数学基础知识及其在西方经济学中的应用

1 数学基础知识及其在西方经济学中的应用数学基础知识及其在西方经济学中的应用 西方经济学是一门综合性较高的课程 有一定的难度 需要一定的数学知识基础 这 里我们给大家整理了一些必需的数学基础知识 帮助大家学好西方经济学这门课程 一 经济模型中运用的图形一 经济模型中运用的图形 经济模型是对经济或企业与家庭这类经济组成部分进行的简化的描述 它包括可以用 方程式或图形中曲线表示的经济行为的表述 经济学家利用模型来揭示不同政策或其他因 素对经济的影响 在方法上与采用模型飞机测定风洞和气候模式有类似之处 在经济模型中你将遇到许多不同的图形 一旦你学会认识这些类型 你就会很快了解 图形的含义 在图形中看到的类型有如下四种情况 1 同方向变动的变量 同方向变动的变量 同方向变动的两种变量之间的关系称为正相关或者同方向相关 图 1 1 表示正相关图 形的三种情况 图 a 表示一种两个变量同时增加的正相关 图形沿着越来越陡峭的曲线移 动 图 b 表示一种正相关线性关系 图形是一条直线 图 c 表示一种两个变量同时增加的 正相关 图形沿着越来越平坦的曲线移动 图 1 2 中的所有线 无论它是直线还是曲线 都称为曲线 y a b c o x 图 1 2 正相关图形的三种情况 2 反方向变动的变量 反方向变动的变量 反方向变动的两种变量之间的关系称为反相关或者反方向相关 图 1 3 表示反相关图 形的三种情况 图 a 表示一种一个变量增加 另一个变量减少的负相关 图形沿着越来越 陡峭的曲线移动 图 b 表示一种负相关线性关系 图形是一条直线 图 c 表示一种图形沿 着越来越平坦的曲线移动的负相关 y a b c o x 图 1 3 负相关图形的三种情况 2 3 有最大值或最小值的变量 有最大值或最小值的变量 y A o x 产量最大 产量 递增 产量 递减 y B o x 成本 递减 成本 递增 成本最小 a b 图 1 4 有最大值与最小值的图形 图 a 表示有一个最大值点 A 的曲线 点 A 的左边产量递增 右边产量递减 在点 A 处达到产量最大 图 b 表示有一个最小值点 B 的曲线 点 B 的左边成本递减 右边 成本递增 在点 B 处成本最小 4 无关的变量 无关的变量 y o x y o x a b 图 1 5 无关变量的图形 有许多情况是无论一个变量发生什么变动 另一个变量都不变 上图 a 表示无论 x 如何变动 y 的数值不变 图 b 表示无论 y 如何变动 x 的数值不变 3 5 一种关系的斜率 一种关系的斜率 我们可以用关系的斜率来衡量一个变量对另一个变量的影响 一种关系的斜率是用 y 轴衡量的变量的值的变动量除以用 x 轴衡量的变量的值的变动量 我们用希腊字母 代表 变动量 x 指 x 轴衡量的变量的值的变动量 这样关系的斜率是 y x a 正斜率 b 负斜率 图 1 6 一条直线的斜率 无论你计算直线上哪个地方 一条直线的斜率是相同的 但是一条曲线的斜率是多变 的 取决于我们计算线上的哪个位置 有两种方法可以计算一条曲线的斜率 在曲线某一 点上的斜率称为点斜率 而某一段弧的斜率称为弧斜率 如图 1 7 所示 a 点斜率 b 弧斜率 图 1 7 一条曲线的斜率 4 二 导数的定义与几何意义二 导数的定义与几何意义 1 导数的定义 导数的定义 定义 设函数在点及其邻域内有意义 如果极限存在 则称函数 xfy 0 x x y x 0 lim 在点处可导 并称此极限值为函数在点处的导数 记作 xfy 0 x xfy 0 x 1 1 x xfxxf x y xf xx 00 00 0 limlim 导数还采用下列符号 或 或 0 xx y 0 xx dx dy 0 xx xf dx d 因此曲线在点的切线的斜率可以表示为 xfy 0 x 0 x f 例 1 求抛物线在点处的切线的斜率 2 xy 1 x 解 由式 1 得 2 xxf 22lim 11 lim1 0 2 2 0 x x x f xx 因此抛物线在点处的切线的斜率为 2 2 xy 1 x 我们把计算导数的运算称为求导运算 或者微分运算 需要指出的是 导数记号 不能简单的视为除法运算 目前我们要把它看作一个整体记号 dx dy 又记作 或 或 x f y dx dy xf dx d 显然 函数在点的导数正是该函数的导函数在点的值 即 xfy 0 x x f 0 x 1 2 0 0 xx xfxf 在求导数时 若没指明求哪一点的导数 都是指求导函数 例 2 设 求 3 xy y 1 y 2 y 解 这里 由导数的定义式 1 得 3 xxf y 2 3x 所以 33 1 1 2 1 x x xyy 123 2 2 2 2 x x xyy 同理可得 并推广为对任意实数 成立 1 x 34 4 xx 5 1 xx 例如 910 10 xx x xxx 2 1 2 1 2 1 2 1 例 3 设 求 x xf 1 3 f 解 先求 有 x f 2 21 11 x xx x xf 则 9 11 3 3 2 x x f 对导数的定义 我们应注意以下三点 1 x 是自变量 x 在 处的增量 或改变量 0 x 2 导数定义中还包含了可导或可微的概念 如果 x 0 时 有极限 那么函数 x y y f x 在点处可导或可微 才能得到 f x 在点处的导数 0 x 0 x 3 如果函数 y f x 在点处可导 那么函数 y f x 在点处连续 由连续函数定义可 0 x 0 x 知 反之不一定成立 例如函数 y x 在点 x 0 处连续 但不可导 2 导数的几何意义 导数的几何意义 函数 y f x 在点处的导数 就是曲线 y x 在点处的切线的斜率 由 0 x 00 xfxP 此 可以利用导数求曲线的切线方程 具体求法分两步 1 求出函数 y f x 在点处的导数 即曲线 y f x 在点处的切线的斜率 0 x 00 xfxP 2 在已知切点坐标和切线斜率的条件下 求得切线方程为 1 3 000 xxxfyy 特别地 如果曲线 y f x 在点处的切线平行于 y 轴 这时导数不存在 00 xfxP 根据切线定义 可得切线方程为 0 xx 例 4 求过曲线上的点处的切线方程 xy 1 x 解 把代入得 得曲线在处的切线方程为 1 x xy 1 yxy 1 1 6 111 xfy 由于 所以 则切线方程为 x xxf 2 1 2 1 1 f 1 2 1 1 xy 2 1 2 1 xy 如果函数在处可导 那么曲线在此点处光滑连接 不间断或没 xfy 0 x xfy 有尖角 且曲线在点处有不垂直于轴的切线 xfy 00 y x x 3 导数的运算 导数的运算 1 和 差的导数 和 差的导数 前面我们学习了常见函数的导数公式 那么对于函数的导数 又如何 23 xxxf 求呢 我们不妨先利用导数的定义来求 x xxxxxx x xfxxf xf xx lim lim 2323 00 xx xxxxxx x xxxxxxxx x x 23 323 lim 2 33 lim 2 22 0 2322 0 我们不难发现 即两函数和的导数等于这两函数 23 23223 xxxxxx 的导数的和 同时可以推导出 两函数差的导数等于这两函数的导数的差 这就是两个函数的和 或差 的求导法则 2 积的导数 积的导数 两个函数的积的求导法则 只要求记住并能运用就可以 A vuuv vuvuuv B 若 c 为常数 则 cu cu 3 商的导数 商的导数 两个函数的商的求导法则 只要求记住并能运用就可以 设 xv xu xfy xvxxv x xvxxv xuxv x xuxxu x y 7 因为 v x 在点 x 处可导 所以它在点 x 处连续 于是 x 0 时 v x x v x 从 而 即 2 0 lim xv xvxuxvxu x y x 2 v uvvu v u y 说明 1 2 v u v u 2 v uvvu v u 学习了函数的和 差 积 商的求导法则后 由常函数 幂函数及正 余弦函数经加 减 乘 除运算得到的简单的函数 均可利用求导法则与导数公式求导 而不需要回到导 数的定义去求 例 5 求下列函数的导数 3 2 xy 解 8126 23 xxxy 8126 23 xxx 12123 2 xx 三 导数在经济分析中的应用三 导数在经济分析中的应用 本节介绍导数在经济分析中的应用 以展示导数应用的各个视角 供学习者在其它领 域中应用导数解决实际问题提供借鉴 1 边际分析 边际分析 在生产和经营活动过程中 产品成本 销售收入以及产销利润都是产量的函数 分 x 别记为 和 如果生产者按定单组织生产 那么销售量与产量相同 就有 xC xR xL xCxRxL 显然有 xCxRxL 经济函数的导数称为它们各自的边际函数 1 边际成本 成本函数对产量的变化率称为边际成本 记成 xC x x C xMC 2 边际收入 收入函数对产量的变化率称为边际收入 记成 xR x x R xMR 3 边际利润 利润函数对产量的变化率称为边际利润 记成 xL x x L xML 以边际成本为例 说明边际函数的经济意义 由于 x C xCxMC 考虑到经济物品在多数情况下是不可分割的 即当时 成立 1 x xMCC 8 因而边际成本表示在的水平上再多生产一个单位产品所需增添的成本 同理 边际 x 收入表示在的水平上再多生产一个单位产品所增加的收入 边际利润表示在的水平上 xx 再多生产一个单位产品所增加的利润 若边际成本较大 则产量在水平上增产所需要增添的成本也较大 表明增产 x C x 潜力较小 若边际成本较小 则产量在水平上增产所需要增添的成本也较小 表 x C x 明增产潜力较大 例 1 某产品总成本为产量的函数 求生产 100 个产品的平均成本及 x 100 900 2 x xC 边际成本 解 平均成本函数 于是生产 100 个产品的平均单位成本为 100 900 x xx xC xC 10100 C 边际成本函数 于是生产 100 个产品时的边际成本为 50 x xC 2100 C 这说明 生产前 100 个产品时 均摊在每个产品上的成本为 10 元 在此基础上生产第 101 个产品 所需要增添的成本大约为 2 元 例 2 某商品平均成本函数为 元 公斤 每公斤售价元 需求函数为 2 100 q qC p 求边际成本 边际收入 边际利润 pq100800 解 成本函数为 qq q qqCqC21002 100 于是边际成本 2 q C 从需求函数解出 则收入函数 pq100800 100 8 q p 100 8 100 8 2 q qq q pqqR 于是边际收入 50 8 q qR 边际利润为 50 62 50 8 qq qCqRqL 9 本题中的边际成本恒等于 2 表示成本的变化率是常数 它说明 每增加生产单位产品 成本将增加为 2 而每增加生产单位产品的边际利润却在变化 例如 而 这意味着 盲目扩大生产规模 4100 L 0300 L 4500 L 不一定增加经济效益 2 弹性分析 弹性分析 在实际应用中 常把函数的导数乘上称为函数对自变量的弹性 xfy y y x y x 记为 即 xEy y x exy y 因此 00 limlim y xx y xyy ex x yx x 从而 1 4 y y y xy ex x x y x A 由于表示当自变量从增加到时 增加的百分数 表示因变量相 x x xxx x y y y 应增加的百分数 所以从 1 4 式知道 函数弹性的实际意义就是当自变量在的水平上 x 增加一个百分点时 因变量大约增加的百分点 y 弹性在经济分析中有重要的实际意义 第 2 章有更加具体的内容进行分析 四 经济中的最值分析四 经济中的最值分析 如何能够做到平均成本最小 利润最大是企业追求的两个主要目标 以下我们将讨论 这一问题 求函数的最值问题需要用到以下关于极值和最值关系的定理 定理 1 设函数在区间上连续 在内可导 并且在内有唯一驻点 如果 xf III 0 x 是函数的极小 大 值点 则必是的最小 大 值点 0 x xf 0 x xf 经济函数最值的求解步骤如下 1 根据实际问题的具体情况 建立目标函数关系式 2 求目标函数的驻点 3 如果只有唯一的驻点 并且是极小 大 值点 那么该点就是所求的最小 大 值 点 例 3 已知固定成本为 4 万元 变动成本为 万元 问年产量为多少时才能使平均 3 x 成本最低 产量单位为百吨 C 10 解 根据题意 总成本函数 于是 平均成本函数为 3 4xxC x xx xC xC 4 对平均成本函数求导得 22 2 8 2 14 x xx xx xC 令 有 得到唯一驻点 容易验证为极小值点 0 xC8 xx 4 x4 x 所以年产量为 4 百吨时平均成本最低 例 4 某商品的需求函数为 问销售量为多少时才能使总收入最多 pq88000 R 解 目标函数为总收入函数 由 得 pqR 8 1000 8 1000 2 q q q qqR 4 1000 q qR 令 得到唯一驻点 容易验证为极大值点 0 q R40