证明 由 知 g x的最小值是正数 对一切 0 x 恒有 0g xxfx 10 分 从而当0 x 时 恒有 0fx 11 分 故 f x在 0 上是增函数 12 分 证明 由 知 f x在 0 上是增函数 当1x 时 1 f xf 13 分 又 2 1 1 ln 12 ln1 10fa 14 分 0f x 即 2 1 ln2 ln0 xxax 15 分 2 ln2 ln1xxax 故当1x 时 恒有 2 ln2 ln1xxax 16 分 18 本小题满分 14 分 12 2 k Aaaak 其中 12 i aik Z 由A中的元素构成两个相应 的集合 Sab aAbAabA Tab aAbAabA 其中 ab 是有序数对 集合S和T中的元素 个数分别为m和n 若对于任意的aA 总有aA 则称集合A具有性质P I 对任何具有性质P的集合A 证明 1 2 k k n II 判断m和n的大小关系 并证明你的结论 18 解 I 证明 首先 由A中元素构成的有序数对 ij aa 共有 2 k个 用心 爱心 专心 6 因为0A 所以 12 ii aaT ik 又因为当aA 时 aA 时 aA 所以当 ij aaT 时 12 ji aaT ijk 从而 集合T中元素的个数最多为 2 1 1 22 k k kk 即 1 2 k k n II 解 mn 证明如下 1 对于 abS 根据定义 aA bA 且abA 从而 abbT 如果 ab 与 cd 是S的不同元素 那么ac 与bd 中至少有一个不成立 从而 abcd 与bd 中也至少有一个不成立 故 abb 与 cdd 也是T的不同元素 可见 S中元素的个数不多于T中元素的个数 即mn 2 对于 abT 根据定义 aA bA 且abA 从而 abbS 如 果 ab 与 cd 是T的不同元素 那么ac 与bd 中至少有一个不成立 从而 abcd 与bd 中也不至少有一个不成立 故 abb 与 cdd 也是S的不同元素 可见 T中元素的个数不多于S中元素的个数 即nm 由 1 2 可知 mn 19 本小题满分 16 分 公民在就业的第一年就交纳养老储备金 1 a 以后每年交纳的数目均比上一年增加 0 d d 历年所交纳的储备金数目 12 aa 是一个公差为d的等差数列 与此同时 国 家给予优惠的计息政策 不仅采用固定利率 而且计算复利 如果固定年利率为 0 r r 那么 在第n年末 第一年所交纳的储备金就变为 1 1 1 nar 第二年所交纳的储备金就变 为 2 2 1 nar 以 n T表示到第n年末所累计的储备金总额 求证 nnn TAB 其中 n A是一个等比数列 n B是一个等差数列 用心 爱心 专心 7 19 解 11 Ta 对2n 反复使用上述关系式 得 2 121 1 1 1 nnnnnn TTraTrara 12 121 1 1 1 nn nn ararara 在 式两端同乘1r 得 12 121 1 1 1 1 1 nn nnn r Tarararar 得 12 1 1 1 1 1 nnn nn rTardrrra 1 1 1 1 nn n d rrara r 即 11 22 1 n n a rda rdd Trn rrr 如果记 1 2 1 n n a rd Ar r 1 2 n a rdd Bn rr 则 nnn TAB 其中 n A是以 1 2 1 a rd r r 为首项 以1 0 r r 为公比的等比数列 n B是以 1 2 a rdd rr 为首项 d r 为公差的等差数列 20 本小题满分 16 分 数列 n a中 11 1 211 n n n na aanN nna 其前n项 的和为 n S 求证 1 1 1 1 1 2 21 n i i i i S SS 20 证明 假设 1 n n b na 1 1 1 1 n n b na 1 分 1 11 n n n na a nna 1 1 1111 1 1 1 1 nn n nnn n bb na nanana n nna 11 1 n nn na nana 3 分 n b是首项为 2 公差为 1 的等差数列 4 分 用心 爱心 专心 8 2 1 11 n bnn 11 1 n n a nbn n 11 1nn 6 分 11111 1 223