湖北省武汉市武昌区2019届高三元月调研考试数学理试题(全WORD版) (1)

武昌区 2019 届高三元月调研考试 数学理 试题 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 1 i 3i 1 i A B C D i2i1 3i 1 3i 2 已知集合 若 则实数的取值范围为 2 log 1 1 2 AxxBx xa AB a A B C D 1 3 1 3 1 3 3 已知向量不平行 且满足 则 2 1 2 abx 2abab x A B C 1 或D 1 或 1 2 1 2 1 2 1 2 4 函数的图象大致为 2 x x e f x x 5 某程序框图如右图所示 该程序运行后输出的 s A 26B 102C 410D 512 6 设满足约束条件 则的取值范围为 x y 430 290 1 xy xy x 2zxy A B C D 2 6 3 6 3 12 6 12 7 已知函数的最小正周期为 则的单调递增区间是 3sincos 0 f xxx 2 f x 开开始始 1 0ns 2nss 2nn n 8 输输出出s 结结束束 是是 否否 A B 2 2 66 kkkZ 2 2 2 33 kkkZ C D 2 2 2 33 kkkZ 5 2 2 66 kkkZ 8 已知是区间上的任意实数 则函数在上单调递增的概率ab 0 4 2 1f xaxbx 2 为 A B C D 1 8 3 8 5 8 7 8 9 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某四面体的三视图 则此四面体的体积为 A B C 32 D 48 32 3 48 3 10 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上 棱锥的底面是边长为的正三角形 SABC O2 3 侧棱长为 则球的表面积为 2 5O A B C D 10 25 100 125 11 已知为双曲线的右支上一点 分别为双曲线的左顶点M 22 22 1 0 0 xy Cab ab A FC 和右焦点 线段的垂直平分线过点 则的离心率为 FAM60MFA C A 6B 4C 3D 2 12 已知函数 则的零点个数可能有 32 11 2 32 f xxaxx f x A 1 个B 1 个或 2 个C 1 个或 2 个或 3 个D 2 个或 3 个 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 13 的展开式中的系数为 用数字填写答案 3 1 2 xx 2 x 14 已知是定义域为的奇函数 且函数为偶函数 当时 f xR 1 yf x 01x 则 3 f xx 5 2 f 15 设是公差不为零的等差数列 为其前项和 已知成等比数列 且 n a n Sn 124 S SS 3 5a 则数列的通项公式为 n a 16 过点作直线与抛物线相交 其中与交于两点 与交 0 M m 12 ll 2 4E yx 1 lEAB 2 lE 于两点 过的焦点 若的斜率满足 则实数的值为 CD ADEFADBC 12 kk 12 2kk m 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个 试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 本小题满分 12 分 在中 角的对边分别为 且 ABC ABC abc 2 sinsincos 2 C AB 3 sin sinsin cbCabAB 1 求和的大小 A B 2 若的面积为 求边上中线的长 ABC 3BCAM 18 本小题满分 12 分 如图 三棱柱中 111 ABCABC 111 2 30 6ABACAABCACABC 1 求证 平面平面 1 ABC 11 AAC C 2 求二面角的余弦值 11 BACC 19 本小题满分 12 分 某公司开发了一种产品 有一项质量指标为 长度 记为 l 单位 cm 先从中随机抽取 100 件 测量发现全部介于 85cm 和 155cm 之间 得到如下频数分布表 分组 85 95 95 105 105 115 115 125 125 135 135 145 145 155 频数2922332482 已知该批产品的质量指标值服从正态分布 其中近似为样本的平均数 近似为 2 N x 2 A B C A1 B1 C1 样本方差 同一组中的数据用该区间的中点值作代表 2 s 1 求 132 2144 4 Pl 2 公司规定 当时 产品为正品 当时 产品为次品 公司每生产一件这种产115l 115l 品 若是正品 则盈利 90 元 若是次品 则亏损 30 元 记为生产一件这种产品的利润 求随机 变量的分布列和数学期望 参考数据 15012 2 若 则 2 XN 0 6826 22 0 9544PXPX 33 0 9974PX 20 本小题满分 12 分 设分别为椭圆的左 右焦点 动点在上 12 FF 2 2 1 2 x Ey 0000 0 1 P xyyy E 的平分线交轴于点 交轴于点 过的直线 交于两点 12 FPF x 0 M myN 1 FN lECD 1 若 求的值 1 2 m 0 x 2 研究发现始终为定值 写出该定值 不需要过程 并利用该结论求面积的取值 0 x m 2 F CD 范围 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 113 ln 424 f xxaxx 1 当时 求的单调区间 1a f x 2 若存在两个极值点 且 证明 f x 12 x x 12 xx 12 12 1 2 4 f xf x a xx 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所作的第一题计 分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 在以坐标原点为极点 轴xOy 1 C 3 xt yt tx 正半轴为极轴的极坐标系中 曲线的极坐标方程为 2 C4cos 1 写出的普通方程和的直角坐标方程 1 C 2 C 2 若与相交于两点 求的面积 1 C 2 CAB OAB 23 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 已知 11f xxaxa 1 当时 求不等式的解集 1a 3f x 2 若时 不等式恒成立 求的取值范围 1x 2f xx a 武昌区 2019 届高三年级元月调研考试理科数学参考答案 123456789101112 BBAABCBDABBA 13614 1 8 15 21 n an 162 17 解析 1 因为 所以 3 sin sinsin cbCabAB 3 cb cab ab 所以 即 所以 222 3abcbc 3 cos 2 A 30A 因为 所以 即 2 sinsincos 2 C AB 1 cos sinsin 2 C AB sin1 cosBC 因为 所以 150BC sin1 cos 150 1 cos150 cossin150 sinBBBB 即 所以 6 13 sincossin601 22 BBB 30B 分 2 因为 所以 120ab C 2 13 sin3 24 ABC SabCa 2ab 在中 ACM 222 1 2cos1204 1 2 1 27 2 AMACCMACCM 所以 12 分7AM A B C M 18 解析 1 记 连结 因为 所以 11 ACACO BO 1 ABBC 1 BOAC 由题意知为正三角形 求得 在中求得 又 1 ACC 3CO 1 ABC 3BO 6BC 所以 所以 因为 所以平面 222 BCCOBO BOCO 1 COACO BO 11 AAC C 因为平面 所以平面平面 6 分BO 1 ABC 1 ABC 11 AAC C 2 建立如图所示的空间直角坐标系 则 11 0 1 0 0 1 0 3 0 0 3 1 3 ACCB 1 0 2 0 3 2 3 ACAB 因为平面 所以平面的法向量为 BO 11 AAC C 11 AAC C 0 0 3 m 设平面的法向量为 则 取 则 11 ABC nx y z 1 20 3230 n ACy n ABxyz 1x 0 1yz 所以 1 0 1 n 所以 因为所求二面角的平面角为钝角 32 cos 232 m n m n mn 所以所求二面角的余弦值为 12 分 11 BACC 2 2 A B C A1 B1 C1 O x y z 19 解析 1 抽取产频质量指标值的样本平均数为 90 0 02 100 0 09 110 0 22 120 0 33 130 0 24 140 0 08 150 0 02120 x 抽取产品质量指标值的方差为 2 900 0 02400 0 09 100 0 220 0 33 100 0 24400 0 08900 0 02150 因为 120 150 15012 2 lN 1 120132 2 0 68260 3413 2 1 2 120144 4 0 95440 4772 2 PlPl PlPl 6 分 132 2144 4 120144 4 120132 2 0 1359 PlPlPl 2 由频数分布表得 115 0 020 090 220 33 115 1 0 330 67 P lp l 随机变量的取值为 且 90 30 90 0 67 30 0 33 PP 则随机变量的分布列为 9030 P0 670 33 所以 1290 0 6730 0 3350 4E 分 20 解析 1 由题意知 12 1 0 1 0 FF 直线的方程为 即 1 PF 0 0 0 0 1 1 y yx x 000 1 0y xxyy 直线的方程为 即 2 PF 0 0 0 0 1 1 y yx x 000 1 0y xxyy 由点到和的距离相等 得 1 0 2 M 1 PF 2 PF 0000 2222 0000 11 22 1 1 yyyy yxyx 其中 2222 00000 12 1 1 1 2 22 yxxxx 且 2222 00000 12 1 1 1 2 22 yxxxx 0 22x 所以 式可化为 解得 4 00 31 22xx 0 1x 分 2 定值为 2 即 0 2 x m 直线的方程为 令 并考虑 得 PM 0 0 0 0 y yxm xm 0 x 0 2xm 0 yy 所以点的坐标为 从而过的直线 的方程为 即N 0 0 y 1 FN l 0 0 0 1 1 0 y yx 0 1 yyx 代入 消去 得 设 2 2 1 2 x y x 222 000 12 20yyy yy 1122 C x yD xy 则 2 00 1212 22 00 2 1212 yy yyy y yy 所以 2 222 2 0000 121212 2222 000 248 1 4 1212 12 yyyy yyyyy y yyy 所以 2 22 00 1212 22 0 8 1 1 2 12 F CD yy SFFyy y 因为 其中 2222 000 222222 000 8 1 2 12 1 1 2 1 12 12 12 yyy yyy 00 0 1yy 所以 所以 22 00 22 0 116 01 1 123 02 1 12 9 yy y 2 4 0 3 F CD S 所以面积的取值范围为 12 2 F CD 4 0 3 分 D C N M F1OF2 P 21 解析 当时 1a 2 113 ln 424 f xxxx 1 0f 当时 当时 2 1112 2 1 2222 xxxx fxx xxx 1x 0fx 01x 0fx 在单调递增 在单调递减 4 分 0 1 1 2 因为 所以 2 113 ln 424 f xxaxx 2 1112 222 axx fxax xx 因为存在两个极值点 所以在有两根 f x 2 20axx 0 所以 所以 且 0 1 80 a a 1 0 8 a 1212 12 xxx x aa 因为 22 121212 1212 121212 11 lnln lnln1 42 4 xxa xxxx f xf xxx xxxxxx 要证 只需证 即证 12 12 1 2 4 f xf x a xx 12 1212 lnln2 2 xx a xxxx 1 2 1 1 2 2 21 ln 1 x xx x x x 令 只需证 1 2 1 x t x 2 1 ln 1 t t t 令 所以 2 1 ln 1 0 1 t g ttg t 2 2 14 1 0 1 1 t g t ttt t 所以在单调递增 因为 所以 即 g t 1 1t 1 g tg 2 1 ln0 1 t t t 所以 12 12 1 2 4 f xf x a xx 22 解析 1 的普通方程为 由 得 1 C30 xy 4cos 2 4 cos 又因为 所以的直角坐标方程 222 cosxyx 2 C 为 4 分 22 40 xyx 2 原点到直线的距离 的标准方程为 表示圆心O30 xy 3 2 d 2 C 22 2 4xy 为 半径的圆 到直线的距离 所以 2 2 0 C2r 2 C30 xy 2 3 2 2 d 22 2 214ABrd 所 以 10 1133 7 14 2222 OAB SAB d 分 5 4 3 2 1 1 2 3 4