阅读与思考集合中元素的个数.docx

集合中元素个数的探究及应用【教材位置】必修1集合第1314页.【基础知识】学习集合的子交并补运算，及其符号表示、Venn图表示.【教学目标】1、了解集合元素个数的表示法；2、理解两（三）个元素集合的交、并集的元素个数的求法；3、会求两（三）个元素集合的交、并集的元素个数；4、了解Venn图在集合中的作用，并会用Venn图分析集合问题； 5、了解有限集与无限集元素个数的区别.【教学过程】一、有限集元素个数记法 把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示集合A中元素的个数(card是英文cardicardal(基数)的缩写，有的教材如记作n(A)）.例如：集合A=a,b,c中有三个元素，我们记作card(A)=3.二、问题引入学校小卖部进了两次货，第一次进的货是铅笔、水笔、橡皮、笔记本、方便面、矿泉水共6种，第二次进的货是铅笔、圆珠笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？分析：用集合的角度考虑问题.记第一次进货的品种为集合A，第二次进货的品种为集合B.则A=铅笔、水笔、橡皮、笔记本、方便面、矿泉水，B=铅笔、圆珠笔、火腿肠、方便面.这里card(A)=6，card(B)=4. 求两次一共进了几种货？指的是card(AB) .而两次进货里有同的品种，相同品种个数实际就是card(AB).因此card(AB)=8，card(AB)=2.三、结论的探究与证明探究一：两个有限集合的并集中元素个数问题.若AB=，显然有card(AB)=card(A)+card(B)；若AB，利用Venn图表示如图1，card(AB)与card(A)+card(B)相比，后者比前者多了二者的公共部分（即card(AB)），由此我们可得结论1：已知两个有限集合A，B，有：card(AB) =card(A)+ card(B) -card(AB).探究二：三个集合的并集中元素的个数问题.为了便于说清楚问题，我们考虑AB、CB、AC、ABC的情况，利用维恩图表示如图2,相对card(ABC)来说card(A)+card(B)+card(C)的数目中多计了a,c,d一次，b两次，由此建立等量关系式：a=card(AB)-card(ABC),c=card(BC)-card(ABC),d=card(AC)-card(ABC)故card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(ABC)-card(BC)-card(ABC)-card(AC)-card(ABC)-2card(ABC)整理得,card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)，由此我们可得结论2：已知三个有限集合A，B，C，有card(ABC)= card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC).四、应用举例例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合，那么AB就是两次运动会都参赛的学生的集合，card(A), card(B),card(AB)是已知的，于是可以根据上面的公式求出card(AB).解：设A=田径运动会参赛的学生，B=球类运动会参赛的学生，AB=两次运动会都参赛的学生,AB=所有参赛的学生因此card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)=8+12-3=17.答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.例2某校对68名学生去游览A、B、C三个公园的情况进行调查，统计结果如下：（1）每个人至少去过A、B、C三个公园中的一个；（2）到过A和B，B和C，C和A两个公园的人数分别为25人，21人，19人；（3）到过A或B，B或C，C或A公园的人数分别为60人，59人，56人.试问，这些学生到过A、B、C公园的人数分别各为多少？三个公园都到过的学生有多少？分析：本题是关于集合中元素个数公式的运用的一个题目，主要是考察学生对集合中元素个数的理解与两个集合与它们交，并这四个集合间的元素个数公式的运用.对于第二问应该要从题目各个条件的分析中找到答案.解：设A=去过A公园游览的学生；B=去过B公园游览的学生；C=去过C公园游览的学生；AB=去过A或B公园游览的学生；BC=去过B或C公园游览的学生；CA=去过C或A公园游览的学生ABC=去过A，或B或C公园游览的学生；AB=既去过A也去过B公园游览的学生BC=既去过B也去过C公园游览的学生CA=既去过C也去过A公园游览的学生ABC=三个公园都去游览过的学生由题意card(ABC)=68；card(AB)=25；card(BC)=21；card(CA)=19；card(AB)=60,card(BC)=59,card(CA)=56（1）由公式：card(A)+card(B)=card(AB)+card(AB)card(B)+card(C)=card(BC)+card(BC)card(C)+card(A)=card(CA)+card(CA)得：card(A)+card(B)=85card(B)+card(C)=80card(C)+card(A)=75由得card(A)=40，card(B)=45，card(C)=35.（2）由公式card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)得68=40+45+35-25-21-19+card(ABC)，所以，card(ABC)=13答：学生到过A、B、C公园的人数分别为40人、45人、35人，三个公园都到过的学生有13人.五、无限集中的元素个数思考：“有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来，而对于元素个数无限的集合，如：A=1,2,3,4,，n，B=2，4，6，8，2n，我们无法数出集合中的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少。你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？”等势的定义：设A，B为两个集合，若在A，B之间存在着一一对应的关系：Y：AB（即集合A中的每一个元素都有集合B中惟一的一个元素与之对应，集合B中的每一个元素都有集合A中的惟一的一个元素与之对应），则称A与B是对等的，记作：AB，也称集合A，B等势(Equipotent) 康托尔也提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数，把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，即称为等势有点像函数中的一一对应那么由“等势”的概念，集合A=1,2,3,4,，n，与集合B=2，4，6，8，2n，是可以找到一个一一对应的，集合A中的每一个元素都有集合B中惟一的一个元素与之对应，集合B中的每一个元素都有集合A中的惟一的一个元素与之对应，所以两个集合中的元素个数是相同的，即等势任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系，对于无穷集这点就不成立了从而表面上看，有限集和无限集只是数量上的差别，但是却从“量变”引起了“质变”因此，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集无限集合有许多有限集合所没有的特征，而有限集合的一些特征也不能任意推广到无限集合中去，即使有的能推广，也要做某些意义上的修改 六、课后练习1.某班的54名学生对美术选修专题素描和速写的选择情况如下（每位学生至少选1个专题）：两个专题都选的有6人，选速写的学生数比选素描的多8人，则只选修了素描的学生有 2人解析：根据已知条件设选修专题素描的学生为x，结合Card（AB）=Card（A）+Card（B）-Card（AB），构造关于x的方程，解出x值后，进而可得只选修了素描的学生人数解：设A=选修专题素描的学生，B=选修专题速写的学生 ，则AB=某班全体学生设Card（A）=x，则Card（B）=x+8，Card（AB）=54， Card（AB）=6Card（AB）=Card（A）+Card（B）-Card（AB）54=2x+2解得x=26 则只选修了素描的学生有26-6=20人2.已知card（M）=10，AM，BM，AB=，且card（A）=2，card（B）=3若集合X满足AXM，则集合X的个数是256 ；若集合Y满足YM，且AY，BY