高二数学：11.4《点到直线的距离》教案（沪教版下）

用心 爱心 专心 11 411 4 点到直线的距离点到直线的距离 一 一 教学内容分析教学内容分析 点到直线的距离 是 坐标平面上的直线 一章的最后一节内容 作为直线方程和向 量方法的应用 教材中 点 P x0 y0 到直线l Ax By C 0 的距离公式的推导经过了以下过 程 1 作出距离 PQ 2 利用向量的数量积 根据 PQ n PQ n A 利用 Q 点在直线l 上 求出 PQ 得到公式 00 22 axbyc d ab 在推导过程中 有两个要点 一是应用数量积的几何意义计算两点之间的距离 二是 应用 若点在直线上 则点的坐标满足直线方程 进行整体代换 应用向量的方法 运算比 较简捷 在此体现了向量方法的优势 然而 解析几何的核心思想 是通过用方程表示曲线 通过研究方程的解的情况反映 曲线的几何性质 所以面对 如何求点 P x0 y0 到直线l Ax By C 0 的距离 这个问题 一 个基本的解题思路是 写出直线 PQ 的方程 求出直线 PQ 与直线 l 的交点 Q 的坐标 最后 求出 PQ 的长度 其中 解方程组 求 Q 点坐标是关键 有行列式知识做铺垫 这个问题应 该可以迎刃而解 教材放弃这个方法 体现了教材编写者突出向量应用的思路 但向量法显得技巧性强 需要较高的数学思维能力 在选择向量的过程中 有些问题如 为什么选择向量 用向量可 以算出结果吗 等 在教学时往往一时难以清楚回答 另外 在有行列式知识背景的前提 下 解方程已经变得机械而且简单 所以放弃方程 与学生的认知基础有一定的差距 但是 作为教材 也不可能就同一个问题罗列两种解法 这是一种两难的选择 这也给教师的教学设计造成了困惑 是突出方程思想 还是突出向量思想 如何处理 如何选择 才能既符合学生认知特点 又能体现新教材的特点 二 二 教学目标设计教学目标设计 1 通过学习 学会推导点到直线的距离公式并掌握点到直线的距离公式 2 通过对点到直线之间公式推导方法的分析 比较与体验 领悟公式推导过程中的数学思 想和思维方法 培养分析问题和解决问题的能力 3 通过对点到直线之间的距离 平行线之间距离的探究 培养理性思维能力 经历问题解决 过程 体验合作精神 用心 爱心 专心 三 三 教学重点及难点教学重点及难点 1 教学重点 点到直线距离公式及其推导过程 2 教学难点 在推导点到直线距离公式过程中 学习和领悟问题解决过程中的数学思想方法 四 四 教学流程设计教学流程设计 课堂小结并布置作业 应用 推导两条平行线之间的距离 五 五 教学过程设计教学过程设计 1 1 引入引入 这是直线一章的最后一节 简要回顾本章知识 主要涉及三个问题 1 如何用解析法表示直线 主要介绍如何用方程表示直线 其中包括直线方程的几种形式 直线的倾斜角与斜率的 关系等知识 2 如何判断点P x y 与直线l ax by c 0 的位置关系 点 P x y 与直线l ax by c 0 的位置关系包括两类情况 一是点在直线上 一是点不在 直线上 主要通过点 P x0 y0 的坐标是否满足直线l的方程判断 点不在直线上这类位置关系 中 若进一步提出如何刻画点与直线的相对位置 自然会想到如何求点到直线的距离这类问 题 3 如何判断直线与直线的位置关系 方程 的方 法 如何推导点到 直线的距离 向量的 方法 复习引入 用心 爱心 专心 两条直线的位置关系包括三种情况 相交 平行与重合 在直线与直线相交关系中可以 进一步研究两条直线的夹角问题 包括特殊情况 垂直关系 在两条直线平行时会联想到如 何求平行线间的距离 进而转化为求点到直线间的距离问题 所以 进一步讨论点到直线的距离是理性思维的结果 是完善知识体系得需要 引入中 从学生原有的知识基础出发 通过知识的逻辑结构说明为什么学习点到直线的 距离 激发学生学习的兴趣 强调理性精神 2 2 点到直线距离公式的推导点到直线距离公式的推导 1 明确并提出问题 已知直线l ax by c 0 直线外一点 P x0 y0 其中 a b c x0 y0为常数 如何表示点 P 到直 线l的距离 d 在解决该问题前可以作如下铺垫 可以先回顾 什么是点到直线的距离 从 几何角度作出距离PQ 并指出点到直线距离其实 是点到直线上任意一点距离的最小值 再指出点 P 到直线的距离是一个确定的值 它可以用 x0 y0 a b c 表示 2 推导点到直线的距离公式 通过对问题的分析 归结为 如何计算线段 PQ 的长度 因为推导公式的方法有许 多种 所以可以充分发挥学生的主观能动性 通过有效组织 引导学生积极思维 寻找问题 的解决方法 主要可能有以下几类方法 1 计算 Q 点坐标 有下列两种方法 i 利用数量积 计算 Q 点坐标 具体思路 设 Q x y 由PQ与直线的一 个方向向量垂直及Ql 两个条件联立方程组 解得 x y 即可 ii 联立方程组 计算两条直线交点 Q 的坐标 具体思路 写出直线 PQ 的方程 联立 PQ 与l的方程 求解 Q 点坐标 x1 y1 2 利用向量的数量积 P Q l x y O 用心 爱心 专心 因为数量积可以求向量投影的长度 ba b aa bb A A 所以 PM n PQ n A 其中 M 是直线l上某一点 特别的 PQ n PQ n A 可以归结为教材提供的方法 3 其他方法 学生还可能想到 利用三角比 利用三角形面积 勾股定理等平面几何知识 利用函数 思想求点 P 到直线上任意一点距离的最小值等 虽然方法有许多种 但是因为解析几何的核心思想是利用方程研究曲线 所以联立方程 组是基本方法 又因为向量在解析几何是一个重要的知识和方法 对学生将来进一步学习空 间解析几何有帮助 所以可以选择联立方程组计算点 Q 坐标与利用数量积计算 PQ 长度这两 种方法具体讲解 以下为两种方法解题过程 联立方程组 利用行列式知识求解 00 0 PQ lB xxA yy l的方程可以写成 0000 0A xxB yyAxByC 所以解方程组 00 0000 0 0 B xxA yy A xxB yyAxByC 得 22 DAB 0 00 x x DA AxByC 0 00y y DB AxByC 所以 00 0 22 00 0 22 A AxByC xx AB B AxByC yy AB 所以 00 22 AxByC dPQ AB 利用向量的数量积直接求出 PQ 的长度 由直线方程 知l的法向量为n a b 设 M x y 是直线l上的一点 得 00 yyxxPM 因为 00 yybxxanPM 所以 22 00 ba byybaxxa PQ 用心 爱心 专心 又点 M 在直线l上 所以 ax by c 0 即 ax by c 得 00 22 axbyc PQ ab 对上述两种方法进行回顾总结 并给出结论 点 P x0 y0 到直线l ax by c 0 的距离 00 22 axbyc d ab 在上述两种解题方法中 都需要强调一种整体代换的思想 3 3 公式的应用公式的应用 回到本节课开头的问题 如何推导两条平行线之间的距离公式 若直线l1 ax by c1 0 l2 ax by c2 0 其中 a b c1 c2为常数且 c1 c2 如何求直线l1与 l2之间的距离 这个问题可由学生独立完成 教师引导并主要介绍两个方法 将平行线之间的距离转化为求点到直线间的距离 利用刚刚推导的点到直线距离 公式 在直线l上取点 00 P xy 则 002 22 axbyc d ab 又 001 0axbyc 所以 001 axbyc 所以 12 22 cc d ab 利用向量数量积 直接计算 设 11112222 Mx yl Mxyl 得 122121 M Mxx yy 由 21212211 12 2222 a xxb yyaxbyaxbyM Mn d n abab A 又 111222 axbyc axbyc 所以 12 22 cc d ab 4 4 小结与作业小结与作业 1 小结 这节课主要研究三个问题 1 为什么要学习点到直线之间的距离 2 点到直线之 间的距离如何推导 3 如何求平行线之间的距离 主要知识有点到直线之间距离公式及其推导方法与过程 平行线之间的距离公式及其推 导方法与过程 强调了方程的方法与向量的思想 用心 爱心 专心 2 作业 练习 11 4 1 2 3 习题 11 4 1 3 4 5 6 六 六 教学设计说明教学设计说明 1 从知识的角度讲 本节课并没有新的概念 完全是利用已经掌握的知识解决问题 获得新的结论 新的知识 所以这节课一定意义上是问题解决式教学 2 因为问题解决的方法比较多 每种方法都面面俱到 这是不可能的 也是不现实的 如何选择成了教学的关键 这里我们从解析几何的核心思想与向量方法的重要程度 考虑 选择这两种方法作为重点讲解的方法 同时也是对所学行列式知识与向量知 识的一个很好的应用 在两种方法的讲解过程中 要重点引导学生体会整体代换的思 想 3 在教学的组织形式上 考虑到方法的多样性和学生思维的积极性与创造性 可以考 虑充分发挥学生的主观能动性 由学生讨论并寻找问题解决方法 在寻找方法过程中 可以要求学生只谈