前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(大纲)非数学类

中国大学生数学竞赛竞赛大纲中国大学生数学竞赛竞赛大纲 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设 提高大学数学课程的教学水平 激 励大学生学习数学的兴趣 发现和选拔数学创新人才 更好地实现 中国大学生数学竞赛 的目标 特制订本大纲 一 竞赛的性质和参赛对象 中国大学生数学竞赛 的目的是 激励大学生学习数学的兴趣 进一步推动高等学校 数学课程的改革和建设 提高大学数学课程的教学水平 发现和选拔数学创新人才 中国大学生数学竞赛 的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生 二 竞赛的内容 中国大学生数学竞赛 分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题 中国大学生数学竞赛 非数学专业类 竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程 的教学内容 具体内容如下 一 函数 极限 连续 1 函数的概念及表示法 简单应用问题的函数关系的建立 2 函数的性质 有界性 单调性 周期性和奇偶性 3 复合函数 反函数 分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函 数 4 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 5 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 6 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限 7 函数的连续性 含左连续与右连续 函数间断点的类型 8 连续函数的性质和初等函数的连续性 9 闭区间上连续函数的性质 有界性 最大值和最小值定理 介值定理 二 一元函数微分学 1 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关 系 平面曲线的切线和法线 2 基本初等函数的导数 导数和微分的四则运算 一阶微分形式的不变性 3 复合函数 反函数 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 4 高阶导数的概念 分段函数的二阶导数 某些简单函数的 n 阶导数 5 微分中值定理 包括罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理和泰勒定理 6 洛必达 L Hospital 法则与求未定式极限 7 函数的极值 函数单调性 函数图形的凹凸性 拐点及渐近线 水平 铅直和斜渐 近线 函数图形的描绘 8 函数最大值和最小值及其简单应用 9 弧微分 曲率 曲率半径 三 一元函数积分学 1 原函数和不定积分的概念 2 不定积分的基本性质 基本积分公式 3 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 变上限定积分确定的函数及其导数 牛顿 莱布尼茨 Newton Leibniz 公式 4 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 5 有理函数 三角函数的有理式和简单无理函数的积分 6 广义积分 7 定积分的应用 平面图形的面积 平面曲线的弧长 旋转体的体积及侧面积 平 行截面面积为已知的立体体积 功 引力 压力及函数的平均值 四 常微分方程 1 常微分方程的基本概念 微分方程及其解 阶 通解 初始条件和特解等 2 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利 Bernoulli 方 程 全微分方程 3 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 n xfy yxfy yyfy 4 线性微分方程解的性质及解的结构定理 5 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 6 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 自由项为多项式 指数函数 正弦函数 余弦函数 以及它们的和与积 7 欧拉 Euler 方程 8 微分方程的简单应用 五 向量代数和空间解析几何 1 向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积 2 两向量垂直 平行的条件 两向量的夹角 3 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 4 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程 直线方程 5 平面与平面 平面与直线 直线与直线的夹角以及平行 垂直的条件 点到平面 和点到直线的距离 6 球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 常用的二 次曲面方程及其图形 7 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程 六 多元函数微分学 1 多元函数的概念 二元函数的几何意义 2 二元函数的极限和连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 3 多元函数偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件 4 多元复合函数 隐函数的求导法 5 二阶偏导数 方向导数和梯度 6 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 7 二元函数的二阶泰勒公式 8 多元函数极值和条件极值 拉格朗日乘数法 多元函数的最大值 最小值及其简 单应用 七 多元函数积分学 1 二重积分和三重积分的概念及性质 二重积分的计算 直角坐标 极坐标 三重 积分的计算 直角坐标 柱面坐标 球面坐标 2 两类曲线积分的概念 性质及计算 两类曲线积分的关系 3 格林 Green 公式 平面曲线积分与路径无关的条件 已知二元函数全微分求原函 数 4 两类曲面积分的概念 性质及计算 两类曲面积分的关系 5 高斯 Gauss 公式 斯托克斯 Stokes 公式 散度和旋度的概念及计算 6 重积分 曲线积分和曲面积分的应用 平面图形的面积 立体图形的体积 曲面面 积 弧长 质量 质心 转动惯量 引力 功及流量等 八 无穷级数 1 常数项级数的收敛与发散 收敛级数的和 级数的基本性质与收敛的必要条件 2 几何级数与 p 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨 Leibniz 判别法 3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 4 函数项级数的收敛域与和函数的概念 5 幂级数及其收敛半径 收敛区间 指开区间 收敛域与和函数 6 幂级数在其收敛区间内的基本性质 和函数的连续性 逐项求导和逐项积分 简 单幂级数的和函数的求法 7 初等函数的幂级数展开式 8 函数的傅里叶 Fourier 系数与傅里叶级数 狄利克雷 Dirichlei 定理 函数在 l l 上的傅里叶级数 函数在 0 l 上的正弦级数和余弦级数 前三届高数竞赛预赛试题 非数学类 前三届高数竞赛预赛试题 非数学类 参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识 适当看一些辅导书 及相关题目 主要是一些各大高校的试题 20092009 年年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 1 计算 其中区域由直线与 yx yx x y yx D dd 1 1ln D1 yx 两坐标轴所围成三角形区域 解 令 则 vxuyx vuyvx vuvuyxdddd 11 10 detdd vu u vuuu yx yx x y yx DD dd 1 lnln dd 1 1ln 1 0 2 1 000 d 1 ln 1 ln d dln 1 d 1 ln u u uuuu u uu uvv u u v u uu uu 1 0 2 d 1 u u u 令 则ut 1 2 1tu dt2dtu 422 21ttu 1 1 1 2 tttuu 0 1 42 d 21 2 ttt 1 0 42 d 21 2ttt 15 16 5 1 3 2 2 1 0 53 ttt 2 设是连续函数 且满足 则 xf 2 0 2 2d 3 xxfxxf xf 解 令 则 2 0 d xxfA23 2 Axxf AAxAxA24 2 28d 23 2 0 2 解得 因此 3 4 A 3 10 3 2 xxf 3 曲面平行平面的切平面方程是 2 2 2 2 y x z022 zyx 解 因平面的法向量为 而曲面在022 zyx 1 2 2 2 2 2 2 y x z 处的法向量为 故 00 yx 1 0000 yxzyxz yx 与平行 因此 由 知 1 0000 yxzyxz yx 1 2 2 xzx yzy2 000000 2 2 2yyxzxyxz yx 即 又 于是曲面在1 2 00 yx5 1 2 00 zyxz022 zyx 处的切平面方程是 即曲面 0000 yxzyx0 5 1 2 2 2 zyx 平行平面2 2 2 2 y x z 的切平面方程是 022 zyx0122 zyx 4 设函数由方程确定 其中具有二阶导数 且 则 xyy 29ln yyf exe f1 f 2 2 d d x y 解 方程的两边对求导 得29ln yyf exe x 29ln yeeyyf xe yyfyf 因 故 即 因此 29ln yfy xee yyyf x 1 1 1 yfx y 222 2 1 1 1 d d yfx yyf yfx y x y 32 2 232 1 1 1 1 1 yfx yfyf yfxyfx yf 二 二 5 5 分 求极限分 求极限 其中 其中是给定的正整数是给定的正整数 x e nxxx x n eee lim 2 0 n 解 因 x e nxxx x x e nxxx x n neee n eee 1 lim lim 2 0 2 0 故 nx neee e x e n neee A nxxx x nxxx x 2 0 2 0 lim lim e n n n e n neee e nxxx x 2 1212 lim 2 0 因此 e n A x e nxxx x ee n eee 2 1 2 0 lim 三 三 1515 分 设函数分 设函数连续 连续 且 且 为常数 求为常数 求 xf 1 0 d txtfxgA x xf x lim 0 A 并讨论并讨论在在处的连续性处的连续性 x g x g 0 x 解 由和函数连续知 A x xf x lim 0 xf0 limlim lim 0 000 x xf xxff xxx 因 故 1 0 d txtfxg0 0 d 0 0 1 0 ftfg 因此 当时 故0 x x uuf x xg 0 d 1 0 0 1 lim d lim lim 0 0 00 f xf x uuf xg x x xx 当时 0 x x xf uuf x xg x d 1 0 2 2 0 0 0 00 d lim d 1 lim 0 lim 0 x ttf x ttf x x gxg g x x x xx 22 lim 0 A x xf x 22 d 1 lim lim d 1 lim lim 0 2 000 2 00 AA Auuf xx xf x xf uuf x xg x xx x xx 这表明在处连续 x g 0 x 四 四 1515 分 已知平面区域分 已知平面区域 为为的正向边界 试的正向边界 试 0 0 yxyxDLD 证 证 1 1 L xy L xy xyeyxexyeyxedddd sinsinsinsin 2 2 2sinsin 2 5 dd L yy xyeyxe 证 因被积函数的偏导数连续在上连续 故由格林公式知D 1 yxye y xe x xyeyxe D xy L xy dd dd sinsinsinsin yxee D xy dd sinsin L xy xyeyxedd sinsin yxye y xe x D xy dd sinsin yxee D xy dd sinsin 而关于和是对称的 即知Dxy yxee D xy dd sinsin yxee D xy dd sinsin 因此 L xy L xy xyeyxexyeyxedddd sinsinsinsin 2 因 1 2 4 2 1 2 2 42 t tt ee tt 故 2 2cos5 2 2cos1 2sin2 2sinsin xx xee xx 由 D xy LD xyyy yxeeyxeexyeyxedd dd dd sinsinsinsinsinsin 知 D xy LD xyyy yxeeyxeexyeyxedd 2 1 dd 2 1 dd sinsinsinsinsinsin D xx D xx D yy yxeeyxeeyxeedd dd 2 1 dd 2 1 sinsinsinsinsinsin 2 00 sinsin 2 5 d 2 2cos5 d x x xee xx 即 2sinsin 2 5 dd L yy xyeyxe 五 五 1010 分 已知分 已知 是某二阶常系数是某二阶常系数 xx exey 2 1 xx exey 2 xxx eexey 2 3 线性非齐次微分方程的三个解 试求此微分方程线性非齐次微分方程的三个解 试求此微分方程 解 设 是二阶常系数线性非齐 xx exey 2 1 xx exey 2 xxx eexey 2 3 次微分方程 xfcyyby 的三个解 则和都是二阶常系数线性齐次微分方程 xx eeyy 2 12 x eyy 13 0 cyyby 的解 因此的特征多项式是 而的0 cyyby0 1 2 0 cyyby 特征多项式是 0 2 cb 因此二阶常系数线性齐次微分方程为 由和02 yyy 2 111 xfyyy xxx exeey 2 1 2 xxx exeey 2 1 42 知 111 2 yyyxf 2 2 42 222xxxxxxxx exeeexeeexe x ex 21 二阶常系数线性非齐次微分方程为 xx xeeyyy22 六 六 1010 分 设抛物线分 设抛物线过原点过原点 当当时时 又已知该抛物又已知该抛物cbxaxyln2 2 10 x0 y 线与线与轴及直线轴及直线所围图形的面积为所围图形的面积为 试确定试确定 使此图形绕使此图形绕轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的x1 x 3 1 cba x 旋转体的体积最小旋转体的体积最小 解 因抛物线过原点 故 于是cbxaxyln2 2 1 c 2323 dt 3 1 1 0 23 1 0 2 ba x b x a bxax 即 1 3 2 ab 而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积x 1 0 22 1 0 22 dt 1 3 2 dt xaaxbxaxaV 1 0 22 1 0 3 1 0 42 dt 1 9 4 dt 1 3 4 dtxaxaaxa 22 1 27 4 1 3 1 5 1 aaaa 即 22 1 27 4 1 3 1 5 1 aaaaaV 令 0 1 27 8 21 3 1 5 2 aaaaV 得 04040904554 aaa 即 054 a 因此 4 5 a 2 3 b1 c 七 七 1515 分 已知分 已知满足满足 且且 求函数求函数 xun 2 1 1 nexxuxu xn nn n e un 1 项级数项级数之和之和 1 n n xu 解 xn nn exxuxu 1 即 xn exyy 1 由一阶线性非齐次微分方程公式知 d 1 xxCey nx 即 n x Cey n x 因此 n x Cexu n x n 由知 1 1 n Ceu n e n 0 C 于是 n ex xu xn n 下面求级数的和 令 11 n xn n n n ex xuxS 则 x e xSexxS n ex exxS x n xn n xn xn 1 1 1 1 1 即 x e xSxS x 1 由一阶线性非齐次微分方程公式知 d 1 1 x x CexS x 令 得 因此级数的和0 xCS 0 0 1 n n xu 1ln xexS x 八 八 1010 分 求分 求时时 与与等价的无穷大量等价的无穷大量 1x 0 2 n n x 解 令 则因当 时 故 2 t xtf 10 x 0 t 2 2ln0 t f ttxx 在上严格单调减 因此 x t t extf 1 ln 2 2 0 1 010 001 d d 0 d1 d nn nn nnn f ttf ttf nff ttf tt 即 00 0 d 1 d n f ttf nf tt 又 2 00 n nn f nx 1 1 1 lim 1 1 ln lim 11 x x x xx 21 ln 1 d 1 ln 1 ddd 00 1 ln 00 2 2 2 x te x tetxttf t x t t 所以 当时 与等价的无穷大量是 1x 0 2 n n x x 12 1 20102010 年年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识 适当看一些辅导书 及相关题目 主要是一些各大高校的试题 一 一 2525 分 每小题分 每小题 5 5 分 分 1 设其中求 22 1 1 1 n n xaaa 1 a lim n n x 2 求 2 1 lim1 x x x e x 3 设 求 0s 0 1 2 sxn Iex dx n 4 设函数有二阶连续导数 求 f t 22 1 rxyg x yf r 22 22 gg xy 5 求直线与直线的距离 1 0 0 xy l z 2 213 421 xyz l 解 1 22 1 1 1 n n xaaa 22 1 1 1 1 1 n n xaaaaa 222 1 1 1 1 n aaaa 1 2 1 1 n aa 1 2 limlim 1 1 1 1 n n nn xaaa 2 2 2 2 11 ln 1 ln 1 1 lim1limlim xx x exx x xx xxx eee x 令 x 1 t 则 原式 2 1 ln 1 1 1 11 2 1 22 000 limlimlim tt t t tt ttt eeee 3 0 000 1 120 21 0 11 1 sxnnsxnsxsxn n sxn nn nn Iex dxx dex eedx ss nnn nnn exdxIII sssss 二 二 1515 分 设函数分 设函数在在上具有二阶导数 并且上具有二阶导数 并且 f x 且存在一点且存在一点 使得 使得 0 lim 0 lim 0 xx fxfxfx 0 x 0 0f x 证明 方程证明 方程在在恰有两个实根 恰有两个实根 0f x 解 二阶导数为正 则一阶导数单增 f x 先减后增 因为 f x 有小于 0 的值 所以只 需在两边找两大于 0 的值 将 f x 二阶泰勒展开 2 0 0 2 f f xffxx 因为二阶倒数大于 0 所以 lim x f x lim x f x 证明完成 三 三 1515 分 设函数分 设函数由参数方程由参数方程所确定 其中所确定 其中具有二阶具有二阶 yf x 2 2 1 xtt t yt t 导数 曲线导数 曲线与与在在出相切 求函数出相切 求函数 yt 2 2 1 3 2 t u yedu e 1t t 解 这儿少了一个条件 由 与在出相切得 2 2 d y dx yt 2 2 1 3 2 t u yedu e 1t 3 1 2e 2 1 e 22 dydy dt dxdx dt t t 2 2 d y dx 3 2 22 2 2 d dy dxd dy dxdt dxdx dt ttt t 上式可以得到一个微分方程 求解即可 四 四 1515 分 设分 设证明 证明 1 0 n nnk k aSa 1 1 当 当时 级数时 级数收敛 收敛 1 1 n n n a S 2 2 当 当且且时 级数时 级数发散发散 1 n sn 1 n n n a S 解 1 0 单调递增 n a n s 当收敛时 而收敛 所以收敛 1 n n a 1 nn n aa ss 1 n a s n n a s 当发散时 1 n n a lim n n s 11 1 nn nn ss nnn ss nnn assdxdx sssx 所以 11 11 12 11 nn n ss n ss nn n aaadxdx ssxsx 而 收敛于 k 1 111 1111 11 lim 11 n s n sn ssaasdx k xss 所以 收敛 1 n n n a s 2 lim n n s 所以发散 所以存在 使得 1 n n a 1 k 1 1 2 k n n aa 于是 1 11 1 2 22 1 2 k kkn nn nnk a aa sss 依此类推 可得存在 12 1 kk 使得成立 所以 1 1 2 i i k n k n a s 1 1 2 N k n n a N s 当时 所以发散n N 1 n n n a s 五 五 1515 分 设分 设 是过原点 方向为是过原点 方向为 其中 其中的直线 均匀椭球的直线 均匀椭球l 222 1 其中 其中 密度为密度为 1 1 绕 绕 旋转 旋转 222 222 1 xyz abc 0 cba l 1 1 求其转动惯量 求其转动惯量 2 2 求其转动惯量关于方向 求其转动惯量关于方向的最大值和最小值 的最大值和最小值 解 1 椭球上一点 P x y z 到直线的距离 2222222 1 1 1 222dxyzxyyzzx 0 xydVyzdVzxdV 222 222 2 2223 2 1 4 1 15 cc cc xyz abc z z dVz dzdxdyabz dzabc c 由轮换对称性 2323 44 1515 x dVa bcy dVab c 2232323 444 1 1 1 151515 Id dVa bcab cabc 222222 4 1 1 1 15 abcabc 2 abc 当时 1 22 max 4 15 Iabc ab 当时 1 22 min 4 15 Iabc bc 六 六 15 15 分分 设函数设函数具有连续的导数 在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线具有连续的导数 在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上 曲上 曲 x C 线积分线积分的值为常数 的值为常数 42 2 c xydxx dy xy 1 1 设 设为正向闭曲线为正向闭曲线证明证明L 22 2 1 xy 42 2 0 c xydxx dy xy 2 2 求函数 求函数 x 3 3 设 设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线 求是围绕原点的光滑简单正向闭曲线 求 C 42 2 c xydxx dy xy 解 1 L 不绕原点 在 L 上取两点 A B 将 L 分为两段 再从 A B 作一曲线 1 L 2 L 3 L 使之包围原点 则有 13 23 424242 2 2 2 LLL LL xydxx dyxydxx dyxydxx dy xyxyxy 2 令 4242 2 xyx PQ xyxy 由 1 知 代入可得0 QP xy 42352 422x xyxxxxy 上式将两边看做 y 的多项式 整理得 2 4325 4 2 2yxx xxxyxx 由此可得 2xx 435 42x xxxx 解得 2 xx 3 取为 方向为顺时针 L 424 xy 0 QP xy 424242 2 4 2 2 2 1 2 c c LL L xydxx dyxydxx dyxydxx dy xyxyxy xydxx dy 20112011 年年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识 适当看一些辅导书 及相关题目 主要是一些各大高校的试题 一 一 计算下列各题 本题共计算下列各题 本题共 3 3 小题 每小题各小题 每小题各 5 5 分 共分 共 1515 分 分 1 求 1 1 cos 0 sin lim x x x x 解 用两个重要极限 2 000322 1sin 1 cossin1 cos 00 1 sincos1 2 limlimlim sin 1133 1 cos 3222 0 sinsin limlim 1 lim xxx xx x xx x xx xx x x xx x x xxx xx x xxx xx eeeee 2 求 111 lim 12 n nnnn 解 用欧拉公式 令 111 12 n x nnnn 11 1ln C o 1 2 1111 1ln2 C o 1 212 n n n nnn 由欧拉公式得 则 其中 表示时的无穷小量 1on ln2o 1 n x 两式相减 得 limln2 n n x 3 已知 求 2 ln 1 arctan t t xe yte 2 2 d y dx 解 22 2 2222 2 1 21 1 1 2112 1 t tttt t tttt t e dxedyedyee e edtedtedxe e 2 22 2224 12 12 1 224 tt tt ttt ee d yddyee dx dxdtdxeee dt 二 二 本题 本题 1010 分 求方程分 求方程的通解的通解 2410 xydxxydy 解 设 则24 1PxyQxy 0PdxQdy 是一个全微分方程 设1 PQ yx 0PdxQdy dzPdxQdy 0 0 241 x y zdzPdxQdyxydxxydy 该曲线积分与路径无关 PQ yx 22 00 1 2414 2 xy zxdxxydyxxxyyy 三 三 本题 本题 1515 分 设函数分 设函数 f x f x 在在 x 0 x 0 的某邻域内具有二阶连续导数 且的某邻域内具有二阶连续导数 且 均不为均不为 0 0 证明 存在唯一一组实数 证明 存在唯一一组实数 使得 使得 0 0 0fff 123 k k k 123 2 0 230 lim0 h k f hk fhk fhf h 证明证明 由极限的存在性 123 0 lim2300 h k f hk fhk fhf 即 又 123 100kkkf 00f 123 1kkk 由洛比达法则得 123 2 0 123 0 230 lim 2233 lim0 2 h h k f hk fhk fhf h k fhk fhk fh h 由极限的存在性得 123 0 lim22330 h k fhk fhk fh 即 又 123 2300kkkf 00f 123 230kkk 再次使用洛比达法则得 123 0 123 0 123 2233 lim 2 4293 lim0 2 490000 h h k fhk fhk fh h k fhk fhk fh kkkff 123 490kkk 由 得是齐次线性方程组的解 123 k k k 123 123 123 1 230 490 kkk kkk kkk 设 则 1 2 3 1111 123 0 1490 k Axkb k Axb 增广矩阵 则 11111003 12300103 14900011 A 3R A bR A 所以 方程有唯一解 即存在唯一一组实数满足题意 Axb 123 k k k 且 123 3 3 1kkk 四 本题 17 分 设 其中 222 1 222 1 xyz abc 0abc 为与的交线 求椭球面在上各点的切平面到原点 222 2 zxy 1 2 1 距离的最大值和最小值 解 设上任一点 令 M x y z 222 222 1 xyz F x y z abc 则椭球面在上点 M 处的法向量为 222 222 xyz xyz FFF abc 1 在点 M 处的切平面为 222 xyz t abc 1 222 0 xyz XxYyZz abc 原点到平面的距离为 令 222 444 1 d xyz abc 则 222 444 xyz G x y z abc 1 d G x y z 现在求在条件 222 444 xyz G x y z abc 222 222 1 xyz abc 下的条件极值 222 zxy 令 222222 222 12 444222 1 xyzxyz H x y zxyz abcabc 则由拉格朗日乘数法得 12 42 12 42 12 42 222 222 222 22 20 22 20 22 20 10 0 x y z xx Hx aa yy Hy bb zz Hz cc xyz abc xyz 解得或 22 22 22 0 x b c yz bc 22 22 22 0 a c xz ac y 对应此时的或 44 2222 bc G x y z b cbc 44 2222 ac G x y z a cac 此时的或 22 1 44 bc dbc bc 22 2 44 ac dac ac 又因为 则0abc 12 dd 所以 椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为 1 22 2 44 ac dac ac 22 1 44 bc dbc bc 五 五 本题 本题 1616 分 已知分 已知 S S 是空间曲线是空间曲线绕绕 y y 轴旋转形成的椭球面的上半部轴旋转形成的椭球面的上半部 22 31 0 xy z 分 分 取上侧 取上侧 是是 S S 在在点处的切平面 点处的