高中数学函数知识.doc

高中数学函数知识一 有关函数的基本概念数学中的重要概念之一“函数”最早是德国数学家莱布尼茨在1692年发表的一篇论文中提出的，表示函数的记号f(x)是瑞士数学家欧拉于1734年引进的在中国，函数一词最早出现在1859年李善兰和伟烈亚力合译的代微积拾级一书中最初，莱布尼茨只是把函数作为幂的同义词来使用，后来，他又用函数表示曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线长等几何量现在一般认为，函数作为幂的同义语是函数概念的解析起源用函数表示几何量是这个概念的几何起源正如其他的数学概念一样，伴随着数学的发展，函数的定义也在不断地变化和改进下面，我们分三个阶段介绍函数概念的演变第一阶段：1718年，瑞士著名的数学家族中的一员约翰贝努利如下定义函数：“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量”约翰的学生、著名数学家欧拉于1748年在他的无穷分析引论一书中改进了上述定义，他说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”在这里，欧拉把变数和常量以及由它们的加、减、乘、除、开方、指数、对数等算法联系起来所构成的式子，均称为函数欧拉还曾经把函数定义为“在xy平面上徒手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”1775年，欧拉在他的微分学原理中又给出了一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数”总之，莱布尼茨、贝努利、欧拉等人把函数的意义拓广了这时，人们对于函数的认识还普遍存在着下述观点：1由连续曲线表示的函数仍是一个连续函数，并且可以由解析表达式表示2把是否可由唯一的表达式给出，作为判断“真”、“假”函数的标准例如，不连续的曲线或折线不能由唯一的式子表达，因此它代表的函数不是一个函数，而是多个函数的集合3在区间a，b内恒有相同函数值的两个函数，必定是完全相等的函数4只有周期性曲线，才能用周期函数(如三角函数)表示第二阶段：1807年12月21日，在法国科学院举行的一次会议上，39岁的数学家傅里叶宣读了他的一篇关于热传导基础的论文与会的数学家震惊了，因为这篇论文使上述人们头脑中的函数概念必须改写傅里叶宣布了这样一个惊人的事实：在有限闭区间上由任意图形定义的任意函数都可以用正弦和余弦函数之和表示他还特别指出：任何定义在区间(，)上的函数都能表示为所给出的函数：它的图像是一个不连续的直线和孤立的点(如下图)傅立叶证明了这个函数也可以用下列一个式子来表示，即：可见，一个不连续的曲线可以由一个式子表示，也可以由几个式子来表示因此，欧拉时代人们判别真假函数的标准完全失去了意义傅里叶得出的结果完全出乎当时数学家们的意料，而傅里叶的论文中也有不严密之处，因此，这篇论文送交法国科学院评审时被否定了4年后，傅里叶将修改的论文再次呈交科学院，这次该论文获得了热传导问题研究的大奖傅里叶的工作把函数的研究范围扩展了，尽管这种扩展带来了更广泛意义下的函数连续性、可微性、可积性等一些新问题，而正是这些问题成为柯西寻求函数新定义的动因第三阶段：1821年，柯西在分析教程一书中给出了与我们现在中学课本中的函数定义非常相近的一个定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数之值，其它变数之值亦可随之而确定时，则将最初的变数称之为自变数，其他各变数则称为函数”德国数学家狄利克雷和黎曼分别于1837年与1851年又给出了函数的一个新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定的值与之相对应，不管x、y之间的对应方式如何，均将y称为x的函数”按照这个定义，即使像下面定义的f(x)，仍可说是函数：f(x)在x为有理数时为1，在x为无理数时为0这就是有名的狄里克雷函数至此，函数必须由表达式来表示的限制也没有了，因此，函数的范围又一次扩张了19世纪末，随着集合论的建立，函数概念中关于变量的条件进一步放宽，这时，变量的概念完全被集合的元素所取代函数概念的扩展是所有数学概念发展的一个典型例子：总是从不精确逐步精确起来在函数的历史中，傅里叶的贡献尤其突出，他敢于冲破人们(包括大数学家们)对于函数的固有观念，由此加速了后人对于函数定义的新探讨函数图象的平移变换 函数图象变换的一种(1)设函数yf(x)在直角坐标平面上的图象是曲线C，若沿着纵轴方向，将C向上平行移动b(b0)个单位，则移动后所得的曲线C就是函数yf(x)b的图象(图1)；若沿着纵轴的方向将C向下平行移动b(b0)个单位，则移动后所得的曲线C就是函数 yf(x)b的图象(图1)事实上，函数yf(x)与函数yf(x)b，yf(x)b都具有相同的定义域，而对于定义域上每一个点x，函数yf(x)b的值总比yf(x)的值大b函数yf(x)b的值总比yf(x)的值小b(2)设函数yf(x)在直角坐标平面上的图象是曲线C，若沿着横轴方向，将C向左平行移动a(a0)个单位，则移动后所得到的曲线C就是函数yf(xa)的图象(图2)；若沿着横轴方向，将C向右平行移动a(a0)个单位，则移动后所得到的曲线C就是函数yf(xa)的图象(图2)事实上，对于定义域上的任一点xx0，函数yf(x)的值为f(x0)当xx0a时，函数yf(xa)的值恰好是f(x0)由此可见，函数yf(xa)的定义域是函数yf(x)的定义域向左平移a个单位；当取xx0a时，函数yf(xa)的值也恰好是f(x0)也可见，函数yf(xa)的定义域是函数yf(x)的定义域向右平行移动a个单位例如，将函数yx2的图象C向右平移2个单位可得函数y=(x-2)2的图象C，再将C向上平移1个单位，就得到函数y(x2)21的图象C(图3)极大值 设x0是函数f(x)定义域区间I内的一点，函数f(x)在x0点的一个邻域内有定义，若存在一个正数s ，使满足0|xx0|s 的一切x，都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取得极大(小)值，函数值f(x0)称为函数f(x)的一个极大(小)值(图1)，x0称为函数f(x)的极大(小)值点函数的极大值和极小值统称为函数的极值极大值点和极小值点统称为极值点由定义可知，函数的极值只限于在某些点(极值点)的邻域内相比较而言的，因此是局部性的函数的极大(小)值同函数的最大(小)值不同，因为最大(小)值是对整个定义域区间I而言，所以函数的极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值在函数的定义域区间I上，可能有几个极大值和几个极小值，甚至于某些极大值也可能比某些极小值小例如图2中，函数yf(x)在x1，x3，x5处取得极小值，在x2，x4，x6取得极大值，且可以看出极大值f(x6)极小值f(x3)，在x2，x4，x6，点所得的极大值都比xb点的函数值f(b)小一个函数具有极值的必要条件是：设函数f(x)在x0点具有导数，且在x0点f(x)取得极值，则这个函数在x0点的导数f(x0)0一个函数具有极值的充分条件是：(1)设函数f(x)在x0点的一个邻域内具有导数，且f(x0)0最大值 设x0是函数f(x)定义域区间I上的一点，对于任意的xI，恒有f(x0)f(x)(f(x0)f(x)成立，则称函数f(x)在点x0处达到最大(小)值f(x0)，称x0为函数f(x)的最大(小)值点通常把函数的最大值和最小值统称为函数的最值最大值点和最小值点统称为最值点由闭区间上连续函数的基本性质可知：若f(x)是在闭区间a，b上的连续函数，则它的最大值和最小值必定存在如果函数f(x)在a与b之间的一点x0达到最大(小)值，这个最大(小)值显然也是极大(小)值但最大(小)值也可以在区间的端点a，b处达到，此时这个最大(小)值就不是极大(小)值；在特殊的情况下，若函数f(x)在部分子区间上为常数c，则此常数c也可能是函数的最大(小)值因此求函数的最值时，应当把函数的极值，函数在端点的值f(a)、f(b)以及常数c进行比较，其中最大(小)者就是函数f(x)在区间a，b上的最大(小)值若函数f(x)在闭区间a，b上连续，并且在区间内只有一个极值点x0，则函数在x0点所取得的极大(小)值f(x)必定也是最大(小)值这一结论对于开区间和无穷区间也同样适用中学数学中所研究的函数最值问题，多数是属于上述这类函数的最值问题若当x取x0左边附近的值时，f(x)恒大于零(小于零)；当x取x0右边附近的值时，f(x)恒小于零(大于零)，则函数f(x)在x0点取得极大值(极小值)(图3)若当x取x0的左边及右边的值时，f(x)均恒大于零(小于零)，则函数f(x)在x0点无极值点(图4)(2)设函数f(x)在x0点具有二阶导数，且f(x)0，f(x0)0，则当f(x0)0时，函数f(x)在x0点取得极大值；当f(x0)0时，函数f(x)在x0点取得极小值在没有导数的点处，函数也可能取得极值(图5)二 函数图象的作用泰州市教育局教研室 祁景星图很直观，是独特的数学工具让我们从一个常见错误谈起题目：已知f(x)x24ax2a300，对一切实数x成立试确定中x的取值范围x(a3)(1a)a3a2a6(2)当1a3时，由()得x(a3)(a1)a3评注 ：上面的解答过程是错的，举一特例就足以说明()式的值明显不可能等于0错误的根源在于，中错误地运用了由bxa得出b2x2a2考虑函数yx2的图象1)当0ba时，由bxa可得b2x2a2(图1)；2)当b0a时，如ba，则由bxa可得0x2a2(图2)；如ba，则由bxa可得0x2b2(图3)；如ba0，则由bxa可得0x2a2b2(图4)；3)当ba0时，由bxa可得a2x2b2(图5)原题的正确解法是： 1a3，即 4x18，有些问题，表面看与坐标系无关，实际上也可转化为图的问题例 若bc且1abca1， (1990年江苏省初中数学竞赛题)Aab BabCab Dba这道题的复杂在于字母多(三个)，不等关系也多本题的实质，是在满足原题不等条件的情况下，问a与b的大小关系是什么？如果仅就本题而言，选取特例可以获解：令a2，由2bc3和bc，可取b1.4，c1.5，由此可知，应选(D)下面我们用坐标法以得出进一步的结论为叙述方便起见，将原题改述为：若yc，且1xycx1，求x和y的条件当yx时，却不一定满足原题的不等关系原题条件可写成：如图6，yc，即y可取直线yc下方的点的纵坐标；x1，x可取直线x1的右边的点的横坐标；yxc，即为直线yxc上方点的坐标；yxc1，即为直线yxc1下方点的坐标，故图6中阴影部分的点的坐标满足原题条件，即1x2c，且xcyc(2)如c1，(见图7)，满足原题的x，y为图中阴影部分的点的坐标(均满足yx)具体说是，先取x满足1x2c，再由xcyxc1得出y的范围综上所述，在原题条件下，首部分的点的坐标时，才满足原题条件三 函数自变量取值范围的确定北京市崇文门中学 彭广仁在函数一章中，我们经常遇到求函数的解析式和确定自变量取值范围的问题，前者是人人都重视的问题，而后者常常被人忽视，导致在确定函数的自变量取值范围问题时出现种种错误，所以也应重视确定函数的自变量的取值范围的教学一、正确理解概念函数定义告诉我们，自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量取值的全体，若函数关系是由解析式确定的，则自变量的取值范围就是使解析式本身有意义的自变量取值的全体；若函数的解析式是由一个实际问题或几何问题得出来的，则自变量的取值范围还要考虑符合实际意义或几何意义二、熟练应用方法使函数解析式有意义的自变量取值的全体就是自变量的取值范围当解析式中的分母含有自变量时，则要使分式的分母不等于零；当偶次根号下的被开方式中含有自变量时，则需使被开方式不小于零，因此，求自变量的取值范围是和解不等式或不等式组分不开的几何问题中的函数关系往往和某些几何元素的运动变化相关，在确定其自变量的取值范围时，我们经常是在几何元素运动变化的范围内进行观察，得到自变量取得最小值及最大值的位置，并求出这个最值，以确定自变量的取值范围例1 如图1，O的半径为5，弦AB6，过AB中点P的弦交于C，交于D(C与A、B两点不重合)，设CPx，PDy，求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围变化的范围，可以看出当CD过圆心O时，CP最短此时有PCPDPAPB，即x(10x)32，解此方程，得x19(舍)，x21，所以x1；当弦CD由过圆心O的位置向左或向右移动，则PC逐渐加长，当点C重合于A或B时，PC最长但题设定为点C不与A、B重合，所以PCxPAPB3；综合，得x的取值范围为1x3函数的自变量取值范围有时不好确定，而函数的取值范围便于确定，这时我们可以通过函数的解析式，解关于自变量的解析式所确定的不等式或不等式组，求出自变量的取值范围例2 如图2，矩形ABCD中，周长为12，长AD大于宽的2倍，从顶点A作一条射线交BC于E，且这条射线与矩形短边AB所成角的自变量x的取值范围2(ABBC)12，所以2y(xy)6，经整理，可得函数解析因为BCAD2AB，所以xy4y，即x3y，把解析式y0，解得x6综合、得自变量x的取值范围为3x6三、巩固练习，查缺补漏3如图3，周长为24的凸五边形ABCDE被对角线BE分为等腰三角形ABE及矩形BCDE，且ABAEED，设AB的长为x，CD的长为y，求y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围4如图4，AB为半圆的直径，O为圆心，AB6，延长BA到F，使FAAB，若P为线段AF上的一个动点(P点与A点不重合)，过P点作半圆的切线，切点为C，作CDAB，过B点作BEPC，交PC的延长线于点E，连结AC、DE(1)判断线段AC、DE所在直线是否平行，并证明你的结论(2)设AC为x，ACBE为y，求y关于x的函数关系式，井写出自变量x的取值范围参考答案3函数解析式为y4x24，x的取值范围是4x6(提示：在ABE中，ABAEBEAB+AE，即0y2x，04x242x，解得4x6)四 函数记号中“f”的意义：如果“变量y是变量x的某一个函数”，则引号内的话通常可以用符号yf(x)来表示在yf(x)中，小括号内的字母x表示一个变量(自变量)，字母y表示第二个变量(x的函数)；小括号外面的字母f表示y随x变化的某一种确定的对应法则，而yf(x)表示x与y之间的一种函数关系，它并不表示f与x相乘的关系在研究具体问题里，一般来说f所表示的是一种运算关系比如，在函数关系yf(x)3x1中，f表示y的值可以通过“3乘以自变量的值再加1”而得到，这样对于自变量取值范围内的任何一个值，都可以按照这个法则求出它所对应的函数值，例如：取x3，则x3所对应的函数值是33110记为f(3)10当xt1时，则xt1所对应的函数值是3(t1)13t2，记为f(t1)3t2例1 已知f(x1)x3，那么f这个对应法则是什么？解：方法(一)小括号内的x1表示自变量根据函数的定义，需把x3变形，使它变成为x1的形式x3(x1)2由f(x1)x3得f(x1)(x1)2得法则f是f(x1)(x1)2解：方法(二)用换元法来解，更容易理解设x1m，则xm1，代入f(x1)x3得f(m)m13即f(m)m2法则f是f(m)m2，其中mx1例2 已知f(x)2x21，g(x)x1求：(1)f g(x) (2)gf(x)解：(1)f g(x)2g(x)212(x1)212(x22x1)12x24x3即fg(x)2x24x3(2)gf(x)f(x)12x2112x2即gf(x)2x2五 怎么样求自变量的取值范围？答：(1)求自变量的取值范围的两条通用的准则是：()如果用解析式表示函数，那么自变量的取值范围是使解析式有意义的自变量取值的全体()如果是由实际问题给出的函数，那么自变量的取值范围，既要使函数的解析式有意义，还必须使实际问题有意义(2)用解析式表示函数的自变量取值范围的求法细则是：()若函数的解析式是整式(如y3x4，y3x25x6等)，则自变量的取值范围是任意实数(或全体实数)()若函数的解析式是分式，则自变量的取值范围是使分母不为x0，X2()若函数的解析式是二次根式，则自变量的取值范围是使被开范围是x3()若函数的解析式兼有上述两种或两种以上的结构特点，则求自变量的取值范围时，应先按()()所述方法分别求出它们的(3)由实际问题得出的函数的自变量取值范围的求法细则是：先根据所得的函数解析式，求出自变量x的取值范围；再结合实际问题、几何或其他学科问题等的具体条件确定自变量x的取值范围；最后选取它们的公共部分【例1】 已知等腰三角形的底边长为36厘米，求这个三角形的周长l(厘米)与腰长x(厘米)间的函数关系式并求自变量x的取值范围显然，l2x36，由于2x36是整式，则x的取值范围是任意实数；又x是腰长，则x0；而由三角形的性质，得2x36，则x18综合、得x18求函数的自变量的取值范围时，要结合求法细则，根据所给函数解析式的结构特点，从局部到整体，全面分析求解，切忌片面性；注意在函数解析式的化简等变形过程中，既不扩大也不缩小自变量的取值范围；要重视自变量在实际问题中所受到的相关条件的限制的挖掘，综合解决问题另外，还应弄清“或”、“且”等数学语言的含义，使用时做到正确、合理，等等有比较才能鉴别，下面摘选一些求自变量的取值范围的常见错误解法，请你细心予以剖析，明确指出错在何处？ x2错解：x0且1错解：x4，或x1，或x4剖析：(1)解题错在约去s因式x3，于是扩大了x的取值范围正确的解答是x2且x3(2)解题错在忽视了整体分析，在x0且x1的条件下，x0且x1(3)解题中错在“或”字使用不当，因为x4的条件下，函数y不一定都有意义(如x1或x4)正确的解答是x4且x1且x4“或”可以理解成“或者”，如x2表示x2、或x2若x2，认为x2且x2显然是矛盾的“且”字通常表示六 说说函数自变量的取值范围湖北省孝感文昌中学 陈玉峰求函数中自变量的取值范围的方法有三种：1由观察直接得到；2由解方程或不等式(组)得到；3由实际问题的意义所决定1由观察求自变量的取值范围：当函数关系式为整式时对自变量的取值没有任何限制，可取任何实数如：例1 求下列函数的自变量取值范围(1)y2x3；(2)y4x21这两例中的函数式都为整式，x可取任何实数，自变量的取值范围为全体实数2由解方程式不等式(组)求自变量的取值范围：常用于函数关系式为分式、偶次根式、对数式及指数式(零指数、负整指数、