1正弦定理、余弦定理及解三角形

数学数学 教教 学案学案 授课人 邱瑶授课人 邱瑶 时间 时间 8 8 月月 3131 日日 课题课题正弦定理 余弦定理及解三角形课型课型复习课时数课时数 3 教学教学 目标目标 1 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 2 能够运用正弦 定理 余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 重点重点掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 难点难点能够运用正弦定理 余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 教学教学 方法方法 自主合作探究 教学教学 媒体媒体 PPT 环节环节教教 学学 过过 程程学生活动学生活动设计意图设计意图 课课 堂堂 自自 主主 导导 学学 知 识 梳 理 1 正 余弦定理 在 ABC 中 若角 A B C 所对的边分别是 a b c R 为 ABC 外接圆半径 则 定理正弦定理余弦定理 内容 2R a sin A b sin B c sin C a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2cacos B c2 a2 b2 2abcos C 常见 变形 1 a 2Rsin A b 2Rsin B c 2R sin C 2 sin A sin B a 2R sin C b 2R c 2R 3 a b c sin A sin B sin C 4 asin B bsin A bsin C csin B asin C csin A cos A b2 c2 a2 2bc cos B c2 a2 b2 2ac cos C a2 b2 c2 2ab 梳理知识 加强记忆 帮助学生构 建知识网络 2 S ABC absin C bcsin A acsin 1 2 1 2 1 2 B a b c r r 是三角形内切圆的半径 并可 abc 4R 1 2 由此计算 R r 3 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线上方叫仰角 目标视线在水平视线 下方叫俯角 如图 1 2 方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平 夹角叫做方位角 如 B 点的方位角为 如图 2 3 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的 锐角 如南偏东 30 北偏西 45 等 4 坡度 坡面与水平面所成的二面角的正切值 诊 断 自 测 1 判断正误 在括号内打 或 精彩 PPT 展示 1 在 ABC 中 A B 必有 sin A sin B 2 在 ABC 中 a b B 45 则 32 A 60 或 120 3 从 A 处望 B 处的仰角为 从 B 处望 A 处的俯角 为 则 的关系为 180 4 方位角与方向角其实质是一样的 均是确定观察 点与目标点之间的位置关系 其范围均是 0 2 知识总结 帮助学生总 结实际问题 中常用角 2 2014 江西卷 在 ABC 中 内角 A B C 所对 的边分别是 a b c 若 3a 2b 则的值为 2sin2B sin2A sin2A A B 1 9 1 3 C 1 D 7 2 解析 由正弦定理知 2sin2B sin2A sin2A 2b2 a2 a2 2 2 1 又知 3a 2b 所以 b a 2 2 1 故选 D b a 3 2 2sin2B sin2A sin2A 3 2 7 2 答案 D 3 一艘海轮从 A 处出发 以每小时 40 海里的速度 沿南偏东 40 的方向直线航行 30 分钟后到达 B 处 在 C 处有一座灯塔 海轮在 A 处观察灯塔 其方向是南偏 东 70 在 B 处观察灯塔 其方向是北偏东 65 那么 B C 两点间的距离是 A 10海里 B 10海里 23 C 20海里 D 20海里 32 解析 如图所示 易知 在 ABC 中 AB 20 海 里 CAB 30 ACB 45 根据正弦定理得 解得 BC 10 海里 BC sin 30 AB sin 45 2 答案 A 4 2014 福建卷 在 ABC 中 A 60 自我检测 初步运用知 识 总结题 型方法 AC 2 BC 则 AB 等于 3 解析 由余弦定理得 BC2 AC2 AB2 2AC ABcos A 即 3 4 AB2 2AB 即 AB2 2AB 1 0 解得 AB 1 答案 1 5 人教 A 必修 5P10B2 改编 在 ABC 中 acos A bcos B 则这个三角形的形状为 解析 由正弦定理 得 sin Acos A sin Bcos B 即 sin 2A sin 2B 所以 2A 2B 或 2A 2B 即 A B 或 A B 2 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 答案 等腰三角形或直角三角形 知知 识识 运运 用用 导导 练练 考点一 正 余弦定理的简单运用 Error No bookmark name given 例 1 Error No bookmark name given 在 ABC 中 角 A B C 的对 边分别为 a b c 1 若 a 2 b A 45 则 c 36 2 若 a b c a b c ac 则 B 解析 1 法一 在 ABC 中 由正弦定理得 sin B 因为 b a 所以 B A 所以 bsin A a 6 2 2 2 3 1 2 B 30 C 180 A B 105 sin C sin 105 sin 45 60 sin 45 cos 60 cos 45 sin 60 6 2 4 深度思考 已知两边 及其中一 边所对的 角求另一 边可采用 正弦定理 也可用余 弦定理来 解决 不 妨两种方 法你都体 验一下吧 简单热身 故 c 3 asin C sin A 2 3 6 2 4 2 23 法二 在 ABC 中 根据余弦定理可得 a2 b2 c2 2bccos A 即 c2 2c 6 0 所以 3 c 3 因为 c 0 所以 c 3 33 2 因为 a b c a b c ac 所以 a2 c2 b2 ac 由余弦定理的推论得 cos B a2 c2 b2 2ac 1 2 所以 B 2 3 答案 1 3 2 3 2 3 Error No bookmark name given 训练 1 Error No bookmark name given 1 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 2c2 2a2 2b2 ab 则 ABC 是 A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 等边三角形 2 2014 绍兴模拟 在 ABC 中 A 60 b 1 S ABC 则 3 a b c sin A sin B sin C 解析 1 由 2c2 2a2 2b2 ab 得 a2 b2 c2 ab 所以 cos C 0 所以 1 2 a2 b2 c2 2ab 1 2ab 2ab 1 4 90 C 180 即 ABC 为钝角三角形 2 S ABC bcsin A c 4 1 2 c 2 3 23 一题多解 变式训练 规律方 法 1 在解 有关三角形 的题目时 要有意识地 考虑用哪个 定理更适合 或是两个定 理都要用 要抓住能够 利用某个定 理的信息 一般地 如 果式子中含 有角的余弦 或边的二次 式 要考虑 用余弦定理 如果遇到的 式子中含有 角的正弦或 边的一次式 时 则考虑 用正弦定理 以上特征都 不明显时 则要考虑两 a2 b2 c2 2bccos A 12 42 2 4 1 13 1 2 a 13 2R R 是 ABC 的外接圆的 a sin A b sin B c sin C 半径 2R a b c sin A sin B sin C a sin A 13 sin 60 2 39 3 答案 1 A 2 2 39 3 考点二 正 余弦定理的综合运用 Error No bookmark name given 例 2 Error No bookmark name given 2014 山东卷 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别是 a b c 已知 a 3 cos A B A 6 3 2 1 求 b 的值 2 求 ABC 的面积 解 1 在 ABC 中 由题意知 sin A 1 cos2A 因为 B A 3 3 2 所以 sin B sin cos A A 2 6 3 由正弦定理 得 b 3 asin B sin A 3 6 3 3 32 综合应用 个定理都有 可能用 到 2 解题 中注意三角 形内角和定 理的应用及 角的范围限 制 提升难 度 提高能 力 2 由 B A 得 cos B cos sin A 2 A 2 3 3 由 A B C 得 C A B 所以 sin C sin A B sin A B sin Acos B cos Asin B 3 3 3 3 6 3 6 3 1 3 因此 ABC 的面积 S absin C 3 3 1 2 1 22 1 3 3 2 2 Error No bookmark name given 训练 2 Error No bookmark name given 2014 重庆卷 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 a b c 8 1 若 a 2 b 求 cos C 的值 5 2 2 若 sin Acos2 sin Bcos2 2sin C 且 ABC 的 B 2 A 2 面积 S sin C 求 a 和 b 的值 9 2 解 1 由题意可知 c 8 a b 7 2 由余弦定理得 cos C a2 b2 c2 2ab 22 5 2 2 7 2 2 2 2 5 2 1 5 2 由 sin Acos2 sin Bcos2 2sin C 可得 B 2 A 2 变式训练 规律方 法 有关三 角形面积问 题的求解方 法 1 灵活 运用正 余 弦定理实现 边角转化 2 合理运用 三角函数公 式 如同角 三角函数的 基本关系 两角和与差 的正弦 余 弦公式 二 倍角公式 等 sin A sin B 2sin C 1 cos B 2 1 cos A 2 化简得 sin A sin Acos B sin B sin Bcos A 4sin C 因为 sin Acos B cos Asin B sin A B sin C 所以 sin A sin B 3sin C 由正弦定理可知 a b 3c 又因为 a b c 8 故 a b 6 由于 S absin C sin C 所以 ab 9 1 2 9 2 从而 a2 6a 9 0 解得 a 3 b 3 考点三 正 余弦定理在实际问题中的应用 Error No bookmark name given 例 3 Error No bookmark name given 如图 在海岸 A 处 发现北偏东 45 方向距 A 为 1 海里的 B 处有一艘走私船 在 A 3 处北偏西 75 方向 距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命 以 10海里 时的速度追截走私船 此时走私船正以 10 3 海里 时的速度从 B 处向北偏东 30 方向逃窜 问缉私船 沿什么方向能最快追上走私船 并求出所需要的时间 注 2 449 6 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时 才能最快 截获 在 D 点 走私船 则有 CD 10t 海里 3 BD 10t 海里 在 ABC 中 AB 1 海里 AC 2 海里 3 BAC 45 75 120 根据余弦定理 可得 BC 3 1 2 22 2 2 3 1 cos 120 海里 6 解决实际 问题 将实际 问题抽象为 数学问题加 以解决 根据正弦定理 可得 sin ABC ACsin 120 BC 2 3 2 6 2 2 ABC 45 易知 CB 方向与正北方向垂直 从而 CBD 90 30 120 在 BCD 中 根据正弦定理 可得 sin BCD BDsin CBD CD 10t sin 120 10 3t 1 2 BCD 30 BDC 30 BD BC 海里 6 则有 10t t 0 245 小时 14 7 分钟 6 6 10 故缉私船沿北偏东 60 方向 需 14 7 分钟才能追上 走私船 Error No bookmark name given 训练 3 Error No bookmark name given 2014 新课标全国 卷 如图 为测量山高 MN 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观 测点 从 A 点测得 M 点的仰角 MAN 60 C 点的仰 角 CAB 45 以及 MAC 75 从 C 点测得 MCA 60 已知山高 BC 100 m 则山高 MN m 解析 在 Rt ABC 中 CAB 45 BC 100 m 所以 AC 100 m 2 在 AMC 中 MAC 75 MCA 60 从而 AMC 45 由正弦定理 得 因此 AC sin 45 AM sin 60 AM 100 m 3 例 4 的求 解如果不 采用向量 法 难度 就加大了 规律方 法 解三角 形应用题的 两种情形 1 实际问题 经抽象概括 后 已知量 与未知量全 部集中在一 个三角形中 可用正弦定 理或余弦定 理求解 2 实际问题经 抽象概括后 已知量与未 知量涉及到 两个或两个 以上的三角 形 这时需 作出这些三 角形 先解 在 Rt MNA 中 AM 100 m MAN 60 由 3 sin 60 得 MN 100 150 m MN AM3 3 2 答案 150 微型专题 解三角形中的向量法 解三角形问题是历年高考的必考内容 其实质是将 几何问题转化为代数问题及方程问题 解答这类问题的 关键是正确分析边角关系 依据题设条件合理地设计解 题程序 将三角形中的边角关系进行互化 解三角形问 题的一般解题策略有 公式法 边角互化法 构造方程 法 向量法 分类讨论法等 例 4 已知 ABC 顶点的坐标分别为 A 3 4 B 0 0 C 5 0 则 sin A 的值为 点拨 先把坐标用向量来表示 再利用向量的数量 积求解即可 解析 因为 3 4 2 4 AB AC 所以 6 16 10 AB AC 5 AB 3 2 4 2 2 AC 22 4 25 所以 cos AB AC AB AC AB AC 10 10 5 5 5 即 cos A