【教案一】1411直角三角形三边的关系

第 1 页 共 7 页 14 1 勾股定理勾股定理 1 1 直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系 长宁县培风中学长宁县培风中学 林家兴林家兴 教教 师师林家兴年年 级级初二 科科 目目数学班班 级级6 班 授课授课 时间时间 课课 题题14 1 1 直角三角形三边的关系 教学教学 目标目标 1 理解勾股定理的两种证明方法 毕达哥拉斯证法和赵爽的弦图证法 应用勾股定理解决 简单的直角三角形三边计算问题 2 通过对直角三角形三边关系的猜想验证 经历从特殊到一般的探索过程 发展合情推理 体会数形结合的思想 3 在勾股定理的探索过程中感受数学文化的内涵 增进数学学习的信心 教学重点教学重点探究并理解勾股定理 教学难点教学难点探索勾股定理的验证方法 教学方法教学方法启发式与探究式相结合 教学手段教学手段多媒体投影 计算机辅助教学 自制教具实验辅助 教教学学过过程程设设计计 教教师师活活动动学学生生活活动动设设计计意意图图 一 一 旧知新问 引出新课旧知新问 引出新课 提问 你们对直角三角形都有哪些了解 提问 你们对直角三角形都有哪些了解 预案 预案 学生易答 直角三角形中有一个直角 两个锐角互余 三 角形两边之和大于第三边等 预设问题 直角三角形的三边长 之间满足怎样的等量关系呢 为什么 你能直接从图形中看出 来吗 从而引出今天我们将共同探讨问题 直角三角形三边的 数量关系 二 二 猜想探索 形成方法猜想探索 形成方法 在 2500 年前 古希腊著名的哲学家 数学家 天文学家 毕达哥拉斯就已经对此问题有了明确的结论并给与了证明 相 传他对三角形三边关系的发现竟然是从地砖中得到的 现在就 让我们一同回到 2500 年前 体验一下毕达哥拉斯的经历 活动活动 1 1 地砖里的秘密 地砖里的秘密 地砖中隐含着直角三角形三边关系的什么 秘密 呢 学生交流对直角三角 形中的角 边关系的 认识 激发学生探索勾 股定理的兴趣 通过 活动 1 第 2 页 共 7 页 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 1 一 R Q P 度 度 4 3 度 度 1 2 B CA 图 1 预设问题 问题 1 地砖是由全等的直角三角形拼接而成的 每个直 角三角形都相邻三个正方形 这三个正方形面积间有怎样的关 系 你是怎样看出来的 问题 2 如果用直角三角形三边长来分别表示这三个正方 形的面积 又将反映三边怎样的数量关系 问题 3 等腰直角三角形满足上述关系 那么一般直角三 角形呢 发现 SSS 平方长的平方和等于斜边的等腰直角三角形直角边 黄绿蓝 活动活动 2 2 勾三 股四 弦几何 勾三 股四 弦几何 鼓励学生利用毕达哥拉斯的面积方法在图 2 的网格图中 尝试探索 勾三股四的直角三角形的弦长 已知 Rt 4 3 90 ACBCCABC 求AB的长 图 2 预设问题 1 正方形P Q的面积为什么易求 2 正方形R的面积不易求的原因是什么 3 怎样将正方形R的面积转化为几个 格点图形 的面积和或差来计算呢 预案 活动 1 在三个问题的引领下 学生逐渐发现三个正 方形面积间的关系 转化为等腰直角三角 形的三边关系 进而 提出一般直角三角形 三边关系的猜想 活动活动 2 2 学生小组合作 在网 格纸上画图探究正方 形R的面积 小组代 表交流方法 对地砖中图形的 探索培养学生能 够用数学的眼光 认识生活中现象 的能力 将面积 关系转化为等腰 直角三角形三边 长之间的数量关 系 让学生体验 面积法 在几 何证明中的作用 为探索一般直角 三角形三边关系 提供了方法线 索 活动活动 2 2 对 勾三 股四 弦五 这种较一 般的直角三角形 的三边关系进行 探究 让学生进 一步体验毕达哥 拉斯的面积法 也再次为猜想提 供有力证据 不 仅如此 正方形 R面积的计算方 法已经体现 割 和 补 的思想 这为下一步应用 面积证法进行一 般化证明做好铺 垫 R Q P AC B R Q P AC B 第 3 页 共 7 页 由此发现直角边长为 3 和 4 的直角三角形的三边具有怎样 的关系 222 543 预案 预案 已知 Rt 3 2 90 ACBCCABC 求AB的长 板书 猜想猜想 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 活动活动 3 3 我们一起来验证 我们一起来验证 已知 Rt 90 cABbACaBCCABC 求证 222 cba 预案预案 1 1 可代表边长为的正方形的面积 那么就存在一个边长 2 cc 为的正方形 需要四条长为的线段 即四个与全等ccABC 的直角三角形 用这样的四个三角形能拼成边长为的正方形c 吗 应用代数方法能否证明 试动手拼一拼 证 222 cba 一证 活动 3 学生动手操作 在感 受图形变化的同时 用 数 描述图形的 面积 进而数形结合 地得出直角三角形的 三边关系 小组代表 在黑板上用模具展示 拼图结果 师生共同 应用代数法转化等式 活动 3 通过 使用直角三角形 模具完成拼图过 程 让学生体会 应用图形 割补 拼接 面积不变 的特点来验证直 角三角形三边数 量关系的猜想 培养学生由数到 形再由形到数的 数学思想以及转 补 割 R Q P AC B R Q P AC B 平移 旋转 第 4 页 共 7 页 证法 1 将四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形 abbac 2 1 4 2 2 222 cba 证法 2 将四个全等的直角三角形围 成如图所示的正方形 abcba 2 1 4 2 2 222 cba 预案预案 2 2 沿用面积法的思路 可代表边长为的正方形的面积 2 aa 可代表边长为的正方形的面 2 bb 积 可代表边长为的正方形 2 cc 的面积 要证明 则 222 cba 需证明边长为的正方形和边长a 为的正方形通过 割补拼接 b 后得到边长为的正方形 请尝试c 实验验证 方法如图所示 历史介绍历史介绍 预案 1 中的方法 1 是我国汉代的赵爽在注解 周髀算经 时给出的方法 人们称之为 赵爽弦图 2002 年北京召开的 国际数学家大会就将 赵爽弦图 定为会标 预案 2 中的方 法是我国古代的刘徽在他的 九章算术 中应用面积 出入相 补 的原理给出的 青朱出入图 法 公元 1 世纪中国一部天 文学著作 周髀算经 中记载的商高和周公的对话 周公问商 高 我听说您对数学非常精通 我想请教一下 天没有梯子可 以上去 地也没法用尺子去一段一段丈量 那么怎样才能得到 关于天地的数据呢 商高回答说 数的产生来源于对方和 圆这些形体的认识 其中有一条原理 当直角三角形 矩 得 到的一条直角边 勾 等于 3 另一条直角边 股 等于 4 的 时候 那么它的斜边 弦 就必定是 5 证明猜想 化的能力 在实 验拼图探究的过 程中发展学生的 空间想象力和合 情推理能力 教师把握时 机向学生讲述勾 股定理的探索历 史 使学生感受 数学证明的灵活 与精巧 体会勾 股定理中蕴含的 历史和文化 学 生在发现自己的 方法与古代数学 家的想法不期而 遇时 自豪感和 自信心油然而 生 通过以上三 个活动 学生经 历了实际抽象 猜想探索 一般 第 5 页 共 7 页 b a c B C A 阶段小结阶段小结 以上的两种方法都不约而同地通过割补拼接的方法把直 角三角形三边关系问题转化为正方形面积问题得以解决的 其 中的依据是图形经过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 图形经过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改变面积不会改变 这种原理在以后的数学学习中也会应用到 三 三 归纳总结 描述定理归纳总结 描述定理 文字语言文字语言 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 符号语言符号语言 Rt中 ABC 90CcABbACaBC 222 cba 图形语言图形语言 四 四 巩固练习 适当拓展巩固练习 适当拓展 例 如图 要借助一架云梯登上 24 米高的建筑物顶部 为了安全需要 需使梯子底端离墙 7m 这个梯子至少有多长 如果梯子的顶端下滑了 4 米 那么梯子的底端在水平方向上也 滑动了 4 米吗 为什么 自我检测 自我检测 基础题 在下列图形中标出直角三角形中未知边的长度 学生归纳总结直角三 角形三边关系 结合 图形语言 从文字语 言和符号语言两方面 描述勾股定理 学生分析已知条件 确定直角位置及已知 边的位置 尝试应用 勾股定理在直角三角 形已知两边时求第三 边 验证的探究过程 实现了从特殊到 一般的思维跨 越 让学生从文字语 言 符号语言 图形语言三个方 面对勾股定理进 行描述 培养学 生数学语言的表 达能力 本例是勾股定理 在实际生活中的 应用 通过条件 的变化体会在直 角三角形中已知 两边可求第三 边 基础题是对勾股 定理的简单应用 帮助学生巩固基 8 41 第 6 页 共 7 页 C B A 12 5 45 1 C B A 30 1 C B A 提高题 选择 1 赵爽弦图 是由四个全等的直角三角形与中间的一个小 正方形拼成的一个大正方形 如图 若 直角三角形的两条直角边的长分别是 2 和 1 则小正方形 阴影区域 的面积与大正 方形的面积比为 A B C D 3 1 4 1 5 1 5 5 2 如图 直线 上有三个正方形 若的面积lcba ca 分别为 5 和 11 则的面积为 b A 4B 6C 16D 55 五 五 课堂小结 布置作业课堂小结 布置作业 小结提示 小结提示 1 勾股定理的使用条件是什么 2 直角三角形三边有什么样的数量关系 3 勾股定理的探索和应用过程中你用到了哪些数学方法 领悟到了什么样的数学思想 作业布置 作业布置 基础必做题 1 求出下列直角三角形中未知边的长度 学生独立完成自我检 测题 并交流解题方 法 学生在三个问题的引 领下回顾并归纳本节 课的知识技能 思想 方法 情感体验 础 提高题是对 赵 爽弦图 以及毕 达哥拉斯面积方 法的应用 通过以上问题的 练习 学生对勾 股定理证明方法 的应用以及定理 本身的应用都有 了