辽宁省锦州市2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

1 辽宁省锦州市辽宁省锦州市 2018 20192018 2019 学年高一数学下学期期末考试试题 含解析 学年高一数学下学期期末考试试题 含解析 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 在区间上随机选取一个数 则的概率为 1 6 a3a a b c d 4 5 3 5 2 5 1 5 答案 c 解析 分析 根据几何概型概率公式直接求解可得结果 详解 由几何概型概率公式可知 所求概率 3 12 6 15 p 本题正确选项 c 点睛 本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解 属于基础题 2 为了从甲 乙两组中选一组参加 喜迎国庆共建小康 知识竞赛活动 班主任老师将两组 最近的次测试的成绩进行统计 得到如图所示的茎叶图 若甲 乙两组的平均成绩分别是 6 则下列说法正确的是 x x 甲乙 a 乙组比甲组成绩稳定 应选乙组参加比赛 xx 甲乙 b 甲组比乙组成绩稳定 应选甲组参加比赛 xx 甲乙 c 甲组比乙组成绩稳定 应选甲组参加比赛 xx 甲乙 d 乙组比甲组成绩稳定 应选乙组参加比赛 xx 甲乙 答案 d 2 解析 分析 由茎叶图数据分别计算两组的平均数 根据数据分布特点可知乙组成绩更稳定 由平均数和 稳定性可知应选乙组参赛 详解 727879858692 82 6 x 甲 7886878791 93 87 6 x 乙 xx 甲乙 乙组的数据集中在平均数附近 乙组成绩更稳定 应选乙组参加比赛 本题正确选项 d 点睛 本题考查茎叶图的相关知识 涉及到平均数的计算 数据稳定性的估计等知识 属 于基础题 3 已知随机事件和互斥 且 则 ab 0 5p aub 0 3p b p a a b c d 0 50 20 70 8 答案 d 解析 分析 根据互斥事件的概率公式可求得 利用对立事件概率公式求得结果 p a 详解 与互斥 a b p abp ap b 0 50 30 2p a 11 0 20 8p ap a 本题正确选项 d 点睛 本题考查概率中的互斥事件 对立事件概率公式的应用 属于基础题 4 等差数列的首项为 公差不为 若成等比数列 则数列的前项和 n a 10 236 a a a n a 10 为 a b c d 80 8024 24 3 答案 a 解析 分析 根据等比中项定义可得 利用和表示出等式 可构造方程求得 利用等差 2 326 aaa 1 a dd 数列求和公式求得结果 详解 由题意得 2 326 aaa 设等差数列公差为 则 n a 0d d 2 111 25adadad 即 解得 2 1211 5ddd 2d 101 10 9 10109080 2 sad 本题正确选项 a 点睛 本题考查等差数列基本量的计算 涉及到等比中项 等差数列前项和公式的应用 n 关键是能够构造方程求出公差 属于常考题型 5 在中 内角所对的边分别为 若 则角 abc a b c a b c coscossinbccbaa 的值为 a a b c d 3 6 2 2 3 答案 c 解析 分析 根据正弦定理将边化角 可得 由可求得 2 sinsinbca sinsinbca sin a 根据的范围求得结果 a 详解 由正弦定理得 2 sincossincossinsinbccbbca abc sinsinsinbcaa 0 a sin0a sin1a 2 a 本题正确选项 c 4 点睛 本题考查正弦定理边角互化的应用 涉及到两角和差正弦公式 三角形内角和 诱 导公式的应用 属于基础题 6 已知等差数列的前项和为 且 则 n a nn s 11 11s 6 tan 3 a a b c d 3 3 3 3 3 3 答案 c 解析 分析 根据等差数列性质可知 求得 代入可求得结果 116 11sa 6 a 详解 111 116 11 1111 2 aa sa 6 a 6 2 tantan3 33 a 本题正确选项 c 点睛 本题考查三角函数值的求解 关键是能够灵活应用等差数列下标和的性质 属于基 础题 7 已知 则 0 2 3 sin 5 tan2 a b c d 7 24 7 24 24 7 24 7 答案 c 解析 分析 根据同角三角函数关系可求得 由二倍角的正切公式可求得结果 tan 详解 0 2 3 sin 5 3 tan 4 5 2 3 2tan24 2 tan2 9 1tan7 1 16 本题正确选项 c 点睛 本题考查二倍角的正切公式 同角三角函数关系的应用 属于基础题 8 袋子中有大小 形状完全相同的四个小球 分别写有和 谐 校 园 四个字 有放 回地从中任意摸出一个小球 直到 和 谐 两个字都摸到就停止摸球 用随机模拟的方 法估计恰好在第三次停止摸球的概率 利用电脑随机产生 到之间取整数值的随机数 分 14 别用 代表 和 谐 校 园 这四个字 以每三个随机数为一组 表示 1234 摸球三次的结果 经随机模拟产生了以下组随机数 18 343432341342234142243331 112 342241244431233214344142134 由此可以估计 恰好第三次就停止摸球的概率为 a b c d 1 9 1 6 2 9 5 18 答案 c 解析 分析 由题随机数的前两位 1 2 只能出现一个 第三位出现另外一个 依次判断每个随机数即可 详解 由题随机数的前两位 1 2 只能出现一个 第三位出现另外一个 满足条件的随机 数为 142 112 241 142 故恰好第三次就停止摸球的概率为 42 189 故选 c 点睛 本题考查古典概型 熟记古典概型运算公式是关键 是中档题 也是易错题 9 等差数列的前项和为 若 则 n a nn s 1030 5 10ss 40 s a b c d 78910 6 答案 d 解析 分析 根据等差数列片段和成等差数列 可得到 代入求得结果 403010 2sss 详解 由等差数列性质知 成等差数列 10 s 1200 ss 3020 ss 4030 ss 即 40301020103020 sssssss 403010 2sss 40 210510s 本题正确选项 d 点睛 本题考查等差数列片段和性质的应用 关键是根据片段和成等差数列得到项之间的 关系 属于基础题 10 赵爽是三国时期吴国的数学家 他创制了一幅 勾股圆方图 也称 赵爽弦图 如图 若在大正方形内随机取 点 这一点落在小正方形内的概率为 则勾与股的比为 1 5 a b c d 1 3 1 2 3 3 2 2 答案 b 解析 分析 分别求解出小正方形和大正方形的面积 可知面积比为 从而构造方程可求得结果 1 5 详解 由图形可知 小正方形边长为b a 7 小正方形面积为 又大正方形面积为 2 ba 2 c 即 22 22222 221 11 5 babaab ab cabab ba 25 ab ba 解得 1 2 a b 本题正确选项 b 点睛 本题考查几何概型中的面积型的应用 关键是能够利用概率构造出关于所求量的方 程 11 已知函数的最小正周期为 若 2sin0 3 f xx 12 2f xf x 则的最小值为 12 xx a b c d 2 3 4 答案 a 解析 分析 由正弦型函数的最小正周期可求得 得到函数解析式 从而确定函数的最大值和最小值 根据可知和必须为最大值点和最小值点才能够满足等式 12 2f xf x 1 xx 2 xx 利用整体对应的方式可构造方程组求得 从而可知 1212 2 xxkk 12 k kz 时取最小值 12 0kk 详解 由最小正周期为可得 f x 2 2 2sin 2 3 f xx max2f x min2f x 和分别为的最大值点和最小值点 12 2f xf x 1 xx 2 xx f x 8 设为最大值点 为最小值点 1 xx 2 xx 11 12 22 22 32 22 32 xk k kz xk 1212 2 xxkk 当时 12 0kk 12min 2 xx 本题正确选项 a 点睛 本题考查正弦型函数性质的综合应用 涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的 求解 关键是能够根据函数的最值确定和为最值点 从而利用整体对应的方式求得结果 1 x 2 x 12 在中 是边的中点 为所在平面内一点且 abc 2ab 2ac ebcoabc 满足 则的值为 222 oaoboc ae ao a b c d 1 21 2 2 3 2 答案 d 解析 分析 根据平面向量基本定理可知 将所求数量积化为 1 2 aeabac 由模长的等量关系可知和为等腰三角形 根据三线 11 22 ab aoac ao aob aoc 合一的特点可将和化为和 代入可求得结果 ab ao ac ao 2 1 2 ab 2 1 2 ac 详解 为中点 e bc 1 2 aeabac 111 222 ae aoabacaoab aoac ao 和为等腰三角形 222 oaoboc aob aoc 9 同理可得 2 11 cos 22 ab aoab aooabababab 2 1 2 ac aoac 22 1113 1 4422 ae aoabac 本题正确选项 d 点睛 本题考查向量数量积的求解问题 关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形 从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算 二 填空题 将答案填在答题纸上 二 填空题 将答案填在答题纸上 13 长时间的低头 对人的身体如颈椎 眼睛等会造成定的损害 为了了解某群体中 低头族 的比例 现从该群体包含老 中 青三个年龄段的人中采用分层抽样的方法抽取人 1000100 进行调查 已知这人里老 中 青三个年龄段的分配比例如图所示 则这个群体里青年 100 人人数为 答案 450 解析 分析 根据饼状图得到青年人的分配比例 利用总数乘以比例即可得到青年人的人数 详解 由饼状图可知青年人的分配比例为 1 20 35 45 这个群体里青年人的人数为 人 1000 45 450 本题正确结果 450 点睛 本题考查分层抽样知识的应用 属于基础题 14 若向量 则与夹角的余弦值等于 1 2 1 1ab 2ab a 答案 3 10 10 10 解析 分析 利用坐标运算求得 根据平面向量夹角公式可求得结果 2ab 详解 23 3ab 2 363 10 cos2 103 252 aba ab a ab a 本题正确结果 3 10 10 点睛 本题考查向量夹角的求解 明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模 长的乘积 15 sin10 13tan70 答案 1 解析 分析 将写成 切化弦后 利用两角和差余弦公式可将原式化为 利用 3tan60 sin10 cos10 cos60 cos70 二倍角公式可变为 由可化简求得结果 1sin20 2 cos60 cos70 sin20cos70 详解 cos60 cos7060 sin70 sin10 13tan70sin10 1tan60 tan70sin1 s 0 co i s60o 7 n c s 0 cos 7060 sin10 cos101sin201 sin101 cos60 cos70cos60 cos702 cos60 cos702cos60 本题正确结果 1 点睛 本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题 涉及到两角和差余弦公式 二倍角公式的应用 16 已知数列的首项 若对任 n a 1 aa 2 162aa 1 842 nn aannnn 11 意 都有恒成立 则的取值范围是 n n1nn aa a 答案 3 5 解析 分析 代入求得 利用递推关系式可得 从而可证得和均为等 2n 3 a 2 8 nn aa 2n a 21n a 差数列 利用等差数列通项公式可求得通项 根据恒成立不等式可得到不等式组 解不等式组求得结果 123 221 2122 nn nn aaa aa aa 详解 当 时 解得 2n 32 20aa 32 2042aaa 由得 1 84 nn aan 21 812 nn aan 2 8 nn aa 是以为首项 为公差的等差数列 是以为首项 为公差的等差数列 2n a 2 a 8 21n a 3 a 8 2 16281828 n aanna 21 4281824 n aanna 恒成立 解得 1nn aa 16242 882842 8428182 aaa nana nana 35a 即的取值范围为 a 3 5 本题正确结果 3 5 点睛 本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题 关键是能够根据递推关系式得到 奇数项和偶数项分别成等差数列 从而分别求得通项公式 进而根据所需的单调性得到不等 关系 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知函数 3sin2cos21f xxx 1 求在区间上的单调递增区间 yf x 0 2 求在的值域 yf x 5 12 12 12 答案 1 和 2 0 3 5 6 1 3 解析 分析 1 利用辅助角公式可将函数化简为 令 2sin 21 6 f xx 可求出的单调递增区间 截取在上的部 222 262 kxkkz f x 0 分即可得到所求的单调递增区间 2 利用的范围可求得的范围 对应正弦函数 x 2 6 x 的图象可求得的范围 进而得到函数的值域 sin 2 6 x 详解 1 3sin2cos212sin 21 6 f xxxx 令 解得 222 262 kxkkz 63 kxkkz 令 可知在上单调递增 0k f x 0 3 令 可知在上单调递增 1k f x 5 6 在上的单调递增区间为 和 yf x 0 0 3 5 6 2 当时 5 12 12 x 2 20 63 x sin 20 1 6 x 2sin 211 3 6 x 即在的值域为 yf x 5 12 12 1 3 点睛 本题考查正弦型函数单调区间和值域的求解问题 解决此类问题的常用方法是采用 整体对应的方式 将整体对应正弦函数的单调区间或整体所处的范围 从而结合正 x 13 弦函数的知识可求得结果 18 已知为等边角形 点满足 abc 2ab nm anab 1amac 设 r aca abb 试用向量和表示 1 a b bm cn 若 求的值 2 3 2 bm cn 答案 1 2 1 bmab cnba 1 2 解析 分析 1 根据向量线性运算法则可直接求得结果 2 根据 1 的结论将已知等式化为 根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于 22 3 111 2 a bab 的方程 解方程求得结果 详解 1 11bmamabacabab cnanacabacba 2 22 3 1111 2 bm cnabbaa bab 为等边三角形且 abc 2ab 2ab 60a b 22 3 111114cos604 14 2 a bab 即 解得 2 2 441210 1 2 点睛 本题考查平面向量线性运算 数量积运算的相关知识 关键是能够将等式转化为已 知模长和夹角的向量的数量积运算的形式 根据向量数量积的定义求得结果 19 设是正项等比数列的前项和 已知 n s n a n1 3a 54 23as 1 求数列的通项公式 n a 14 2 令 求数列 的前 项和 21 nn bna n b n n t 答案 1 2 3n n a 1 133 n n tn 解析 分析 1 设正项等比数列的公比为 当时 可验证出 可知 n a 0q q 1q 1 3a 1q 根据可构造方程求得 进而根据等比数列通项公式可求得结果 2 由 54 23as q 1 可得 采用错位相减法即可求得结果 n b 详解 1 设正项等比数列的公比为 n a 0q q 当时 解得 不合题意 1q 11 83aa 1 3 7 a 1q 由得 又 54 23as 4 1 4 1 21 3 1 aq a q q 1 3a 整理得 即 解得 54 330qqq 4 130qq 3q 1 1 3 nn n aa q 2 由 1 得 21 3n n bn 1231 1 33 35 3233213 nn n tnn 则 2341 31 33 35 3233213 nn n tnn 得 21 231 3 1 3 2321 32333321 32 1 3 n nnn n tnn 111 321 3936223 nnn nn 1 1 33 n n tn 点睛 本题考查等比数列通项公式的求解 错位相减法求解数列的前项和 关键是能够 n 得到数列的通项公式后 根据等差乘以等比的形式确定采用错位相减法求得结果 对学生的 计算和求解能力有一定要求 15 20 智能手机的出现 改变了我们的生活 同时也占用了我们大量的学习时间 某市教育机构 从名手机使用者中随机抽取名 得到每天使用手机时间 单位 分钟 的频率分布直 500100 方图 如图所示 其分组是 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 1 根据频率分布直方图 估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟 精 500 确到整数 2 估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟 同一组中的数据以这组数据所在区间中 点的值作代表 3 在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成 100 20 40 40 60 23 研究小组 然后再从研究小组中选出名组长 求这名组长分别选自和的 22 20 40 40 60 概率是多少 答案 1 分钟 2 58 分钟 3 57 3 5 解析 分析 1 根据中位数将频率二等分可直接求得结果 2 每组数据中间值与对应小矩形的面积 乘积的总和即为平均数 3 采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件 根据古典概型概率公式求得结果 详解 1 设中位数为 则 x 0 0023 200 01 200 015400 5x 解得 分钟 170 57 3 x 这名手机使用者中使用时间的中位数是分钟 50057 16 2 平均每天使用手机时间为 分 0 05 100 2 30 0 3 50 0 2 70 0 25 9058 钟 即手机使用者平均每天使用手机时间为分钟 58 3 设在内抽取的两人分别为 在内抽取的三人分别为 20 40 a b 40 60 x y z 则从五人中选出两人共有以下种情况 10 a ba xa ya zb xb yb zx yx zy z 两名组长分别选自和的共有以下种情况 20 40 40 60 6 a xa ya zb xb yb z 所求概率 63 105 p 点睛 本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数 古典概型概率问题的求解 关 键是能够明确平均数和中位数的估算原理 从而计算得到结果 解决古典概型的常用方法为 列举法 属于常考题型 21 如图 在四边形中 已知 abcd1ab 2bc accd 1 若 且的面积为 求的面积 3 acd adc 3 4abc 2 若 求的最大值 accd bd 答案 1 2 3 1 2 17 解析 分析 1 根据可解出 验证出 从而求得 13 sin 24 adc sac adacd acabac 所求面积 2 设 在中利用余弦定理构造关于的 acb abc dbc 2 bd 方程 在中分别利用正余弦定理可得到和 代入可求得 根据三 abc sinac 2 ac 2 bd 角函数最值可求得的最大值 即可得到结果 2 bd 详解 1 由得 22 1133 sinsin 22344 adc sac adacdacac 1ac 即 222 abacbc abac 11 22 abc sab ac 2 设 acb abc 在中 由正弦定理得 abc sinsin acab sinsinac 由余弦定理得 222 2cosacabbcab bc 2 32 2cosac 在中 由余弦定理得 dbc 222 2cos 2 bdcbdccb dc 22 22 2sinbdacac 将 代入整理得 2 52 2 sincos54sin 4 bd 当 即时 取最大值 sin1 4 3 4 2 bd9 max 3bd 点睛 本题考查解三角形的相关知识 涉及到正弦定理 余弦定理和三角形面积公式的应 用 本题中线段长度最值的求解的关键是能够利用正余弦定理构造方程 将问题转化为三角 函数最值的求解问题 18 22 随着互联网的迅速发展 越来越多的消费者开始选择网络购物这种消费方式某营销部门 统计了 2019 年某月锦州的十大