数列与函数结合的综合问题

1 数列综合问题之数列与函数数列综合问题之数列与函数 思想方法 关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系思想方法 关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系 一 利用具体函数的解析式得递推关系一 利用具体函数的解析式得递推关系 例例 1 已知函数中 2 xa f xb cN bxc 1 0 0 2 2 2 2 fff 1 求函数的解析式 2 各项均不为零的数列满足 求通项 3 f x n a 1 4 1 n n Sf a A n a 在条件 2 下 令 求数列的前项和 2n nn ba A n bn 分析 由题知 所以 所以可求得 0 2abc 2 22 x f x x 2 11 2 1 0 nnnnnnnn Saaaaaaan A 例例 3 函数 1 求的反函数 2 数列满足 2 22 2 f xxxx f x 1 fx n a 且 求数列的通项公式 3 在条件 2 下 令 1 1 nn SfS 1 2a n a 22 1 1 2 nn n nn aa bnN aa A 求数列的前项和 n bn 分析 1 由题知 2 12 2 0fxxx 1 242 nnn ssan 3 222 111 11 211 1 222121 nnnnnn n nnnn aaaaaa b aaaann A 例例 4 4 设函数 24 1 x xf 1 证明 对一切 f x f 1 x 是常数 Rx 2 记 求 并求出数列 an 的 Nnf n n f n f n ffan 1 1 21 0 n a 前 n 项和 解 24 1 x xf 1 f xfx 1 11 4242 xx 1 1 42421 42 42 2 xx xx 2 Nnf n n f n f n ffan 1 1 21 0 2 1221 1 0 n nn affffffnN nnnn n a 1 2 n Sn n a 1 4 n 1 11 44 2 n n 3 8 n n 二 利用抽象函数的性质得递推关系 二 利用抽象函数的性质得递推关系 例例 1 是上不恒为零的函数 且对任意都有 f xR a bR f a baf bbf a A 1 求与的值 2 判断的奇偶性 3 若 求 0 f 1 f f x 2 2f 2 n n f unN n 数列的前项和 n un n S 简析 1 2 再令 0 0 1 0ff 2 1 1 1 1 1 0fffff 所以为奇函数 1 1 1 abx fxf xx ff x AA 2 当时 令函数 所以有 0a b A f abf bf a abba f x g x x n g abg bg ag an g a A 所以有 得 1 n nnnn n f a g af aag a nan f a a AAA A 11 1111 2 2222 nn n n fn fuf A AA 又因为 所以 1111 1 2 2 2222 ffff 1 2 n n u 1 1 2 n n S 例例 2 已知函数具有下列性质 Nnxfn 1 1 0 1 1 1 2 1 0 nk n k f n k f n k f n k fn f nnnn n 3 1 当 n 一定 记求的表达式 1 n k f a n kk a 1 0 nk 2 对 3 1 1 4 1 n fNn明明 解 1 n k f n k f n k f n k fn nnnn 1 1 1 n k nf n k fn nn 1 1 1 n k f n k f nn 即又 1 1 1 n k f n n k f n nn 1 n k f a n k 1 1 1 kk naan 即 由 n 为定值 1 1 1 1 kk anan na a k k 1 1 1 1 1 则数列是以为首项 为公比的等比数列 1 k a1 0 a n 1 1 k k n aa 1 1 1 1 0 由于 1 0 1 11 2 0 1 0 nk n a f a k k n 2 n n n n k n a f n k f a 1 11 11 1 1 欲证 3 1 1 4 1 n f 只需证明 4 1 113 n n 只需证明 3 1 12 n n 2 2 2 1 11 1 1 1 n C n C n n n n n n n C 1 211 n n nnn n n C n C n C n 111 1 1 1 2 21 2 2 1 11 n nn n nn nn 12 1 4 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 11 1 2 1 11 2 n n n 3 2 1 3 n 例例 3 已知函数是定义在上的函数 且满足 设 f x N 3 1 2f f kk f 1 3 n n af 且有 1 求证 1 1b 3131 log log nn bf abf a 312 12 4 n n bbbb f af af a 2 若对于任意的恒成立 求的 12241 11222241 41 nnnn nnnnnnnn f af af af a m ababa bab 1 nnN m 取值范围 解 1 由于 所以有 也有 1 3 n n af 11 3 3 33 nnn n f af f A 3 log n f an 由 得 令 也即有 3131 log log nn bf abf a n bn 12 12 n n n bbb S f af af a 由错位相减得出 2 123 3333 n nn n S 3 1 213113 3223244 nn n b SnS A 2 由 所以 3 3 3 3 f f kkf f f kfkf kfk 又因为 所以是等比数列 有 1 1 3 3 3 3 nn nn affa 0 1 3 1 20aff n a 又 所以有了 设 1 2 3n n a A 3n n f a 1 33 1 2 32 n n n nn f a a bnn A AA 有 1241 112241 41 31111 212241 nnn n nnnnnn f af af a T aba babnnnn 1 1 311111 2 212245141 314 2 21 22 41 4 33 0 2 21 22 41 45 nn nn TT nnnnn nnnn nnnn TT A 所以是单调递减的 也当时 取得最大值 由题有 n T2n n T 2 3 11125 2 34924 T 25 24 m 5 练习 练习 已知函数f x 定义在区间 1 1 上 且当x y 1 1 1 2 1 f 时 恒有 又数列 an 满足 设 1 xy yx fyfxf 2 11 1 2 2 1 n n n a a aa 1 1 1 21n n afafaf b 证明 f x 在 1 1 上为奇函数 求f an 的表达式 是否存在自然数m 使得对任意n N 都有成立 若存在 求出m的最小值 若不 4 8 m bn 存在 请说明理由 讲解讲解 紧扣奇函数的定义 选择特殊值 令x y 0 则f 0 0 再令x 0 得f 0 f y f y 所以f y f y y 1 1 故f x 在 1 1 上为奇函数 1 1 1 2 1 1 xy yx fyfxffaf 知由 2 1 1 2 2 1nnn nn nn n n n afafaf aa aa f a a faf 即 2 1 n n af af f an 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列 从而有f an 2n 1 先求的表达式 得 n b 211 1 1 1111 2 1 2 1 2222 1 2 n n nn b 若恒成立 n N 则 4 8 m bn 1 1 22 24 n m 即 1 4 2n m n N 当n 1