高考数学一轮复习 单调性判断知识梳理 苏教版

用心 爱心 专心1 函数的单调性及运用函数的单调性及运用 概念反思 概念反思 1 1 数学是一种数学是一种工具工具 通过它可以很好的分析和解决问题 数学总是在不断的发明创造中去 通过它可以很好的分析和解决问题 数学总是在不断的发明创造中去 解决所遇到的问题 解决所遇到的问题 2 2 为了研究自然界中量与量之间的变化关系发明了函数为了研究自然界中量与量之间的变化关系发明了函数 同样为了进一步研同样为了进一步研 yf x 究函数值的增减变化情况发明了单调性的概念究函数值的增减变化情况发明了单调性的概念 导数概念的发明使我们对函数性质的了导数概念的发明使我们对函数性质的了 解在单调性的基础上又更深入一步解在单调性的基础上又更深入一步 增减变化的快慢增减变化的快慢 图像的陡峭程度问题被数量化图像的陡峭程度问题被数量化 概念回顾概念回顾 函数单调性的定义 y xoab y xo ab 若若 f x 在在G上是增函数或减函数 上是增函数或减函数 则则 f x 在在G上具有严格的单调性 上具有严格的单调性 G 称为称为单调区间单调区间 G a b 方法梳理方法梳理 1 1 函数单调性的判断及运用 函数单调性的判断及运用 观察法 观察法 同增异减同增异减 F xf g x 导数法 导数法 在某个区间内 如果 那么函数在这个区间内单调 a b 0fx yf x 递增 如果 那么函数在这个区间内单调递减 0fx yf x 图像法 变换图像法 变换 用定义来判断函数的单调性用定义来判断函数的单调性 对于任意任意的两个数x1 x2 I 且当x1 x2时 都都有f x1 f x2 那么函数f x 就 是区间区间 I I 上的增函数上的增函数 对于任意任意的两个数x1 x2 I 且当x1 x2时 都都有f x1 f x2 那么函数f x 就 是区间区间 I I 上的减函数上的减函数 在函数 y f x 比较复杂的情况下 比较 f x1 与 f x2 的大小并不很容易 用心 爱心 专心2 t x x s x x r x x x x q x x x h x 1 x x g x 1 x f x 1 y x 体验回顾体验回顾 1 1 泗洪实验中学泗洪实验中学 1010 1111 期中期中 14 下列说法正确的是 1 定义在 R 上的函数满足 则为 R 上的单调增函数 xf 1 2 ff xf 2 定义在 R 上的函数在上是单调增函数 在上是单调增函数 则 xf 0 0 为 R 上的单调增函数 xf 3 定义在 R 上的函数在上是单调减函数 在上是单调减函数 则为 xf 0 0 R 上的单调减函数 4 定义在 R 上的函数满足 则为 R 上不是单调减函数 xf 1 2 ff xf 2 2 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间 2 21f xxxx 1 2f xx x 3 103 10 徐 宿 淮 连 期末联考 徐 宿 淮 连 期末联考 2 函数的单调减区间是 2 23yxx 4 4 函数函数 单调区间 单调区间 2 1f xxx 5 5 函数函数 4 0 xxexf x 的最小值是的最小值是 KS5UKS5U 经典探究经典探究 例例 东海东海 08 0908 09 中调中调 5 已知函数 2 cosf xxx 对于 2 2 上的任意 12 x x 有 o y x o y x 用心 爱心 专心3 如下条件 12 xx 22 12 xx 12 xx 其中是 12 f xf x 的充分条件是 将充分条件的序号都填上 变式 变式 已知函数已知函数 与与的定义域都是的定义域都是 值域分别是值域分别是与与 在在 yf x yg x R 0 0 上上是增函数而是增函数而是减函数是减函数 求证求证 分分 在在上为减函数上为减函数 R f x g x F xf x g x AR 变式 变式 函数在区间上是单调函数 求实数的取值范 2 1 0 f xxax a 0 a 围 解 设且 则 12 0 x x 12 xx 12 1221 22 12 11 xx f xf xxxa xx 而在上是单调函数 在上恒正或恒负 f x 0 21 f xf x 0 又 由知只有符合题意 12 22 12 0 1 11 xx xx 0a 1a 时 在上单减1a f x 0 变式 变式 2010 汕尾一模 若函数f x 在区间 m 2m 1 上是单调递增函数 则 4x x2 1 m 解析 f x 令f x 0 得 1 xm m 1 综上 1 m 0 答案 1 0 例例 2 2 06 上海卷 三个同学对问题 关于的不等式在上x 232 255xxxax 1 11 恒成立 求实数的范围 提出各自的解题思路 a 甲说 只需不等式左边最小值不小于右边最大值 用心 爱心 专心4 乙说 把不等式变形为左边含变量的函数 右边仅含常数 求函数最值 x 丙说 把不等式两边看成关于的函数 作出函数的图像 x 参考上述解题思路 你认为他们所讨论的问题的正确结论 即的范围是 a 参考答案 参考答案 解析一 两边同除以 则x 2525 5 10 5 0axx xxx x xx 当且仅当 两等式同时成立 所以时 右边取最小值 10 5x 5x 10a 解析二 根据填空题特点 可用数值代入 推算值a 设 将上函数值列表如下 232 255 xxx f x x 1 11 x1234567891011 f x3020 517 5314 251016 1724 5735 1347 7862 579 27 可推算时 取最小值 10 5x f x10a 解析三 232 255 xxx f x x 当 2 25 15 260 xfxx x 511x 2 25 240fxx x 故 时 取最小值 10 此法需用结论 5x f x10a 1 nn xnxnZ 命题意图与思路点拨 命题意图与思路点拨 本题作为填空有效考查了学生探究能力与运算变换能力 以学生交 流给出的语言作为解题参考 削减难度 探讨不等式恒成立的可能途径 充分考查学生利 用函数思想处理恒成立不等式问题能力 题型别致 要重视变量分离方法在解题中的作用 变式 变式 当时 函数的最小值为 1 10 x 2 16 4f xxxx x 8 8 变式 变式 苏州 关于的不等式在上恒成立 则实数的范围x 22 93xxxkx 1 5k 为 6k 变式 变式 变式 变式 南通六重点联考 7 设 则函数 的 0 2 x 22 22 11 sin cos sincos xx xx 2 25 6xx x 15x 2 25 4xx x 511x 用心 爱心 专心5 最小值是 4 25 课后拓展 课后拓展 1 1 启东第一次月考启东第一次月考 9 下列说法正确的有 填序号 若 当时 则在 I 上是增函数 Ixx 21 21 xx 21 xfxf xfy 函数在 R 上是增函数 2 xy 函数在定义域上是增函数 x y 1 的单调区间是 x y 1 0 0 2 2 黄桥中学黄桥中学 1010 1111 期中期中 13 若函数的零点 2 2 log 4f xxx 1 ma a 则所有满足条件的的和为 aZ a 3 3 灌云高级中学期中灌云高级中学期中 已知函数 为实常数 2 21f xaxxa a 1 若 求的单调区间 1a f x 2 若 设在区间的最小值为 求的表达式 0a f x 1 2 g a g a 3 设 若函数在区间上是增函数 求实数的取值范围 f x h x x h x 1 2 a 解析 解析 1 2 分1 a 0 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 1 0 1 1 2 2 2 2 2 xx xx xxx xxx xxxf 的单调增区间为 0 的单调减区间为 xf 2 1 2 1 xf 2 1 2 1 0 2 由于 当 1 2 时 0 ax1 4 1 2 2 1 12 22 a a a xaaxaxxf 10 即 1 2 1 0 a2 1 a为增函数在 2 1 xf 23 1 afag 20 即 2 2 1 1 a 2 1 4 1 时 a1 4 1 2 2 1 a a a fag 30 即时 2 2 1 a4 1 0 a上是减函数在 2 1 xf36 2 afag 用心 爱心 专心6 综上可得 2 1 23 2 1 4 1 1 4 1 2 4 1 0 36 aa a a a aa ag 3 在区间 1 2 上任取 且 21 xx 1 12 x a axxh 1 x 2 x 则 1 12 1 12 1 1 2 221 x a ax x a axxhxh 12 12 21 21 12 21 12 axax xx xx xx a axx 上是增函数在 2