物理作业(下)-新版和答案

大学物理作业本 下 大学物理作业本 下 参考答案参考答案 姓名姓名 班级班级 学号学号 南京理工大学应用物理系南京理工大学应用物理系 2002 年年 7 月月 1 第九章第九章 稳恒磁场稳恒磁场 练习一练习一 1 两个粗细不同 长度相同的铜棒串联在一起 在两端加有一定的电压 V 如图所示 略 去分界处的边缘效应 问 1 通过两棒的电流强度是否相同 2 通过两棒的电流密度是否相同 3 两棒中的电场强度是否相同 4 细棒两端和粗棒两端的电压是否相同 解 通过两棒的电流强度相同 串联 1 即通过两棒的电流密度不同 I S 121212 IISS 2 即两棒中的电场强度不同 E 121212 EE 3 l R S 12121212 llSSRR 111222 UI RI RU 即细棒两端和粗棒两端的电压不同 2 一铜棒的横截面积为 20mm 80mm 长为 2m 两端的电势差为 50mV 已知铜的电阻率 为 1 75 10 8 m 铜内自由电子的数密度为 8 5 1028 m3 求 1 棒的电阻 2 通过棒的电流 3 棒内的电流密度 4 棒内的电场强度 5 棒所消耗的功率 6 棒内电子的漂移速度 解 1 85 6 2 1 75 102 19 10 20 80 10 l R S 2 353 50 10 2 19 10 2 28 10 A U I R 3 3662 2 28 10 20 80 10 1 43 10 A m I S 4 862 1 75 101 43 102 50 10 V m E 5 33 2 28 1050 10114 W PIU 6 628194 1 43 10 8 5 101 6 10 1 05 10 m s vne V 2 3 金属导体中的传导电流是由大量的自由电子的定向漂移运动形成的 自由电子除无规则 热运动外 将沿着电场强度的反方向漂移 设电子电量的绝对值为 e 电子的 漂移 E 速度的平均值为 单位体积内自由电子数为 n 求金属导体中的传导电流密度大小 v 解 解 解 Ine S v t nev SSt 4 在如图所示的一段电路中 两边为电导率很大的导体 中间有不两层电导率分别为和的均匀导电介质 其厚度分别为和 导体的横 1 2 1 d 2 d 截面积为 S 当导体中通有稳恒电流强度 I 时 求 1 两层导电介质中电场强度的和 1 E 2 E 2 电势差和 AB U BC U 解 I E S IES 1122 E SE SI 12 12 II EE SS 1 12 1122 12 ABBC IdId UE dUE d SS 5 某闭合三棱柱面如图所示 处于磁感应强度大小为 方向沿 x 轴正方 2 0 2 mWbB 向的均匀磁场中 已知 ab 30 cm be ad 30cm ae 50cm 求 1 通过图中 abcd 面的磁通量 2 通过图中 befc 面的磁通量 3 通过图中 aefd 面的磁通量 解 因为 设各面向外法 cos BnSBSB 线为正 1 Wb24011030104002 22 cos abcdabcd BS 2 0 2 cos befcbefc SB 3 Wb240 50 40 1050103002 22 cos aefdaefd BS 1 d 2 d 1 2 II ABC O f y x a eb c d z B S S I I vt 3 练习二练习二 1 如图所示 在被折成钝角的长直导线通中有 20 安培的电流 求 A 点的磁感应强度 设 a 2 0 cm 120 解 A 点处的磁感应强度是由与两段载流导线分别产生的磁感应强度的矢量迭B OPOQ 加 OQOP BBB 由于 A 点位于得延长线上 所以 在如图中有 OP0 OP B 6 1 2 2 T10731 2 1 1 86601002 2010 4 4 2 7 12 0 sinsin r I BB OQ 由右手螺旋定则可得到的方向垂直于纸面向外 B 2 有一宽为 a 的无限长薄金属片 自下而上通有均匀分布的电流 I 如图所示 求图中 P 点处的磁感应强度 B 解 宽度为 a 的无限长载流金属片 可看作是由许多长直电流组成 每一长直电流的宽度 为 dx 电流为 dI dx a I dI 选取坐标如图 则 dx 处长直电流 dI 在 P 点产生的 dB 为 xala IdI xal dI dB 22 00 方向垂直纸面向里 而所有 dI 在 P 点处产生的磁场方向均相同 所以 方向垂直纸面向里 l al a I xala IdI B a ln 22 0 0 0 Q P A O a I 120 I B r 1 2 I l O P a x dx x 4 3 半径为 R 的圆环 均匀带电 单位长度所带的电量为 以每秒 n 转绕通过环心并与 环面垂直的轴作等速转动 求 1 环中的等效电流强度 2 环的等效磁矩 3 环心的磁感应强度 4 在轴线上距环心为 x 处的任一点 P 的磁感应强度 解 1 此环旋转时 相当于一载流圆形线圈 相应的电流 为 nRqnI 2 2 环的等效磁矩为 322 22RnRnRISPm 载流圆形线圈上任一点处的磁感应强度为 2 3 22 2 0 2xR IR B 于是 3 在圆心处 0 xn R IR B 0 3 2 0 2 4 在轴线上离环心为 x 处 2 3 22 3 0 2 3 22 2 0 2 2 xR nR xR RnR B 4 一载有电流 I 的圆线圈 半径为 R 匝数为 N 求轴线上离圆心 x 处的磁感应强度 B 取 R 12 cm I 15A N 50 计算 x 0 cm x 5 0 cm x 15 cm 各点处的 B 值 解 1 根据圆电流在轴线上距中心 x 处的磁感应强度公式 代入 2 3 22 2 0 2xR NIR B m120 RA15 I匝50 N 0 x T1093 1202 1201550104 2 3 2 27 2 3 22 2 0 1 xR NIR B m050 x T1003 05001202 1201550104 2 3 22 27 2 3 22 2 0 2 xR NIR B m150 x T1049 15001202 1201550104 2 4 22 27 2 3 22 2 0 3 xR NIR B 2 当时 半径为 R 电流为 I 的 N 匝载流线圈的磁矩为 所以Rx IRNpm 2 3 0 3 2 0 4 2 2x p x NIR B m 这一公式与电偶极子在其轴线延长线上一点产生得电场强度相比较 可知 3 0 2 4 1 x p E e A x R O 5 载流线圈在其轴线上处 其磁场与一个得磁偶极子在其延长线上产生Rx IRNpm 2 的磁场相当 6 5 半径为 R 的薄圆盘上均匀带电 总电量为 q 令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线匀速 转动 角速度为 求 1 轴线上距盘心 x 处的磁感应强度 2 圆盘的等效磁矩 解 1 圆盘每秒转动次数为 圆盘上面密度为 在圆盘上取一半径为 r 2 2 R q 宽度为 dr 的细圆环 如图 所带电量为 细圆环的转动相当于一圆电流 rdrdq 2 其电流大小为 drrrdrdqdI 2 2 2 它在轴线上距盘心为 x 处的 P 点所产生的磁感应强度大小为 dr xr r drr xr r xr dIr dB 2 3 22 3 0 2 3 22 2 0 2 3 22 2 0 2 22 故 P 点处总的磁感应强度大小为 R dr xr r B 0 2 3 22 3 0 2 变换积分 2 3 22 2 2 1 22 2 3 22 3 xr rdr x xr rdr dr xr r 所以 x xR xR R q x xR x xRB2 2 2 2 2 22 22 2 0 22 2 220 的方向与得方向相同 或相反 B 0 q0 q 2 drrdrrrSdIdpm 32 整个圆盘磁矩 24 0 3 4 1 4 1 qRRdrrSdIp R m 6 在一半径 R 1 0cm 的无限长半圆柱形金属薄片中 自上而下通有电流 I 5 0A 如图所 示 求圆柱轴线上任一点 P 处的磁感应强度 解 如图无限长半圆柱形载流金属薄片 可看作由许多无限长直线电流所组成 对应于宽 为的窄条无限长直导线中的电流为 Rddl d I Rd R I dl R I dI 它在 P 点处产生的磁感应强度 d I RR dI Bd 22 00 d R I dBdBxsinsin 2 0 2 d R I dBdBycoscos 2 0 2 对所有窄条电流积分得 R I R I d R I Bx 2 0 0 2 0 0 2 0 22 cossin R r dr xP P x y d P Bd 7 0 22 0 2 0 0 2 0 sincos R I d R I By 所以 P 点的磁感应强度的大小 B T10376 1001 05104 5 22 7 2 0 R I BB xP 方向沿 x 轴负方向 8 练习三练习三 1 如图所示 两导线中的电流和均为 8A 对图中所示的三条闭合曲线 a b c 1 I 2 I 1 分别写出安培环路定理表达式 2 在各条闭合曲线上 各点的磁感应强度的大小是否相等 3 在闭合曲线 c 上各点磁感应强度的大小是否为零 解 1 0 10 8 a B dlI A 020 8 b B dlI A 021 0 c B dlII A 2 不相等 3 不为零 2 如图所示 两无限大平行平面上都有均匀分布的电流 设其单位宽度上的电流分别为 和 且方向相同 求 1 i 2 i 1 两平面之间任一点的磁感应强度 2 两平面之外任一点的磁感应强度 3 时 结果又如何 iii 21 解 利用例 9 7 的结果 一块均匀板的单位宽度上的电流为 的无限大平面 在空间产生的磁感应强度为 iiB 0 2 1 其方向与 垂直且成右手螺旋关系 i 1 两平面之间 与方向相反 所以 21 BBB 1 B 2 B 210 2 1 iiB 2 两平面之外 与方向相同 所以 1 B 2 B 210 2 1 iiB 在平面 1 外侧 的方向与平面平行由后向前 在平面 2 外侧 的方向与平面平行由前B B 向后 3 当时 21 ii 0 内 BiB 0 外 3 10A 的电流均匀地流过一根截面半径为 R 的长直铜 1 i 2 i 1m S 2 I 1 I a b c 9 导线 在导线内部做一平面 S 一边为轴线 另一边在导线外壁上 长度为 1m 如图 所示 铜材料本身对磁场分布无影响 求 1 磁感应强度分布 2 通过 S 面的磁通量 解 在铜导线内部与轴线相距 x 的 P 处的 B 为 Rx R xI B 2 0 2 式中 R 为导线圆截面半径 于是通过长的导线内平面 S 的磁通量为m1 l Wb101010 42 67 0 0 2 0 I xdx R I ldxBdSB R SS m 4 矩形截面的螺绕环 尺寸如图所示 1 求环内磁感应强度的分布 2 证明通过螺绕环截面 图中阴影区 的磁通量 式中 N 为螺 2 1 0 ln 2D DNIh 绕环总匝数 I 为其中电流强度 解 1 以与螺绕环同心的半径为 r 的圆周为闭合积分线 且 时 22 12 D r D IdlB 0 INrB 0 2 r IN B 2 0 2 证明 2 1 0 2 2 0 22 1 2 D DhIN hdr IN dSB D D S ln 2 D 1 D II h S 10 5 一根很长的同轴电缆 由一导体圆柱 半径为 a 和一同轴导体圆管 内外半径分别为 b c 构成 使用时 电流 I 从一导体流出 从另一导体流回 设电流都是均匀分布在 导体的横截面上 如图所示 求 1 导体柱内 r a 2 两导体之间 a r b 3 导体圆管内 b r c 各点处磁感应强度的大小 并画出 B r 曲线 解 设铜导线的磁导率为 由于在同一截面距离中心为 r 的圆周上各点的 B 值相等 方 0 向沿圆周的切线方向 应用安培环路定理可求出 B 值 作安培环路如图所示 1 ar 0 IdlB 0 2 2 0 2r a I rB 2 0 2 a rI B 2 bra IdlB 0 IrB 0 2 r I B 2 0 3 crb IdlB 0 22 22 0 2 bc br IrB 22 22 0 2bc rc r I B 4 cr 0 0 IdlB 0 B 6 一根外半径为的无限长圆柱形导体管 管内空心部分的半径为 空心部分的轴与 1 R 2 R 圆柱的轴相平行但不重合 两轴间距离为 a 且 a 现在电流 I 沿导体管流动 电 2 R 流均匀分布在管的横截面上 而电流方向与管的轴线平行 如图所示 求 1 圆柱轴线上的磁感应强度的大小 2 空心部分轴线上的磁感应强度的大小 设 R1 10mm 0 5mm a 5 0mm I 20 A 2 R 解 由于导体的电流 I 是均匀分布在其横截面上的 所以 导体管内电流密度为 I I I 空心部分 O r c a b B B B rabc a I 2 0 b I 2 0 B r 线 11 2 2 2 1 RR I 该导体管可看作均匀通有电流密度的圆柱 半径 及反向通有电流密度的小圆柱 1 R 半径 组成 2 R 1 半径为的实心通电圆柱体在 O 轴线上产生的磁感应强度 1 R0 10 B 半径为的通电圆柱体在 O 轴线上产生的磁感应强度 可由安培环路定理求得 2 R 20 B IdlB 0 2 2020 2RaB a R B 2 2 20 20 根据迭加原理 T1002 10501010052 105020104 22 6 6223 2 37 2 2 2 1 2 20 2 20 20100 RRa RI a R BBB 方向为图中的方向 20 B 2 半径为的通电圆柱体在轴线上产生的磁感应强度 2 R O 0 20 B 半径为的实心通电圆柱体在轴线上产生的磁感应强度为 1 R O 10 B 2 010 2aaB 2 2 2 1 00 10 22RR aIa B 根据迭加原理 T1002 1050102 100520104 2 4 622 37 2 2 2 1 0 20100 RR aI BBB 方向为图中的方向 10 B O O R2 R1 a 10 B 20 B 12 练习四练习四 1 如图所示 电流 I 7 0 A 通过半径的铅丝环 铅丝的截面积 2 5 0 10Rm 放在 B 1 0 T 的均匀磁场中 求铅丝中的张力及由此引起的拉应 72 7 0 10Sm 力 即单位面积上的张力 解 铅丝受到的合力为 0 但环上各处都受到沿法向的磁场力 铅丝中的张力 2 2 1 0 7 0 5 0 100 35 2 BIR FN 单位面积上的张力 5 7 0 35 5 0 10 7 0 10 F Pa S 2 如图所示 在长直导线 AB 内通有电流 有限长导线 CD 中通有电流 AB 与 CD 1 I 2 I 共面且垂直 求 1 导线 AB 在空间的磁场分布 2 CD 受到 AB 的磁力 3 若 CD 自由 则将如何运动 解 1 0 1 L B dlI A 0 1 2BrI 0 1 2 I B r 2 方向如图所示 2 L FI dlB 大小 0 10 1 2 2 ln 22 d l d II Idl FIdr rd 3 向上加速运动的同时 顺时针转动到与 AB 平行后向右运动 R O y B x I 1 I 2 I CD B A dl F 13 3 将一均匀分布着电流的无限大载流平面放入均匀磁场中 电流方向与此磁场垂直 已知 平面两侧的磁感应强度分别为和 如图所示 求该载流平面单位面积所受的磁 1 B 2 B 场力的大小和方向 解 载流平面在其两侧产生的磁场 方向相反 0 12 2 ii i BB 均匀外磁场在平面两侧方向相同 0 B 由图所示可知 的方向为垂直纸面向里 12 BB i 101i BBB 202i BBB 由此可得 2 210 BBB 1221 2 ii BBBB 121 00 2 i BBB i 载流平面单位面积受的力为 方向垂直载流平面指向一侧 22 21 0 0 2 BB FiB 1 B 4 有一根质量为 m 的倒 U 形导线 两端浸没在水银槽中 导线的上段 处在均匀磁场l B 中 如图所示 如果使一个电流脉冲 即电量通过导线 导线就会跳起来 idtq 假定电流脉冲的持续时间同导线跳起来的时间相比甚小 试由导线所达高度 h 计算电 流脉冲的大小 设 提示 利用 3 0 10 10 10 0 200 30BT mkg lmhm 和 动量原理求冲量 并找出与冲量的关系 idt Fdt 解 设导线中瞬时电流为 i 此时导线受安培力 在电BilF 流脉冲这段时间内 安培力的冲量为 1 BlqidtBlBildtFdt ttt 000 由于 t 极短 重力的冲量可忽略 由动量定理 2 0 0 mFdt t 解 1 2 得 3 mBlq 导线在上升过程中 根据机械能守恒得 mghm 2 2 1 因此 由导线跳起高度 h 求得跳起时的初速度为 gh2 4 B l m Hg 1 B 2 B 14 将 4 式代入 3 式得 C211300892 100200 1010 2 3 gh lB m q 5 横截面积的铜线 变成 U 形 其中两段保持水平方向不动 2 0 2 mmS ODOA 和 段是边长为 a 的正方形的三边 U 形部分可绕轴转动 如图所示 整个导ABCDO O 线放在匀强磁场中 的方向竖直向上 已知铜的密度 当这B B 33 109 8 mkg 铜线中的电流 I 10 A 时 在平衡情况下 AB 段和 CD 段与竖直方向的夹角为 15 求磁感应强度的大小 B 解 平衡时间应满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩 对轴而言 平衡 重力矩O O sinsinsingSagSaaagSaM 2 1 2 2 1 2 磁力矩 cossinBIaBIaM 22 2 2 平衡时 所以 21 MM cossinBIagSa 22 2 T103915 10 891098100222 3 36 tan tan I gS B 6 如图所示 一平面塑料圆盘 半径为 R 表面带有面密度为的剩余电荷 假定圆盘绕 其轴线以角速度转动 磁场 B 的方向垂直于转轴 证明磁场作用于圆盘的A A A A 力矩大小为 4 4B R M 解 取半径为的圆环 则此圆环所带剩余电荷为 drrr rdrdq 2 当此圆环以角速度旋转时 相应的圆电流 相应的磁矩为 dqdI 2 drrdqrdpm 32 2 在外磁场 B 中受磁力矩 drBrdpBdM m 3 2 sin 因为各圆环上受到磁力矩方向相同 所以圆盘所受的力矩 4 4 3 RB drrBdMM O O A B D C I I B A A B r R 15 16 练习五练习五 1 如图所示 在长直导线 AB 内通有电流 在矩形线圈 CDEF 中通有电流AI20 1 AB 与线圈共面 且 CD EF 都与 AB 平行 AI10 2 已知 a 9 0 cm b 20 0 cm d 1 0 cm 求 1 矩形线圈每边受到的导线 AB 磁场的作用力 2 矩形线圈所受到的合力和合力矩 3 如果电流的方向与图中所示方向相反 则又如何 2 I 4 将矩形线圈平移至左边对称位置 磁力做的功 5 将矩形线圈以 AB 为轴旋转 至左边对称位置 磁力 做的功 解 长直载流导线 AB 在与它相距 r 处的磁场方向为垂直纸面 向里 大小为 r I B 2 10 1 矩形线圈每边受力方向如图所示 大小为 N100820010 1001 20 102 2 4 2 7 2 10 bI d I fCD N100820010 1001 20 102 2 5 1 7 2 10 bI ad I fEF N1029101020102 22 57210 2 10 lnln d adII drI r I f ad d DE N1029 22 5210 2 10 ln d adII drI r I f ad d CF 2 竖直方向所受的合力为零 矩形线圈所受的合力为 CFDE ff 的方向和的方向相同 由于作N1027 4 EFCDEFCD ffffF F CD f 用于矩形线圈各力在同一个平面内 可以简化为一个通过其中心的合力 所以对其中心的 合力矩为零 3 如果电流的方向与图中所示的方向相反 则 和各力方向都改 2 I CD f EF f DE f CF f 变 180 而大小不变 此时合力的方向也改变 180 大小也不变 对线圈中心的合力矩F 仍为零 4 0 10 1 1 ln 22 a d d II bad B dSbdr r d FC DE 1 I 2 I B A b d a 17 0 1 2 221211 ln I I bad AII d 75 9 0 1 0 4 1020 10 0 200 ln3 68 10 1 0 J 5 221211 0AII 18 2 如图所示 一直角边长为 a 的等腰直角三角形线圈 ACD 内维持稳恒电流强度为 I 放 在均匀磁场中 线圈平面与磁场方向平行 求 1 AC 边固定 D 点绕 AC 边向纸外转 磁力做的功 2 2 CD 边固定 A 点绕 AC 边向纸外转 磁力做的功 2 3 AD 边固定 C 点绕 AC 边向纸外转 磁力做的功 2 解 1 1 0 2 2 1 2 BSa B 22 2 2212 1 0 22 I AIIa Ba B 2 1 0 2 0 221 0AI 3 1 0 22 2 122 cos 4224 B SBSa Ba B 22 22122 22 0 44 AIIa Ba BI 3 如图所示 一电子经 A 沿半径 R 5cm 的半圆弧以速率运动到 C 点 求 7 1 10vm s 所需磁感应强度大小和方向 解 1 对电子的圆运动用牛顿第二定律 R v mBev 2 0 0 T 101 1 05 0 106 1 1011011 9 3 19 731 0 eR mv B 磁场方向应垂直纸面向里 2 所需时间应为 s106 1 101 05 0 2 2 2 8 7 0 v RT t B A D C I v A O C 19 4 一个半径 R 0 10 m 的半圆形闭合线圈 载有电流 I 10 A 放在均匀外磁场中 磁场 方向与线圈平面平行 如图所示 磁感应强度的大小 求 TB 1 100 5 1 线圈所受磁力矩的大小和方向 2 在这力矩的作用下线圈转过 即转到线圈平面与 B 垂直 求磁力矩作的功 90 解 1 方向如右图MmB 2 1 2 MmBISBR IB 21 32 1 0 110 5 0 10 2 25107 85 10 Nm 2 2 21 7 85 10 AIIBSJ 5 如图所示 半径为 R 载有电流的导体圆环 与载有电流的长直导线 AB 彼此绝缘 1 I 2 I 放在同一平面内 AB 与圆环的直径重合 试求圆环所受安培大小和方向 解 方向如图 1 dfI dlB 由对称性分析可知 x FF 02 1 cos 2 I FIdl r 2 02 1 0 cos 2cos I IRd R 0 1 2 I I 方向沿 x 正向 I Ro B MmB 2 I 1 I A B R df xO 1 I dl r 20 6 一电子在的匀强磁场中作圆周运动 TB 4 1070 圆周半径 r 0 3 cm 已知 B 垂直于纸面向外 某时 刻电子在 A 点 速度向上 如图所示 v 1 画出这电子运动的轨道 2 求这电子速度的大小 v 3 求这电子的动能 k E 解 1 电子运动的轨道如右图 2 2 v mevB r 1942 31 6 1 6 1070 100 3 10 9 1 10 3 69 10 eBr v m m s 7 在霍耳效应实验中 一宽 1 0 cm 长 4 0 cm 厚的导体 沿长度方向截cm 3 0 10 1 有 3 0A 的电流 当磁感应强度大小为 B 1 5 T 的磁场垂直地通过该导体时 产生 V 的横向电压 求 5 100 1 1 载流子的漂移速度 2 每立方米的载流子数目 解 解 1 根据霍尔电场和电压关系得 13 2 5 mV1001 1001 1001 d V E H H 载流子的漂移速度 14 3 sm1076 51 1001 B EH 2 因为电流密度 ne 所以 329 52419 m1082 10011001107610601 03 Se I e S I e n v B e r I B L f e f v b a 21 练习六练习六 1 真空中两束阴极射线向同一方向以速率 v 发射 试分析两束射线间相互作用的电磁力 并给出两者大小的比值 解 阴极射线为电子流 考虑其中距离为 r 且正对着的一对电子 相互排斥 2 2 0 4 e e FeE r 相互吸引 22 00 22 44 m eve v FevBev rr 2 00 1 e m F Fv 2 如图所示 一正方形线圈 由细导线做成 边长为 a 共有 N 匝 可以绕通过其相对 两边中点的一个竖直轴自由转动 现在线圈中通有电流 I 并把线圈放在均匀的水平外 磁场 中 线圈对其转轴的转动惯量为 J 求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动B 周期 T 解 MmB 方向向上时 向下 如图所示 M 转动定律 MJ 2 2 2 sin d NIa BJ dt sin 22 2 0 dNIa B dtJ 2 NIa B J 2 2 aJ T NIB a I B O O M 22 3 如图所示 一电子在的磁场中沿半径为 R 2 cm 的螺旋线运动 螺距TB 4 1020 为 h 5 0 cm 1 磁场 B 的方向如何 2 求这电子的速度 解 1 磁场方向如图向上 2 22 sin sin 2 cos sin v mqvB R R hv v sin cos 2 qRB v m qBh v m 22251 4 7 59 10 2 qB vBhms m 24 68 30 5 R arctgarctg h 4 一环形铁芯横截面的直径为 4 0mm 环的平均半径 R 15mm 环上密绕着 200 匝的线圈 如图所示 当线圈导线中通有 25mA 的电流时 铁芯的相对磁导率 求通过300 r 铁芯横截面的磁通量 解 L H dlNI A 2HRNI 2 NI H R 0 0 2 r r NI BH R 2 0 22 rNI d BS R 3 73 2 3 7 200 25 10 2 103003 14 2 10 15 10 2 512 10 Wb II R h R B 23 5 有一圆柱形无限长磁介质圆柱体 其相对磁导率为 半径为 R 今有电流 I 沿轴线 r 方向均匀通过 求 1 圆柱体内任一点的 B 2 圆柱体外任一点的 B 3 通过长为 L 的圆柱体的纵截面的一半的磁通量 解 3 r R L H dlI A 内 2 2 2 r HrI R 2 2 Ir H R 0 0 2 2 r r Ir BH R 4 r R L H dlI A 内 2HrI 2 I H r 0 0 2 I BH r 5 2 000 22 0 244 R rrr IrILIL B dSLdrR RR 24 第十二章第十二章 电磁感应电磁感应 练习七练习七 1 在通有电流 I 5 A 的长直导线近旁有一导线段 a b 长 l 20 cm 离长直导线距离 d 10 cm 如图 当它沿平行于长直导线的方向以速度 v 10 m s 平移时 导线段 中的感应电动势多大 a b 哪端的电势高 解 如图所示 00 7 5 d dd dln 2 2 4 105 101020 ln1 1 10 V 2 10 ab d l d vBrvB r IIvdl vr rd 由于 所以 a 端电势高 0 ab 2 设有由金属丝绕成的没有铁芯的环形螺线管 单位长度上的匝数 截面 1 5000 mn 积 金属丝的两端和电源以及可变电阻串联成一闭合电路 在环上再 23 102mS 绕一线圈 A 匝数 N 5 电阻 如图所示 调节可变电阻 使通过环形螺 0 2R 线管的电流强度 I 每秒降低 20 A 求 1 线圈 A 中产生的感应电动势及感应电流 Ii i 2 两秒内通过线圈 A 任一横截面的感应电量 q 解 1 0i ddBdI NNSNSn dtdtdt 37 43 5 2 104105000 20 4101 26 10 V 4 210 i i IA R 2 2 4 0 2410 ii qI dtIC G A d v ab I l 25 3 在图中具有相同轴线的两个导线回路 小回路在大回路上面距离 x 处 设 x R 因 此 当大回路中有电流 按图示方向流过时 小线圈所围面积内的磁场可看作是均匀的 i 假定 x 以等速率而变化 vdtdx 1 试确定穿过小回路的磁通量和 x 之间的关系 2 当 x NR 时 N 为一正数 小回路内产生的感应电动势的大小 3 若 确定小回路内感应电流的方向 0 v 解 1 22 00 33 22 iRiR BxR rx 2 2 0 3 2 iR BSr x 2 22 24 00 42 3 3 22 i x NR iRi r vddx rx dtdtN R 3 与 i 同向如图 i I 4 横截面为正方形的一根导线 ab 长为 质量为 m 电阻为 R 这根导线沿着两条平l 行的导电轨道无摩擦地下滑 轨道的电阻可忽略不计 如图所示 另一根与 ab 导线平 行的无电阻的轨道 接在这两个平行轨道的底端 因而 ab 导线与三条轨道组成一矩形 的闭合导电回路 导电轨道所在平面与水平面成角 整个系统在竖直向上的均匀磁场 B 中 试证明 1 导线 a b 下滑时 所达到的稳定速度大小为 2 cos sin Bl mgR v 2 此结果与能量守恒定律是一致的 证 1 sincos i vB dlvBlvBl cos i i vBl I RR 2 2 cos i vB l fI lB R 平衡时 2 22 cos cossin vB l fmg R 2 mgRsin v Blcos 2 2 cos eii vBl PI R 2 cos sincos mg vBl Pmgvvf R 与能量守恒定律一致 emg PP B A l a b R r i x i I 26 5 如图所示 一长直载流导线 旁边有一矩形线圈 ABCD 长 宽ml20 0 1 长边与长直导线平行且两者共面 AD 边与导线相距 a 线圈共有 1000 匝 ml10 0 2 1 若 I 5 0 A 线圈以速度垂直于长直导线向右运动 求 a 0 10 m 1 0 3 smv 时线圈中的感应电动势 2 若线圈不动 a 0 10 m I 10 sin 100 t 单位为 A 求 t 时刻线圈中的感应 电动势 3 若 I 10 sin 100 t 单位为 A 线圈以速度垂直于长直导线向 1 0 3 smv 右运动 求 a 0 10 m t 时刻线圈中的感应电动势 解 1 线圈向右平移时 上下两边不产生动生电动势 因 此 整个线圈内的感应电动势为 0 1212 2 11 2 I N BB LvNLv aal 7 33 4 105 011 1 100 2 2 2 10 2 0 10 1 0 1 V 2 2 0012 1 ln 22 a l a IIlal B dSl dr r a 010122 ln1000 cos 100 ln 22 i NlNlalalddI Nt dt dta a 7 0 100 10 2 101000 0 20 1000 cos 100 ln 0 10 0 087cos 100 t tV 3 2 0012 1 ln 22 a l a IIlal B dSl dr r a i ddadI NN dtadtIdt 010122 2 2 10sin 100 1000 cos 100 ln 22 i NlNllala tvt ala a 3 6 0 10sin 100 0 087cos 100 ttV I a 1 l 2 l AB CD v 27 练习八练习八 1 在半径为 R 的圆柱形体积内 充满磁感应强度为 B 的均匀磁场 有一长为 L 的金属棒 放在磁场中 如图所示 设磁场在增强 并且已知 求棒中的感生电动势 并指出 dB dt 哪端电势高 解 连接 Oa Ob 通过面的磁通量为Oba BS iab ddB SE dr dtdt A 由此得 22 1 4 2 ab dBdB SL RL dtdt b 端电势高 解法二 棒上 dl 处的感应电场的大小为 方向如 t B Ei d d 2 1 图所示 22 cos cos 4 2222 bbbb abii aaaa rdBh dBhL dBLdB E dlE dldldlRL dtdtdtdt 2 如图所示 一均匀磁场被限制在半径 R 20 cm 的无限长圆柱形空间内 磁场以 的恒定速率增加 问图中线框 abcda 的感生电流是多少 已知线 1 4 sTdtdB 框的电阻 4 0 6 10 30Roaobcm ocodcm 22 22 2 14 0 200 10 2 6 0 01 i dBdB SROa dtdt V 3 0 01 2 5 10 i i IA R4 0 方向 逆时针 3 一电子在电子感应加速器中半径为 1 0 m 的轨道作圆周运动 如果电子每转一周动能增 加 700 eV 计算轨道内磁通量的变化率 d dt 解 i d dt ik eE 700 700 k EdeV V dtee R O ab l B O b a R c d 28 4 在半径为 R 的圆筒内 有方向与轴线平行的均匀磁场 B 以的速率减小 12 100 1 sT a b c 各点离轴线的距离均为 r 5 0 cm 试问 1 电子在各点处可获得多大的加速度 2 加速度的方向如何 3 如果电子处在圆筒的轴线上 它的加速度又是多大 解 1 2 24 2 5 0 10 1 0 10 2 5 10 2 k r dB E dt V m 19 472 31 1 6 10 2 5 104 4 10 9 1 10 k eEf a mm m s 2 方向 a 点向左 b 点向右 c 点向上 3 0 0 r a 5 在两根通有反向电流 I 的平行长直导线的平面内 有一矩形线圈放置如图所示 若导线 中电流随时间的变化率为 大于零的恒量 试计算线圈中的感生电动势 KdtdI 解 00 21 22 a db d ab II ldrldr r r 0 lnln 2 Iladbd ab 0 lnln 2 i lddIadbd dt dtab 0 lnln 2 lKadbd ab 方向如图 逆时针 B O b a R c I l d a b I 29 练习九练习九 1 一截面为长方形的环式螺线管 共有 N 匝 其尺寸如图所示 1 证明 此螺线管的自感系数为 a bhN Lln 2 2 2 沿环的轴线拉一根直导线 求直导线与螺绕环的互感系数 M12和 M21 并判断二 者是否相等 解 1 设螺绕环通有电流 I 则有 2 NI H r 0 2 NI B r 00 ln 22 b a NINIhb B dShdr r a 2 0 ln 2 N hNb L II a 2 直导线可以认为在无限远处闭合 匝数为 1 螺绕环通过电流 I1时 通过螺绕环截 面的磁通量也就是通过直导线回路的磁通量 因此 1 20 1 1 210 1 1 1 21 21 ln 2 ln 2R RNh I R RhNI II M 当直导线通有电流 I2时 其周围的磁场为 2 202 rIB 通过螺绕环截面积的磁通量为 1 22020 212 ln 2 d 2 d 2 1 2 1 R RhI r rhI rhB R R R R 1 20 2 12 2 12 12 ln 2R RNh I N I M 比较这两个结果 2112 MM a b h 30 2 一螺绕环 横截面的半径为 a 中心线的半径为 R R a 其上由表面绝缘的导线 均匀地密绕两个线圈 一个匝 另一个匝 求 1 N 2 N 1 两线圈的自感和 1 L 2 L 2 两线圈的互感 M 3 M 与和的关系 1 L 2 L 解 1 设 I1 则 22 1 101 111101 2 N Bn IBaIa R 222 2 0101111 1 1 22 NN aN La IRR 同理可得 222 2 0202222 2 2 22 NN aN La IRR 2 2 2 0121221 1210121 1 22 N N aNN II aMM RIR 3 2 12 ML L 3 一圆形线圈由 50 匝表面绝缘的细导线绕成 圆面积为 将此线圈放在 1 C 2 0 4 cmS 另一个半径为 R 20 cm 的圆形大线圈的中心 两者同轴 大线圈由 100 匝表面绝 2 C 缘的导线绕成 1 求这两线圈的互感系数 M 2 当大线圈中的电流以的变化率减小时 求小线圈中的感应电动势 1 50 sA 1 C 解 1 设大线圈中通有电流 I2 则 022 122 2 O N I B SS R 012112 12 2 74 6 2 41050 100 4 0 10 210 2 0 2 N N SN MM IR H 2 64 2 1212 210 50 10 dI MV dt 31 4 一无限长导线通以电流 紧靠直导线有一矩形线框 线框与直导线处在同tII sin 0 一平面内 如图所示 求 1 直导线和线框的互感系数 2 线框中的感应电动势 解 1 设直导线中通有电流 I1 则 3 0 10 1 2 21 2 ln3 22 a a II a B dSadr r 0 1021 212 11 1ln3ln3 22 I aa MN II 2 01 21210 ln3cos 2 adI MIt dt 0sin IIt a 3 2 a I 2 a 32 练习十练习十 1 氢原子中电子在一圆轨道上运动 问这轨道中心处磁场能量密度有多大 玻尔氢原子模 型中电子的轨道半径为 频率等于 m 11 101 5 f 5 6 8 10 Hz 解 等效电流 Ief 00 22 Ief B RR 222222 00 222 00 7238210 133 222 1 2228 4101 6106 810 7 15 10 8 5 110 m e fe fB w RR J m 2 一长直的铜导线截面半径为 5 5mm 通有电流 20A 求导线外表面处的电场能量密度和 磁场能量密度各是多少 铜的电阻率为 m101 69 8 解 外表面处的 2 RIJE R I H 2 22 2 020 2 2R I Ewe 317 223 2812 J m106 5 105 5 2 201069 1 1085 8 3 232 27 20 2 0 J m21 0 105 5 42 2010 4 2 22 R IH wm 3 在一个回路中接有三个容量均为的电容器 回路面积为 一个均匀磁场F 30 2 100cm 垂直穿过回路平面 如图所示 若磁场的大小以每秒 5 特斯拉 的速率随时间 1 5 sT 而均匀增加 求每个电容器上的电量为多少 并标出每个电容器极板的极性 解 0 3 C C 42 100 1055 10 i dB SV dt 0 627 30 105 105 0 10 3 i qqC C B 0 C 0 C 0 C 33 4 一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成 二者半径分别是 R1和 R2 筒和圆柱 之间充以电介质 电介质和金属的 r 均可取作 1 求此电缆通过的电流 由中心圆柱 I 流出 由圆筒流回 时 单位长度内储存的磁能 并通过和自感磁能的公式比较求出单 位长度电缆的自感系数 解 内 IrH 2 0 2 0 2 2 21 1 2 1 R RR r I R R Ir H dV H dVwW mm 2 2 0 rdr r I rdr R rI R R R 21 2 2 21 2 2 21 1 1 20 0 2 2 1 0 1 2 2 0 2 0 ln 416R RII 由 2 2 LI Wm 可得 1 200 1 ln 28R R L 1 R 2 R I 34 5 在光滑水平面的桌面上 有一根长为 L 质量为 m 的匀质金属棒 以一端为中心旋转 另一端在半径为 L 的金属圆环上滑动 接触良好 棒在中心一端和金属环之间接一电阻 R 如图所示 在桌面法线方向加一均匀磁场 其磁感应强度为 B 如在起始位置 时 给金属棒一初角速度 计算 0 0 1 OA杆上动生电动势的大小 2 OA杆受到的磁力矩 3 任意时刻 t 金属棒的角速度 4 当金属棒最后停下来时 棒绕中心转过的角为多少 金属棒 金属环以及接 线的电阻 机械摩擦力忽略不计 解 1 OA杆上动生电动势的大小 2 0 2 1 LBdrrB l d Bv L i 方向 ab 2 f d rMd Bdr R rdM i OA杆受到的磁力矩 R LB BL R Bdr R rdMM i L i 42 42 2 0 方向 垂直纸面向里 3 MI 24 2 1 43 BLd mL Rdt 22 3 4 dB L dt Rm 22 3 4 0 B L t mR e 22 113 4 ddddB L dtddtdmR 22 4 3 mR dd B L 0 0 0 2222 44 33 mRmR d B LB L A B O R 35 电磁场理论的基本概念和电磁波电磁场理论的基本概念和电磁波 练习十一练习十一 1 1 证明 平行板电容器中的位移电流可写作 式中 C 是电容器的电容 dt dU CId U 是两极板间的电势差 2 如果不是平行板电容器 上式可以证明吗 3 如果是圆柱形电容器 其中的位移电流密度和平行板电容器时有何不同 解 1 平行板电容器 00d d dSSdDdEdUdU ISdC dtdtddtddtdt 2 一般电容器 qCU d d dd SDd SdqdU IC dtdtdtdtdt 3 各处相同 0 dU ddt 平 与 r 成反比 0 2 1 21 2ln LC dUdU R Sdtdtr rL R 柱 2 半径 R 0 10 m 的两块圆板 构成平行板电容器 放在真空中 今对电容器匀速充电 使两板间电场的变化率为 求 1113 100 1 smVdtdE 1 两板间的位移电流 2 电容器内离两板中心连线 r R 处的磁感应强度 r B 3 r R 处的 R B 解 1 2 0 d d ddDdE IS R dtdtdt 12213 8 85 10 0 101 0 10 2 78 A 2 7 5 0 22 4 102 78 5 56 10 T 2 2 0 1 d I r Brr R 3 556 5 56 105 56 100 15 56 10 T BR 36 3 在真空中 一平面电磁波的电场由下式给出 求 28 0 x 60 10cos 210 c 0 z y x E EtV m E 1 波长和频率 2 传播方向 3 磁感应强度的大小和方向 解 1 8 10 Hz 3