高中数学必修四主要内容

第一章第一章 三角函数三角函数 1 1 任意角和弧度制任意角和弧度制 角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图 形 角的分类 正角 按逆时针方向旋转形成的角 零角 射线没有任何旋转形成的 角 象限角的概念 定义 若将角顶点与原点重合 角的始边与 x 轴的非负半轴重合 那么角的终边 端点除 外 在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 终边相同的角的表示 所有与角 终边相同的角 连同 在内 可构成一个集合 S k 360 k Z 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整个周角的和 我们规定 长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 用弧度来度量角的单位制 叫做弧度制 在弧度制下 1 弧度记做 1rad 在实际运算中 常常将 rad 单位省略 弧度制的性质 半圆所对的圆心角为 整圆所对的圆心角为 r r 2 2 r r 正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数是零 角 的弧度数的绝对值 r l 角度与弧度之间的转换 将角度化为弧度 2360 180rad01745 0 180 1 rad n n 180 将弧度化为角度 2360p 180p 180 1 57 3057 18rad p 180 n n p 弧长公式 l lr r aa 弧长等于弧所对应的圆心角 的弧度数 的绝对值与半径的积 1 21 2 任意角的三角函数任意角的三角函数 三角函数的定义 诱导公式 负角 按顺时针方向旋转形成的 角 Z tan 2tan Z cos 2cos Z sin 2sin kk kk kk 有向线段 坐标轴是规定了方向的直线 那么与之平行的线段亦可规定方向 规定 与坐标轴方向一致时为正 与坐标方向相反时为负 三角函数线的定义 设任意角的顶点在原点 始边与轴非负半轴重合 终边与单位圆相交与点 OxP x y 过作轴的垂线 垂足为 过点作单位圆的切线 它与角的终边或其反向PxM 1 0 A 延 长线交与点 T 由四个图看出 当角的终边不在坐标轴上时 有向线段 于是有 OMx MPy sin 1 yy yMP r cos 1 xx xOM r tan yMPAT AT xOMOA 我们就分别称有向线段为正弦线 余弦线 正切线 MP OM AT 1 三条有向线段的位置 正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段 余弦线 x 在轴上 正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上 xx 三条有向线段中两条在单位圆内 一条在单位圆外 2 三条有向线段的方向 正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点 余弦线由原点指 向垂 足 正切线由切点指向与的终边的交点 3 三条有向线段的正负 三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值 与轴或轴反 x y x y 向的 为负值 4 三条有向线段的书写 有向线段的起点字母在前 终点字母在后面 三角函数定义 在直角坐标系中 设 是一个任意角 终边上任意一点 除了原点 的坐标为P ox y M T P A ox y M TP A x y oM T P A x y o M T P A 它与原点的距离为 那么 x y 2222 0 r rxyxy 1 比值叫做 的正弦 记作 即 y r sin sin y r 2 比值叫做 的余弦 记作 即 x r cos cos x r 3 比值叫做 的正切 记作 即 y x tan tan y x 4 比值叫做 的余切 记作 即 x y cot cot x y 说明 的始边与轴的非负半轴重合 的终边没有表明 一定是正角或负角 以x 及 的大小 只表明与 的终边相同的角所在的位置 根据相似三角形的知识 对于确定的角 四个比值不以点在 的终边 P x y 上的位置的改变而改变大小 当时 的终边在轴上 终边上任意一点的横坐标都等 2 kkZ yx 于 0 所以无意义 同理当时 无意义 tan y x kkZ y x cot 除以上两种情况外 对于确定的值 比值 分别是一个确定的 y r x r y x x y 实数 正弦 余弦 正切 余切是以角为自变量 比值为函数值的函数 以上四种函数统称为 三角函数 1 商数关系 2 平方关系 con sin tan 1cossin 22 1 31 3 诱导公式诱导公式 诱导公式 一 tan 360tan cos 360 cos sin 360sin kkk 诱导公式 二 tan 180tan cos 180cos sin 180sin 诱导公式 三 tan tan cos cos sin sin 诱导公式 四 tan 180tan cos 180cos sin 180sin 这四个可以总结为 函数名不变 符号看象限 诱导公式 五 sin 2 cos cos 2 sin 诱导公式 六 sin 2 cos cos 2 sin 这两个总结为 函数正变余 符号看象限 1 41 4 三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 1 函数 y sinx 的图象 第一步 在直角坐标系的 x 轴上任取一点 以为圆心作单位圆 从这个圆与 x 1 O 1 O 轴的交点 A 起把圆分成 n 这里 n 12 等份 把 x 轴上从 0 到 2 这一段分成 n 这里 n 12 等 份 预备 取自变量 x 值 弧度制下角与实数的对应 第二步 在单位圆中画出对应于角 2 的正弦线正弦线 等价于 6 0 3 2 列表 把角 x 的正弦线向右平行移动 使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合 则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点 等价于 描点 第三步 连线 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来 就得到正弦函数 y sinx x 0 2 的图象 根据终边相同的同名三角函数值相等 把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移 动 每次移动的距离为 2 就得到 y sinx x R 的图象 把角 x的正弦线平行移动 使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合 则 xR 正弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y sinx 的图象 2 余弦函数 y cosx 的图象 探究 1 你能根据诱导公式 以正弦函数图象为基础 通过适当的图形变换得到余弦函 数的图象 根据诱导公式 可以把正弦函数 y sinx 的图象向左平移单位即cossin 2 xx 2 得余弦函数 y cosx 的图象 课件第三页 平移曲线 正 弦函 数 y cosx y sinx 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 1 1 y x 1 1 o x y y sinx 的图象和余弦函数 y cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线 思考 在作正弦函数的图象时 应抓住哪些关键点 2 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 描点法 正弦函数 y sinx x 0 2 的图象中 五个关键点是 0 0 1 0 2 1 2 0 2 3 余弦函数 y cosx x 0 2 的五个点关键是哪几个 0 1 0 1 0 2 2 3 2 1 周期函数定义 对于函数 f x 如果存在一个非零常数 T 使得当 x 取定义域内的每一个 值时 都有 f x T f x 那么函数 f x 就叫做周期函数 非零常数 T 叫做这个函数的 周期 说明 1 周期函数 x 定义域 M 则必有 x T M 且若 T 0 则定义域无上界 T 0 则定义域 无下界 2 每一个值 只要有一个反例 则 f x 就不为周期函数 如 f x0 t f x0 3 T 往往是多值的 如 y sinx 2 4 2 4 都是周期 周期 T 中最小 的正数叫做 f x 的最小正周期 有些周期函数没有最小正周期 y sinx y cosx 的最小正周期为 2 一般称为周期 1 一般结论 函数及函数 其中 sin yAx cos yAx xR A 为常数 且 的周期 0A 0 2 T 2 若 如 0 3cos yx sin 2 yx 1 2sin 26 yx xR 则这三个函数的周期又是什么 一般结论 函数及函数 的周期sin yAx cos yAx xR 2 T 奇偶性 函数 y sinx 是奇函数 函数 y cosx 是偶函数 单调性 2 单调性 从 y sinx x 的图象上可看出 2 3 2 当 x 时 曲线逐渐上升 sinx 的值由 1 增大到 1 2 2 当 x 时 曲线逐渐下降 sinx 的值由 1 减小到 1 2 2 3 结合上述周期性可知 正弦函数在每一个闭区间 2k 2k k Z 上都是增函数 其值从 2 2 1 增大到 1 在每一个闭区间 2k 2k k Z 上都是减函 2 2 3 数 其值从 1 减小到 1 余弦函数在每一个闭区间 2k 1 2k k Z 上都是增函数 其值从 1 增加 到 1 在每一个闭区间 2k 2k 1 k Z 上都是减函数 其值从 1 减小到 1 对称轴 1 51 5 函数函数 y Asin y Asin x x 的图象的图象 的的物物理理意意义义 其其中中 二二 函函数数 0 0 0 sin A Axxy 函数表示一个振动量时 A 这个量振动时离开平衡位置的最大距离 称为 振幅 T 2 T间 称为 周期 往复振动一次所需的时 f 2T 1 次数 称为 频率 单位时间内往返振动的 f 称为 相位 x x 0 时的相位 称为 初相 1 61 6 三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用 第二章第二章 平面向量平面向量 2 12 1 平面向量的实际背景及基本概念 向量的概念 我们把既有大小又有方向的量叫向量 数量与向量有何区别 数量没有方向而向量有方向 1 数量与向量的区别 数量只有大小 是一个代数量 可以进行代数运算 比较大小 向量有方向 大小 双重性 不能比较大小 2 向量的表示方法 用有向线段表示 用字母 黑体 印刷用 等表示 用有向线段的起点与终点字母 向量的大小 长度称为向量的模 记作 ABAB AB 3 有向线段 具有方向的线段就叫做有向线段 三个要素 起点 方向 长度 向量与有向线段的区别 A 起点 B 终点 a 1 向量只有大小和方向两个要素 与起点无关 只要大小和方向相同 这两个向量 就是相同的向量 2 有向线段有起点 大小和方向三个要素 起点不同 尽管大小和方向相同 也是 不同的有向线段 4 零向量 单位向量概念 长度为 0 的向量叫零向量 记作 0 0 的方向是任意的 注意 0 与 0 的含义与书写 区别 长度为 1 个单位长度的向量 叫单位向量 说明 零向量 单位向量的定义都只是限制了大小 5 平行向量定义 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 我们规定 0 与任一向量平行 说明 1 综合 才是平行向量的完整定义 2 向量 平行 记作 1 相等向量定义 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 说明 1 向量 与 相等 记作 2 零向量与零向量相等 3 任意两个相等的非零向量 都可用同一条有向线段表示 并且与有向线段的起 点无关 2 共线向量与平行向量关系 平行向量就是共线向量 因为任一组平行向量都可移到同一直线上 与有向线段的起 点无关 说明 1 平行向量可以在同一直线上 要区别于两平行线的位置关系 2 共线向量可以相互平行 要区别于在同一直线上的线段的位置关系 共线向量一定在同一直线上吗 不一定 2 2 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 向量的加法 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 三角形法则 首尾相接 首尾连 平行四边形法则 A B C 当向量与不共线时 什么时候 什么时候 aba baba baba b ab 当向量与不共线时 的方向不同向 且 则 的方向与相同 且 ababa baa bab 若 0 时 与方向相同 0 时 与方向相反 0 时 a a a a a 0 2 32 3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 向量的夹角 已知两个非零向量 作 则 AOB 叫向量 a b aAO bBO a 的夹角 当 0 同向 当 180 反向 当 90 与垂直 记b a b a b a b 作 a b 平面向量的坐标表示 1 正交分解 把向量分解为两个互相垂直的向量 2 思考 在平面直角坐标系中 每一个点都可以用一对有序实数表示 平面内的每一 个向量 如何表示呢 如图 在直角坐标系内 我们分别取与轴 轴方向相同的两个单位向量 作为基xyij 底 任作一个向量 由平面向量基本定理知 有且只有一对实数 使得axy yjxia 1 我们把叫做向量的 直角 坐标 记作 yxa yxa 2 其中叫做在轴上的坐标 叫做在轴上的坐标 式叫做向量的坐标表示 与xaxyay 2 相等的向量的坐标也为 特别地 a yx 0 1 i 1 0 j 0 0 0 如图 在直角坐标平面内 以原点 O 为起点作 则点的位置由唯一确定 aOA Aa 设 则向量的坐标就是点的坐标 反过来 点的坐标yjxiOA OA yxAA 也就是向量的坐标 因此 在平面直角坐标系内 每一个平面向量都是可以用一 yxOA 对实数唯一表示 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 平面向量数量积 内积 的定义 已知两个非零向量 与 它们的夹角是 则数量 a b cos 叫 与 的数量积 记作 a b 即有 a b