批处理最小二乘算法

理论问题 1 白噪声信号是什么 Matlab中如何产生 2 逆M序列是什么 Matlab中如何产生 答 答 1 白噪声 white noise 系统辨识中所用到的数据通常都含有噪声 从工程实际出发 这种噪声往往可以视为具有理谱密度的平稳随机过程 白噪声是一 种最简单的随机过程 是由一系列不相关的随机变量组成的理想化 随机过程 白噪声的数学描述如下 如果随机过程均值为 0 自 t 相关系数为 即 2 2 tR 式中 为单位脉冲函数 即 t 1 0 0 0 dtt且 则称该随机过程是白噪声 Matlab 中产生代码为 xi randn L 1 随机产生均值为 0 方差为 1 的高斯随机白噪声序列 2 逆 M 序列 谱分析表明 M 序列含有直流成分 将造成对辨识系统的 净 扰动 这通常不是所希望的 而逆 M 序列将克服这一缺点 是一 种比 M 序列更为理想的伪随机码序列 设是周期为 元素的取值为 0 或 1 的 M 序列 kMbitNp 是周期为 元素依次取值为 0 或 1 的方波序列 将这两序列 kSbit2 按位进行异或运算 得到的符合序列就是周期为 元素取值bitNp2 为 0 或 1 的逆 M 序列 记作 即有 IM k S k M k IM k 上述逆 M 序列的逻辑值 0 或 1 分别变换为 1 或 1 此时逆 M 序列的均值为 0 Matlab中产生代码为 IM xor S x4 if IM 0 u k 1 else u k 1 End 代码中S为元素依次取0或1的方波序列 题目 考虑如下系统 4 5 0 3 2 7 0 1 5 1 kkukukykyky 式中 为方差为 1 的白噪声 k 选用幅值为 1 的逆 M 序列作为输入信号 利用 LS 算法进 ku 行参数估计 数据长度 L 100 Matlab代码如下 clear all L 100 d 3 数据长度为100 纯迟延为3T uk zeros 4 1 初始输入u 0 u 1 u 2 u 3 0 yk zeros 2 1 初始输出y 0 y 1 0 x1 1 x2 1 x3 1 x4 0 S 1 xi randn L 1 数据长度为100 方差为1的白噪声 theta 1 5 0 7 1 0 0 5 a1 1 5 a2 0 7 b0 1 b1 0 5 for k 1 L phi k yk uk 3 4 100 4矩阵phi第k行对应的y k 1 y k 2 u k 3 u k 4 y k phi k theta xi k 100 1矩阵y第k行对应的y k IM xor S x4 把M序列和方波进行异或运算得到逆M序列 if IM 0 u k 1 else u k 1 end S not S M xor x3 x4 继续产生M序列 为制造逆M序列做准备 x4 x3 x3 x2 x2 x1 x1 M 更新数据 for i 4 1 2 uk i uk i 1 end uk 1 u k 更新输入值uk for i 2 1 2 yk i yk i 1 end yk 1 y k 更新输出值yk end thetae inv phi phi phi y 最小二乘估计公式 计算参数估计值 结果 thetae 1 5489 0 7479 1 1220 0 5626 分析如下 系统方程为 4 5 0 3 2 7 0 1 5 1 kkukukykyky 由CAR模型 4 5 0 3 2 7 0 1 5 1 kkukukykyky 可以得到 211 7 05 11 zzzA 5 01 131 zzzB 我们可以知道纯迟延为3T na 2 nb 1 d 3 phi k yk uk 3 4 100 4矩阵phi第k行对应的y k 1 y k 2 u k 3 u k 4 y k phi k theta xi k 输出等于矩阵phi与真值矩阵相乘加上白噪声 这是循环的主体 接下来 一开始我们赋给初值给输入以及输出 初始输入 u 0 u 1 u 2 u 3 0 初始输出 y 0 y 1 0 所以 1 3 5 0 2 1 7 0 0 5 1 1 uuyyy 经过白噪声的更新代码后 以及输入输出值得更新后我们有 也就是把计算出 来的y 1 给到下一组y 2 的计算中区去 2 2 5 0 1 0 7 0 1 5 1 2 uuyyy 99 95 5 0 96 97 7 0 98 5 1 99 uuyyy 如此不停的循环直到满足循环次数L L次数越大 也就是我们的估计结果会越接近真值 最后我们获得矩阵也就是我们代码中所说的phi 0000 10000 1 3509 61078 3 0000 1000