【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第12篇 第3讲 离散型随机变量的均值与方差限时训练 理

1 第第 3 3 讲讲 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2013 西安模拟 样本中共有五个个体 其值分别为a 0 1 2 3 若该样本的平均值为 1 则样本方差为 A B 6 5 6 5 C D 2 2 解析 由题意 知a 0 1 2 3 5 1 解得 a 1 s2 2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 5 答案 D 2 签盒中有编号为 1 2 3 4 5 6 的六支签 从中任意取 3 支 设X为这 3 支签的号 码之中最大的一个 则X的数学期望为 A 5 B 5 25 C 5 8 D 4 6 解析 由题意可知 X可以取 3 4 5 6 P X 3 P X 4 1 C3 6 1 20 C2 3 C3 6 3 20 P X 5 P X 6 C2 4 C3 6 3 10 C2 5 C3 6 1 2 由数学期望的定义可求得E X 5 25 答案 B 3 若p为非负实数 随机变量 的分布列为 012 P p 1 2 p 1 2 则E 的最大值为 A 1 B 3 2 C D 2 2 3 2 解析 由p 0 p 0 则 0 p E p 1 1 2 1 2 3 2 答案 B 4 2013 广州一模 已知随机变量X 8 若X B 10 0 6 则E D 分别 是 A 6 和 2 4 B 2 和 2 4 C 2 和 5 6 D 6 和 5 6 解析 由已知随机变量X 8 所以有 8 X 因此 求得E 8 E X 8 10 0 6 2 D 1 2D X 10 0 6 0 4 2 4 答案 B 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 某射手射击所得环数 的分布列如下 78910 Px0 10 3y 已知 的期望E 8 9 则y的值为 解析 x 0 1 0 3 y 1 即x y 0 6 又 7x 0 8 2 7 10y 8 9 化简得 7x 10y 5 4 由 联立解得x 0 2 y 0 4 答案 0 4 2013 温州调研 已知离散型随机变量X的分布列如右表 若E X 0 D X 1 则 6 a b X 1 0 1 2 P a b c 1 12 解析 由题意知Error 解得Error 答案 5 12 1 4 三 解答题 共 25 分 7 12 分 某篮球队与其他 6 支篮球队依次进行 6 场比赛 每场均决出胜负 设这支篮球 队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的 并且胜场的概率是 1 3 1 求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率 3 2 求这支篮球队在 6 场比赛中恰好胜了 3 场的概率 3 求这支篮球队在 6 场比赛中胜场数的均值和方差 解 1 P 2 1 1 3 1 3 4 27 所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为 4 27 2 P C 33 20 3 6 1 3 1 1 3 1 27 8 27 160 729 所以这支篮球队在 6 场比赛中恰胜 3 场的概率为 160 729 3 由于 服从二项分布 即 B 6 1 3 E 6 2 D 6 1 3 1 3 1 1 3 4 3 所以在 6 场比赛中这支篮球队胜场的期望为 2 方差为 4 3 8 13 分 2013 汕头一模 袋中有 20 个大小相同的球 其中记上 0 号的有 10 个 记上 n号的有n个 n 1 2 3 4 现从袋中任取一球 X表示所取球的标号 1 求X的分布列 期望和方差 2 若 aX b E 1 D 11 试求a b的值 解 1 X的分布列为 X01234 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 E X 0 1 2 3 4 1 5 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 D X 0 1 5 2 1 1 5 2 2 1 5 2 3 1 5 2 4 1 5 1 2 1 20 1 10 3 20 2 2 75 1 5 2 由D a2D X 得a2 2 75 11 即a 2 又E aE X b 所以当a 2 时 由 1 2 1 5 b 得b 2 当a 2 时 由 1 2 1 5 b 得b 4 Error 或Error 即为所求 分层 B 级 创新能力提升 1 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为a 得 2 分的概率为b 不得分的概率为 4 c a b c 0 1 已知他投篮一次得分的均值为 2 则 的最小值为 2 a 1 3b A B 32 3 28 3 C D 14 3 16 3 解析 由已知得 3a 2b 0 c 2 即 3a 2b 2 其中 0 a 0 b 1 2 3 又 2 a 1 3b 3a 2b 2 2 a 1 3b 3 2 1 3 2b a a 2b 10 3 2b a a 2b 16 3 当且仅当 即a 2b时取 等号 又 3a 2b 2 即当a b 时 的 2b a a 2b 1 2 1 4 2 a 1 3b 最小值为 故选 D 16 3 答案 D 2 已知X的分布列为 X 1 01 P 1 2 1 3 1 6 则在下列式子中 E X D X 1 3 23 27 P X 0 1 3 正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 E X 1 1 故 正确 1 2 1 6 1 3 D X 2 2 2 故 不正确 1 1 3 1 2 0 1 3 1 3 1 1 3 1 6 5 9 由分布列知 正确 答案 C 3 随机变量 的分布列如下 1 01 5 Pabc 其中a b c成等差数列 若E 则D 的值是 1 3 解析 根据已知条件 Error 解得 a b c 1 6 1 3 1 2 D 2 2 2 1 6 1 1 3 1 3 0 1 3 1 2 1 1 3 5 9 答案 5 9 4 2013 滨州一模 设l为平面上过点 0 1 的直线 l的斜率等可能地取 2 0 2 用 表示坐标原点到l的距离 则随机变量 23 5 2 5 232 的数学期望E 解析 当l的斜率k为 2时 直线l的方程为 2x y 1 0 此时坐标原点到 22 l的距离d 当k为 时 d 当k为 时 d 当k为 0 时 d 1 由古 1 33 1 2 5 2 2 3 典概型的概率公式可得分布列如下 1 3 1 2 2 3 1 P 2 7 2 7 2 7 1 7 所以E 1 1 3 2 7 1 2 2 7 2 3 2 7 1 7 4 7 答案 4 7 5 2013 大连二模 甲 乙 丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 a a 0 a 1 1 2 三人各射击一次 击中目标的次数记为 1 求 的分布列及数学期望 2 在概率P i i 0 1 2 3 中 若P 1 的值最大 求实数a的取值范围 解 1 P 是 个人命中 3 个人未命中 的概率 其中 的可能取值为 0 1 2 3 P 0 1 a 2 1 a 2 1 1 2 1 2 P 1 1 a 2 a 1 a 1 a a 1 2 1 1 2 1 1 2 6 1 a2 1 2 P 2 a2 1 a a a 1 a 1 1 2 1 2 1 2 2a a2 1 2 P 3 a2 2 所以 的分布列为 0123 P 1 a 2 1 2 1 a2 1 2 2a a2 1 2 a2 2 的数学期望为 E 0 1 a 2 1 1 a 2 2 2a a2 3 1 2 1 2 1 2 a2 2 4a 1 2 2 P 1 P 0 1 a2 1 a 2 a 1 a 1 2 P 1 P 2 1 a2 2a a2 1 2 1 2a 2 P 1 P 3 1 a2 a2 1 2 1 2a2 2 由Error 及 0 a 1 得 0 a 1 2 即a的取值范围是 0 1 2 6 2013 福州模拟 随机抽取某厂的某种产品 200 件 经质检 其中有一等品 126 件 二 等品 50 件 三等品 20 件 次品 4 件 已知生产 1 件一 二 三等品获得的利润分别为 6 万元 2 万元 1 万元 而 1 件次品亏损 2 万元 设 1 件产品的利润 单位 万元 为 1 求 的分布列 2 求 1 件产品的平均利润 即 的均值 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为 1 一等品率提高为 70 如果 此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4 73 万元 则三等品率最多是多少 思维启迪 本题在求解时 一定要分清求解的是哪一个变量的均值 理清随机变量取值 时的概率 解 1 由于 1 件产品的利润为 则 的所有可能取值为 6 2 1 2 由题意知 7 P 6 0 63 P 2 0 25 126 200 50 200 P 1 0 1 P 2 0 02 20 200 4 200 故 的分布列为 621 2 P0 630 250 10 02 2 1 件产品的平均利润为E 6 0 63 2 0 25 1 0 1 2 0 02 4 34 万 元 3 设技术革新后三等品率为x 则此时 1 件产品的平均利润为E 6 0 7 2 1 0 7 x 0 01 1 x 2 0 01 4 76 x 由E 4 73 得 4 76