数学分析第二学期期末考试题及答案

数学分析第二学期考试题数学分析第二学期考试题 一 单项选择题单项选择题 从给出的四个答案中 选出一个最恰当的答案填入括号内 每小题 4 分 共 32 分 1 函数在 a b 上可积的必要条件是 b xf A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2 函数是奇函数 且在 a a 上可积 则 b xf A B aa a dxxfdxxf 0 2 0 a a dxxf C D aa a dxxfdxxf 0 2 2 afdxxf a a 3 下列广义积分中 收敛的积分是 a A B C D 1 0 1 dx x 1 1 dx x 0 sin xdx 1 1 3 1 dx x 4 级数收敛是部分和有界且的 c 1n n a 1n n a0lim n n a A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5 下列各积分中可以直接运用牛顿 莱布尼兹公式求值的是 a A B 1 0 arcsin xdx 1 1 ln e e dx xx C D 1 21 1 1 dx x 1 0 sin x dx x 6 下面结论错误的是 b A 若在上可积 则在上必有界 xf ba xf ba B 若在内连续 则存在 xf ba dxxf b a C 若在上可积 则在上必可积 xf ba xf ba D 若在上单调有界 则在上必可积 xf ba xf ba 7 下列命题正确的是 d A 在 a b 绝对收敛必一致收敛 1 xa n n B 在 a b 一致收敛必绝对收敛 1 xa n n C 若 则在 a b 必绝对收敛0 lim xan n 1 xa n n D 在 a b 条件收敛必收敛 1 xa n n 8 的和函数为 c 0 12 12 1 1 n nn x n A B C D x exsin 1ln x xcos 二 计算题计算题 每小题 7 分 共 28 分 9 求 9 1 4 dxxf 2 0 2 12 dxxxf 10 计算 0 2 22 1 dx xx 11 计算的和函数 并求 1 1 n n x n 1 1 n n n 12 计算 xx dx 22 cossin 三 讨论题与应用三 讨论题与应用 每小题 10 分 共 20 分 13 讨论的敛散性 2 2 1 sin2 1 n nn n n x 14 抛物线把圆分成两部分 求这两部分面积之比 xy2 2 8 22 yx 四 证明题证明题 每小题 10 分 共 20 分 15 设 f x 是以 T 为周期的函数 且在 0 T 上可积 证明 TTa a dxxfdxxf 0 16 设在 a b 连续 证明 并求 xf 00 sin 2 sindxxfdxxxf 0 2 cos1 sin dx x xx 参考答案参考答案 一 1 B 2 B3 A4 C5 C6 D7 D8 C9 C10 C 二 1 3 分 令 2 0 22 2 0 2 12 12 2 1 12 xdxfdxxxf12 2 xu 3 分 9 1 2 0 2 2 2 1 12 duufdxxxf 2 6 分 0 2 22 1 dx xx4 1arctan lim 1 1 1 1 lim 0 0 2 A A A A xxd x 3 解 令 由于级数的收敛域 2 分 xf 1 1 n n x n 1 1 xf 2 分 令 得 x x n n 1 1 1 1 xf 1ln 1 1 0 xdt t x 1 x 2ln 1 1 n n n 4 解 两边对x求导 3 分 2 分 0223 2 xx xzzzz xz z zx 23 2 2 1 分 2 1 1 1 x z 5 解 5 分 1 分 x yx yx 0 22 2 0lim 22 2 0 0 yx yx y x 由于x 2 x 2 时 级数均不收敛 所以收敛域为 2 2 3 分 三 1 解 2 分 00 0 4 22 22 222 2224 yx yx yx yyxx y yxfx 4 分 00 0 4 22 22 222 2224 yx yx yx yyxx x yxfy 1 0 0 0 lim 0 0 0 2 y fyf xy z xx y 6 分 1 0 0 0 lim 0 0 0 2 x fxf yx z yy x 2 解 由于 3 分 即级数绝对收x n x n nn n n 2 2 1 sin2 sin2 1 lim 1sin2 2 x 敛条件收敛 级数发散 7 分 1sin2 2 x1sin2 2 x 所以原级数发散 2 分 四 证明题证明题 每小题 10 分 共 20 分 1 证明 因为在 a b 上可积 故在 a b 上有界 即 使得 1 xf0 M 3 分 从而一般来说 1 baxMxf 12 axMdttfxf x a 若对有 5 分 则 所以n 1 1 n axM xf n n 1 1 n n abM xf n n 在 a b 上一致收敛于 0 2 分 xfn 2 4 分 aaTa T dttfTtdTtftTxdxxf 00 将式 2 代入 1 得证 2 分 2 7 分 则 3 y e x z y x 1 2 y x e y z y x 0 1 2 y x ye y xe y z y x z x y