数学北师大版一年级下册三角形全等专题复习.docx

北师大版数学教材七年级下册第四章 三角形三角形全等专题复习之截长补短法证线段和差问题石室初中（东区） 侯静【教学目标】 （1）知识与技能理解并掌握截长补短法证线段和差问题，并能运用截长补短法解决一些几何问题. （2）过程与方法培养学生的数学转化思想，化未知为已知，使学生联系所学知识，经历理性分析，构建知识模型，培养学生的几何直观和推理能力.（3）情感态度及价值观通过了解此类问题的一般解题思路，培养学生的数学兴趣，帮助学生克服对数学的畏难情绪. 【教学重难点】教学重点理解并初步掌握截长补短法证线段和差问题.教学难点选择合适的截长补短法解决此类型的几何问题.【教学过程】知识回顾1、全等三角形的基本判定方法：SSS、ASA、AAS、SAS等.2、判定三角形全等的基本思路： 问题引入例1 如图1，已知在ABC中，B=2C，BAC的平分线AD交BC于点D.求证：AC=AB+BD. （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和）图1从结论着手分析： AC=AB+BD AC-AB=BD AC=AB+BD把AB、BD、AC转化到同一直线上 截长 补短在AC上截取点E使得AE=AB 1、延长AB到点E使BE=BD 2、延长AB到点E使AE=AC 构造全等三角形学生用截长法（图2）和补短法（图3）来证明此题.（过程略） 图2 图3总结：证明一条线段等于另外两条线段之和（差）的常见方法：截长法：在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段.补短法：在一条短线段上的延长线上截取另一条短线段，证明其总长与长线段相等. 截长、补短的目的：为三角形全等创造条件.典例分析例2 如图4，在等腰直角ABC中，BAC=90，AB=AC，点F是AC的中点，过点A作ADBF，垂足为D，延长AD交BC于E，连接EF，求证：AE+EF=BF.图4证法1：截长法师分析：（1）在线段BF上，截一线段等于AE，再证另一线段等于EF；（2）截长是为三角形全等创造条件。由直角三角形斜边上的高的基本图形可得1=2，且AB=AC，已知一组边、一组角分别相等，选择CAE从边着手，还需要什么条件构造全等三角形？生回答：如图5，在BF上截取BG=AE，就可得ABGCAE，由全等可知AG=CE，BAG=C=45=GAF，易证GAFECF，GF=EF，于是有AE+EF=BF. 图5评析：本题的解法自然流畅，得益于一些基本技能、基本经验和分析法.基本经验让学生从基本图形中发现一组等角ABG=CAE；基本技能是截长法让学生知道需要构建全等三角形；分析法使学生知道在BF上截取BG=AE.建立已知条件与相关知识的联系，让学生明确已具备什么条件，还需要什么条件.证法2：补短法师分析：从边着手，由已知AB=AC，1=2，想到选定ABF，构造角的另一边相等，即构造2的一边等于BF，怎么构造这条边呢？生回答：如图6.方法1：延长AE至点M，使AM=BF，易证ABFCAM，进而证ECFECM，EF=EM；方法2：延长AE至点M，使EM=EF，但不能证明ECFECM，所以此法行不通.图6评析：为什么方法1成功了，而方法2行不通呢？方法1从条件AB=AC、ABF=CAE出发，联想到“SAS”判定，缺什么补什么，由此可证.而方法2尽管构建了EF=EM，但不是因需而建，不能证明ECF与ECM全等.所以解法自然生成需要寻找已知条件与解法依据的有机联系，找出所缺条件.巩固练习练习1 如图9，ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是底边BC上任意一点.DEAC，DFAB，BG是腰AC上的高.证明：BG=DE+DF.图7练习2 如图10，ABC是正三角形，BDC是等腰三角形，BD=CD，BDC=120，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.试证：MN=BM+NC.图8课堂小结运用截长补短法应注意：（1）联系：将题中的条件、重要信息与学过的基础知识、基本技能、基本方法联系起来；（2）分析：一个思路的形成，可以从结论出发，采用分析法“要证什么推出需要证什么”，进